Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M

МНЕСАРХ(Mvn.aapxoc) (cep. 2 в. до н. э.) — греческий философ-стоик, возможно, ученик Панэтия. Пользовался таким же авторитетом, как Диоген Вавилонский и Антипатр из Торса (Cic. De fin. 12,6). Сочинения утрачены. Лит. см. к ст. Стоицизм. А. А. Столяров

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ- обобщение классической двузначной логики (см. Логика высказываний) к примеру, посредством которого к обычным истинностным значениям «истина» и «ложь» добавляются и другие (промежуточные) значения. Этот факт указывает на то, что принцип двузначности («каждое высказывание или истинно, или ложно») отбрасывается, хотя построение многозначнойлогики осуществляется по аналогии с классической двузначной логикой (С2), Именно на этом пути была впервые построена в 1920 Я. Лукасевичем трехзначная логика (L3) с целью опровержения логического фатализма. В этой логике явным образом указывается число истинностных значений, в данном случае 1 (истина), Уг (случайность) и 0 (ложь). Выделенным истинностным значением, как и в С2 является 1. Исходными логическими связками у Лукасе - вича являются -> (импликация) и ~ (отрицание). Как и в случае с С2, дается их табличное определение: ~

1

Уг

0

~р

0

Уг

1

– * *1 Уг

0

1 Уг 0 1 Уг 0 1 1 Уг

1 1 0

Пocpeдcтвoмиcxoдныxcвязoкoпpeдeляютcяv(дизъюнкция), л (конъюнкция) и = (эквиваленция): p*q = ~(~pv~q)9 Р = Я = (Р -> Я)А (Я -> Р). Значения р v q и р л q, как и в С2 есть max и min соответственно от значений р и q. Формула А является общезначимой (законом логическим), если при любом приписывании значений из множества {1, Vi, 0} переменным, входящим в А, формула А принимает значение 1. Логика Ц оказалась весьма необычной, напр. в ней не имеют места следующие законы С2: р v ~ р — исключенного третьего закон, ~(р Л ~ р) — непротиворечия закон, (Р —KP —* Q)) -* (Р —у Q) — закон сокращения. С другой стороны, выразительные средства L3 богаче С2 поскольку в ней уже можно выразить своеобразные модальные операторы Ор (возможно, что р) и Dp (необходимо, что р): Ор = ~р —> р и Dp = ~0~р, что и было сделано А. Тарским в 1921 г. Понятно, что множество связок {-, л, v} недостаточно для определения —к С другой стороны, добавление к {-, л, v} одного из модальных операторов позволяет определить —>. В 1931 13 была аксиоматизирована учеником Лукасевича М. Вайсбергом: l.(p-*q)->((q-r)->(p->r)) 2. р -> (q-^p) 3. (~р-+ ~q) — (q—p) 4. ((р— ~р) —р) ->р. Правила вывода: modus ponens и подстановка. В общей теории многозначных логик основным способом задания является матричный. Система М= <М; D, v, л, z>, -¦> называется логической матрицей, где M — множество истинностных значений; d z> m есть множество выделенных значений; v,a, z> — двуместные, а -. — одноместная операции на М. Поскольку алгебра А = <М; v, л, z>, -i> является однотипной с алгеброй формул пропозиционального языка L, то обычным образом определяется функция оценки v (гомоморфизм) формул языка L в матрице М. Формула А называется общезначимой в М, если при всех значениях переменных в множестве M значение А принадлежит D. Логическая матрица называется характеристической для исчисления высказываний L, если общезначимы те и только те формулы, которые выводимы в L. Множество всех общезначимых формул называется матричной многозначной логикой. Здесь возникают две проблемы: 1) нахождение минимальной характеристической матрицы для L; 2) нахождение конечной аксиоматизации (если это возможно) по каждой конечной матрице М. Примерами минимальных характеристических матриц могут служить матрицы для классической двузначной логики С2 и трехзначной логики Лукасевича Ly Приведем примеры других n-значных логик (п > 3). При изучении многозначных логик понятие функции является основным и наряду с булевыми функциями (функциями двузначной логики) используется для описания дискретных устройств, компоненты которых могут находиться в некотором числе различных состояний. Произвольная функция f(x,..., xm) от любого конечного числа переменных, областью определения которых и областью значения самой функ-

586

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ ции является множество M (без ограничения общности можно считать, что его элементами являются 0, 1, 2,..., п-1), называется n-значной функцией, или функцией n-значной логики. Имеются различные способы задания функций. Напр., функция f(x,..., xm) может быть задана таблицей, где в некотором порядке перечислены все n-ичные наборы длины m (из элементов 0, 1, 2,..., п — 1) и на каждом из них указано значение функции, как это делалось в двузначной логике. Число п-ичных наборов длины m равно nm и на каждом из них значение функции можно задать п способами. Поэтому число всех функций n-значной логики Ри, зависящих от аргументов х,..., хт, составляет п"™ . Случай п > 2 оказывается существенно более сложным, чем классический случай Рт Уже в Р3 число функций от двух переменных равно 19 683, в то время как в Р2 таких функций всего 16. Как и в двузначном случае, в Рп выделяются функции, которые наиболее часто употребляются в логике и кибернетике и играют там важную роль. Такие функции называются элементарными. Вот некоторые из них: константы 0,1, 2,..., п—1 — (нульместные функции); отрицание Лукасевича: ~х=(п— 1)—х — обобщение отрицания в смысле «зеркального отрицания»; отрицание Поста: —ix = х + l(mod n) — обобщение отрицания в смысле «циклического сдвига значений»; характеристическая функция числа i, i = 0,1,..., n — 1: т ( ч _ f n — 1, если х = i, JiW~ 10,еслих*1. J.(x) — обобщение некоторых свойств отрицания; минимум х и у: х л у = min (x, у) — обобщение конъюнкции; максимум х и у: х V у = max (x, у) — обобщение дизъюнкции; сумма по модулю п:х ® у = х + у (mod n) — обобщение суммы по mod 2 (значение этой функции равно остатку от деления суммы х + у на п); импликация Лукасевича: х =/п- 1,еслих <у, \ (п — 1) — х + у, если х > у. х —> у — обобщение одного из свойств классической импликации; функция Вебба: Wn(x, у) = тах(х, у) + l(mod n) — обобщение штриха Шеффера на функционально полную логику Поста Рп. Операция дизъюнкции х V у и отрицание Поста -iX, определенные на множестве М, являются исходными операциями первой n-значной логикой (п>3), названной Рп, которая была построена Постом в 1921, притом с произвольным числом выделенных значений. В свою очередь, n-значная логика Лукасевича Ln была построена в 1922—23 как обобщение L3. Изучение Ln и Рп составило важнейший этап в развитии теории многозначных логик. Кроме двух рассмотренных способов задания функций (табличного и алгоритмического (в последнем случае x v у, к примеру, задается как тах(х, у)) не менее известным способом является формула, описывающая функцию как суперпозицию исходных элементарных функций. Функция, полученная из функций f,,..., fk подстановкой и/или переименованием аргументов, называется суперпозицией f,,..., fk. Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов, называется формулой, и тогда говорят, что формула реализует или представляет данную функцию. В этом случае имеем дело с формульной моделью многозначной логики, а сама модель зачастую отождествляется с этой логикой. Основной проблемой здесьявляется проблема интерпретации истинностных значений. Для широкого класса многозначных логик эта проблема решена А. С. Карпенко (1983) в терминах классических истинностных значений. В кибернетике такие модели рассматриваются как управляющие системы. Элементарные функции при этом являются элементами, производящими определенные операции, а формулы интерпретируются как схемы, построенные из элементов и осуществляющие переработку входной информации в выходную. Характерными для формульной модели являются: задача об указании всех формул, реализующих заданную константу; задача об эквивалентных преобразованиях; задача о сложности реализации; задача о минимизации и т. д. Однако в зависимости от того, какие цели преследуются при изучении многозначных логик, по-разному понимается, что собой представляет ее модель. Для многих специалистов, связанных с вычислительной техникой, инженеров, прикладных математиков и физиков гораздо большее значение имеет представление модели многозначной логики в виде функциональной системы, обозначаемой (Рп, С), где Рп есть множество всех функций n-значной логики (или множество всех функций счетнозначной логики PJ с заданной на нем операцией суперпозиции С, а сама функциональная система (Рп, С) зачастую отождествляется с многозначной логикой, т. е. (Рл, С) выступает в качестве модели многозначной логики. Эта модель, в отличие от рассмотренных выше алгебр истинностных значений, является алгеброй функций. Известна содержательная трактовка понятия функциональной системы ((РпУ С) выступает ее частным случаем), в основе которой лежит рассмотрение таких пар (Р, Q), в которых Р есть множество отображений, реализуемых управляющими системами из некоторого класса, a Q состоит из операции, используемой при построении новых управляющих систем из заданных. В нашем случае Q представляет собой операцию суперпозиции С. Труднейшей проблемой при изучении функциональных систем является следующая: какие функции могут быть сконструированы из данного множества функций. Проблема эта возникает и в самом пропозициональном исчислении, представленном формульной моделью, и в синтезе автоматов, и в универсальной алгебре; но именно здесь ей уделяется специальное внимание. Важнейшее свойство функциональной системы есть свойство функциональной полноты (напр., для того, чтобы можно было реализовать любую переключательную схему). Система функций 9t = {f,,—, fk,...} из Р называется функционально полной, если любая функция из Рп пред- ставима посредством суперпозиций функций из системы 9t. Т. о., указанная выше проблема приобретает здесь следующий вид: является ли некоторое множество 9t функционально полным? Напр., логика Поста Рп, как и классическая двузначная логика, является функционально полной. Отсюда их исключительно широкое применение и развитие. С понятием полноты связано понятие операции замыкания и замкнутого класса. Пусть 9t c P • Множество всех функций, которые могут быть получены из функций системы 9t с помощью операции суперпозиции, называется замыканием 91 и обозначается [9t ]. Класс функций 9t называется (функционально) замкнутым, если [9t ] = 9t, т. е. замкнутость класса функций 9I обозначает собою сохранение при суперпозиции «наследственных» свойств этих функций. В терминах замыкания можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному: 9t — полная система, если [ 9t ] = Р .

587

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ Сложной технической проблемой для n-значных логик остается распознавание полноты для произвольных систем. Выделяются два подхода к решению задачи о полноте. В первом случае ставится вопрос о существовании алгоритма, устанавливающего полноту или неполноту системы функций; во втором рассматривают совокупность всех предполных классов функций в Ря. Система Э{ функций называется предполной в Р, если 9? представляет не полную систему но добавление к SR любой функции f такой, что f Е Ря и f e 9( преобразует Э( в полную систему. Или, в терминах замыкания: SR предполна в Ря, если [ SR]9t/>nH[SRu{f}] = P,raefG Pnfe SR. Важная роль предполных классов функций видна из следующей теоремы, которая формулирует критерий функциональной полноты: система функций SR n-значной логики полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном предполном классе. Г. Розенбергом в 1970 было дано описание всех предполных классов в n-значной логике, и хотя число предполных классов я(п) конечно для любого п, однако очень быстрый их рост указывает на малую практическую эффективность предполных классов для решения проблемы полноты. Удивительную связь свойства функциональной предполноты с теорией простых чисел имеет логика Лукасевича Ln. Как было установлено В. К. Финном в 1970, n — 1 является простым числом тогда и только тогда, когда Ln предполно в Ря. Т. о., мы имеем новое определение простого числа. Более того, оказалось возможным построить такие Ln, которые имеют класс общезначимых формул тогда и только тогда, когда n — 1 есть простое число. Последние результаты привели А. С. Карпенко к открытию закона порождения классов простых чисел, притом порождаются все простые числа. К проблеме полноты примыкает задача о базисах, состоящая в указании всех полных в замкнутом классе SR c P подмножеств, никакое собственное подмножество которых уже не полно в 9R, т. е. базисом является минимальная полная независимая система функций, удаление из которой любой функции делает систему неполной. Особую роль играют базисы, состоящие из одной функции, т. е. штрихи Шеффера. Однако наиболее сложной, можно сказать, глобальной задачей для многозначной логики остается описание решетки замкнутых классов данной модели многозначной логики. Для двузначной логики эта задача полностью решена Э. Постом в начале 20-х гг., где установлено, что мощность множества замкнутых классов в Р2 счетна. Позже им дано полное описание решетки замкнутых классов, каждый класс строится эффективно, и показано, что каждый замкнутый класс имеет конечный базис. Эти классы названы классами Поста. Однакос многозначной логикой дело обстоит совсем по-другому. Оказалось, что имеются существенные различия между классической двузначной логикой и многозначной, говорящие о принципиальной несводимости второй к первой. В отличие от /ущя всякого n > 3 существует в Ря замкнутый класс, не имеющий базиса, а такте для всякого n > 3 существует в Рв замкнутый класс со счетным базисом. Непосредственно к этому примыкает следующий результат: для всякого n > 3 Ря содержит континуум различных замкнутых классов, т. е. уже Р3 содержит континуум различных замкнутых классов. Вообще говоря, точная природа такого различия между двузначной и трехзначной логиками неясна. Особый интерес в силу их различных приложений представляют собой бесконечнозначные логики. Исторически первой такой логикой была бесконечнозначная логика Лукасевича Lw (1929), которая определяется следующей матрицей: М = <[0,1];^,~,{1}>,где х —> у = min(l, 1 — х + у), ~х = 1 — х. Почти через тридцать лет L была аксиоматизирована следующим образом: аксиома Йайсберга (4) заменяется аксиомой ((р —> q) —> q)) —> ((q —> p) —> p). Последние десятилетия алгебраические исследования Ьш приобрели исключительный масштаб и можно говорить о новом направлении в алгебраической логике. Другим интересным и весьма важным примером бесконечнозначной логики является интуиционистская логика Н. Еще К, Педель в 1932 показал, что никакая конеч- нозначная матрица не может быть для нее характеристической. В заключение заметим, что ни одно из направлений некласси- ческихлогиктж бурно не развивается, как многозначная логика. Это объясняется всевозможными приложениями и применениями многозначных логик в различных областях науки и техники и особенно в компьютерных науках. Поэтому вопрос о библиографии по многозначной логике заслуживает специального рассмотрения. Литература здесь совершенно необозрима и, по-видимому, имеет тенденцию к экспоненциальному росту. Тем не менее имеется хронологическая, а также хорошо тематизированная библиография в монографии Н. Решера (1969). Р. Вольф (1977) дополнил и довел ее до 1974 с указанием некоторых работ, которые должны были выйти в ближайшем времени. Обширная библиография, включая работы последних лет, содержится в монографии А. С. Карпенко (1997). Важнейшим и основным источником современной литературы по многозначной логике, и в особенности их применению к компьютерным наукам, служат материалы ежегодного международного симпозиума по многозначным логикам (International Symposium on Multiple-\folued Logic), которые проводятся начиная с 1971. В материалах 22-го симпозиума дается обзор и анализ работы первых 21 симпозиумов и приводятся различные статистические данные. Разработана также база данных статей, авторов и тем. Лет.: БочварДА., Финн В. К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий, 1.— В кн.: Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М., 1972; Они оке. Некоторые дополнения к статьям о многозначных логиках.— В кн.: Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М., 1976; Зиновьев А. А. Философские проблемы многозначной логики. М., 1960; Карпенко А. С. Многозначные логики (монография), в серии «Логика и компьютер», вып. 4. М., 1997; Он оке. Логики Лукасевича и простые числа. М., 2000; Кудрявцев В. Б. О функциональных системах. М., 1981; Он оке. Многозначная логика.— В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. М., 1982; Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике.— В кн.: Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 51, 1958; Bok L, Borowik P. Many-valued logics: Theoretical foundations, v. 1. В., 1992; Butler S. W., Butler J. T. Profiles of topics and authors of the International Symposium on Multiple-Wued Logic for 1971 - 1991.- ISMVL, 22th, Sendai., 1992; Computer science and multiple-valued logic: Theory and applications. Amst., 1977 (2nd revised ed. 1984); Epstein G. Multiple-valued logic design: an introduction. Bristol, 1993; KarpenkoA. S. Factor-semantics for n-valued logics.— «Studia Logica», 1983, v. 42, N 2/3; Mahnowski G. Many-valued logics. Oxf., 1993; RescherN. Many-valued logic. N. Y, 1969; Rosser J. A, Turquette A. R. Many-valued logics. Amst., 1952 (2nd ed. 1958); WofR. G. A survey of many-valued logics (1966—1974), in: Modern uses of multiple-valued ю-

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ— учение о множествах Г. Кантора — наука, зародившаяся в середине 19 в. и изучающая свойства множеств произвольной природы. Создание теории мно-

588

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ жеств было подготовлено работами математиков 19 в., ставившими целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций (Б. Балъцано, Р. Дедекинд). Уже в этих работах ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств: существуют ли различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества разной мощности? В 1871—83 Г. Кантор сделал решительный шаг, изучив множества произвольных элементов, и дал почти современное изложение теории кардинальных и ординальных чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Он ввел понятие сравнения двух множеств, опирающееся на понятие взаимнооднозначного их соответствия. Выяснилось, что существует бесконечная шкала неравномощных множеств (напр., множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные мощности). В отмеченном цикле работ 1871—83 Кантор предложил носящую его имя теорию действительных чисел, доказал счетность множества действительных алгебраических чисел и несчетность континуума, ввел общее понятие мощности, доказал равномощность континуумов разного числа измерений и высказал континуум-гипотезу; ввел различные классы точечных множеств, определил операции пересечения и суммирования множеств, провел различение кардинальных и ординальных чисел и их обобщение на трансфиниты. Наконец, в 1895—97 Кантор дал систематизированное изложение своих трудов и положил теорию множеств в фундамент всей математики. В теории Кантора понятие множества не определяется, а лишь поясняется на примерах (множество всех четных натуральных чисел, множество всех натуральных решений данного алгебраического уравнения и т. д.). Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов. Основное отношение — принадлежность одного множества другому. Общность понятия «множество» дала возможность применять его в любой математической области, и практически вся математика использует язык теории множеств. Однако самому Кантору шаг обобщения дался трудно, и его идеи были встречены современниками по-разному: Р. Дедекинд и Д Гильберт признали выдающееся значение теории множеств, в то время как Л. Кронекер был ее убежденным противником. Широкое признание учение Кантора получило на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе, в 1897. Однако в это же время в теории множеств обнаружились противоречия, открытие которых (Г. Кантор, С. Бурали-Форти, Б. Рассел) потрясло все основание математики. Кризис этот продолжается и в настоящее время. Но стоит отметить, что противоречия возникают на самых «верхних этажах» иерархии множеств, когда мы образуем «множество всех множеств», или «множество всех порядковых чисел», или «множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя» и т. д. Т. о., «наивная» теория множеств, т. е. в том виде, как ее создал Кантор, не может быть использована в полном объеме. С одной стороны, несмотря на противоречивость, ею продолжали пользоваться в различных областях математики (как языком, удобным для изложения предмета). С другой стороны, необходимо было исправить существующее положение дел. Были предложены различные выходы из создавшейся ситуации, но их пришлось признать в конечном итоге неудовлетворительными. Кратко эти попытки «ремонта» теории множеств резюмируются в характеристике трех основных течений, сложившихся в основаниях математики: логицизма, интуиционизма и формализма. С точки зрения логицизма математика — отрасль логики. Определения и теоремы математики следует давать и доказывать в терминах логических понятий. Приспосабливая логицистичес- кое построение математики к открытиям противоречий, Рассел с помощью разветвленной теории типов исключил непредикативные определения. Однако Рассел не смог обойтись без аксиомы сводимости, утверждающей, что для каждого ненулевого свойства высшего порядка найдется равнообъ- емное свойство порядка ноль. К числу наиболее современных работ относится работа У. Куайна (W. Quine), предложившего бестиповую аксиоматическую систему теории множеств (ко- нечноаксиоматизируемую) с ограничением на схему аксиом свертывания Зх Vy(ye х <=> ф(у))> где q> — стратифицируемая формула, т. е. формула, получающаяся из формулы языка теории типов «стиранием» типов (в системе Куайна существует, напр., множество всех множеств). Логицизм не смог конструктивным путем достичь своей цели. В интуиционистской математике Л. Брауэр (L. Brouwer) ограничил использование исключенного третьего закона и ввел новую трактовку логических связок и кванторов. Была построена новая математика, включая теорию континуума. Однако эта другая математика в корне отличалась от той, которая развивалась в течение почти трех тысяч лет. Этот путь также оказался далек от решения вопроса обоснования математики. Наконец, выход был предложен Д. Гильбертом в виде «финитной установки» (см. Фанатизм), однако и этот путь оказался неудовлетворительным. Тем не менее именно на этом пути были сделаны, может быть, самые плодотворные и приемлемые для большинства математиков попытки преодолеть кризис. В 1904—08 Э. Цермело (Е. Zermelo) предложил первую систему аксиом, которой оказалось достаточно, чтобы получить все важные для математики результаты и в которой не получалось ни одно из известных противоречий. В настоящее время существуют несколько общепринятых систем аксиоматической теории множеств, из которых наиболее известной является система Цермело—Френкеля. К последней часто добавляют аксиому выбора, которая носит крайне неконструктивный характер и утверждает существование функции выбора для любого семейства непустых попарно дизъюнктных множеств (формулировка впервые дана Цермело в 1904, и он использовал аксиому выбора для доказательства теоремы о возможности вполне упорядочения любого множества). Попытки доказать или опровергнуть аксиому выбора в рамках системы Цермело—Френкеля оказались тщетными (в 1940 К. Гедель доказал, что аксиома выбора совместна с этой системой (при условии непротиворечивости последней)), а в 1963 П. Коэн (R Cohen) доказан совместность отрицания аксиомы выбора с системой (при том же условии непротиворечивости последней). Т. о., одной из попыток выхода из кризиса явилось создание аксиоматической теории множеств, которая занимается изучением фрагментов «наивной» теории множеств, применяя методы математической логики. Для ряда существующих систем аксиоматической теории множеств характерно ограничение схемы аксиом свертывания так, чтобы избежать возникновения противоречий. Это системы Цермело и Цермело—Френкеля. Другой ряд систем характеризуется тем, что в них противоречия устраняются как следствия непредикативных определений. Пример — теория типов Рассела. Наконец, ряд систем преследуют специфические цели (конечность числа аксиом, нестандартные логические средства вывода и т. д.). Это системы Неймана—Геделя—Бернай- са, Куайна и появившиеся за последние 25 лет системы, ос-

589

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ МИРОВ нованные на неклассических логиках (в первую очередь — на интуиционистской логике). Аксиоматический подход позволил решить ряд вопросов о соотношении различных аксиоматических систем теории множеств, придать точный смысл вопросам неразрешимости ряда математических проблем (континуум-проблемы, в частности), решить некоторые трудные классические проблемы топологии, теории кардинальных и ординальных чисел. Тем не менее вопрос о непротиворечивости всех этих систем остается открытым. Тесная связь между теорией множеств и философией математики породила много вопросов о природе противоречий и аксиоматизации этой теории. Во взглядах на то, как можно было бы удовлетворительно обосновать теорию множеств, имеются большие расхождения. Но подавляющее число математиков продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты этой теории в большинстве разделов математики и твердо верят в то, что усилия по устранению противоречий приведут к ее реабилитации. «Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще» (Френкель А, Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 416). Лит.: Хаудорф Ф. Теория множеств. М.—Л., 1937; Бурбаки Н. Теория множеств. М, 1965; Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-ги- потеза^М., 1969; Куратовский К., МостовскийА. Теория множеств. М, 1970; Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М., 1973; Александров П. С Введение в теорию множеств и общую топологию. М, 1977; Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. В. X. Хаханян

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ МИРОВ- идея, зародившаяся в Античности в связи с критикой геоцентрических воззрений на природу (Демокрит). В эпоху Возрождения получила развитие в работах Д. Бруно (16 в.). Концепция естественнонаучного (в частности, астрономического) негеоцентризма сыграла в истории науки важную эвристическую роль, позволив преодолеть гелиоцентризм Коперника: переход от «мира» Коперника к «миру» Д. Тершеля, в котором Солнце оказывается одной из звезд в нашей Галактике. Под влиянием этой концепции был осуществлен (уже в 20 в.) переход от «мира» Гершеля к «миру» Хаббла: наша Галактика в свою очередь оказалась не центром Вселенной, а лишь «небольшим» островком в гигантском множестве галактик (Метагалактике). Идея множественности миров в астрономическом смысле на этом не останавливается: в конце 20 в. она побуждает исследователей выдвинуть гипотезу о существовании множества Метагалактик, в котором уже и Метагалактика теряет свое привилегированное положение. В 20 в. идея множественности миров получила дальнейшее развитие не только в мега-, но и в микронаправлении: возникло представление о качественном многообразии материи не только «вширь», но и «вглубь». В результате всех этих процессов первоначальный астрономический негеоцентризм принял более общую форму естественнонаучного негеоцентризма (концепция структурных уровней материи). Суть естественнонаучного негеоцентризма — борьба против абсолютизации «земного» (макроскопического) мира, являющегося естественной средой обитания человека, против произвольной экстраполяции любых конкретных свойств и законов этого мира на другие формы объективной реальности без учета специфики последних. Между тем создание в 19 в. неевклидовой геометрии и теории множеств и открытие в 20 в. теории относительности и квантовой механики показали ограниченность концепции естественнонаучного негеоцентризма и поставили проблему развития и обобщения идеи множественности миров в совершенно новом и весьма неожиданном направлении. Такое обобщение оказалось необходимым в связи с потребностью понять своеобразие перехода от мира обычных «земных», объектов, с которыми человек имеет дело в своей повседневной практике («макромир»), к миру объектов гигантского масштаба («мегамир»), с одной стороны, и к миру микрообъектов («микромир») — с другой. Очевидно, что обобщение идеи множественности миров требует, прежде всего, уточнения понятия «мир». «Мир» выступает как некоторая материальная система, реализующаяся через систему взаимосвязанных атрибутов. Эта взаимосвязь имеет столь же объективный и универсальный характер, как сами атрибуты. Атрибутивный характер движения, пространства, времени, взаимодействия и т. п. и взаимосвязи между ними обусловлен тем, что они выражают то общее, что присуще не одной из сфер бытия, а всем трем сферам бытия (неорганическим, биологическим и социальным системам). Эти общие черты указанных трех сфер бытия фактически представляют собой не что иное, как объективные условия принципиальной наблюдаемости объекта исследования. Очевидно, что объект не может быть принципиально наблюдаемым, если он не обладает таким атрибутом, как взаимодействие. Но взаимодействие предполагает движение, движение — пространство и время и т. п. Т. о., если в качестве единственного необходимого и достаточного критерия объективного существования постулируется принципиальная (т. е. прямая или косвенная, актуальная или потенциальная) наблюдаемость, то необходимые объективные условия этой наблюдаемости должны быть присущи любому объекту. Отказ от одного из этих условий неизбежно должен привести к отказу от принципиальной наблюдаемости и, следовательно, к заключению о невозможности объективного существования соответствующего объекта. Так как атрибуты материального мира являются универсальными характеристиками любого из составляющих его материальных объектов, то все особенности каждого атрибута (в отличие от других атрибутов) универсальны. Эти особенности фиксируются в процессе познания в форме соответствующих «аксиом» (напр., аксиома Архимеда о непрерывности пространства, аксиома Лейбница о неаддитивности целого и т. п.). Развитие математики и физики за последнее столетие показало, что всеобщее содержание таких атрибутов, как пространство, время и пространственное изменение, неоднородно. Положение о неоднородности всеобщего содержания атрибутов материального мира имеет принципиальное значение: оно свидетельствует о том, что в основе самого «здания» материи лежит фундаментальное противоречие между абсолютно и относительно всеобщим содержанием атрибутов, за пределы которого исследователь не в состоянии выйти (как бы это ни хотелось исследователю). Из этого следует важный вывод о многообразии типов каждого атрибута в онтологическом смысле. При наличии взаимозависимости между атрибутами материального мира, если модифицируется какой-то всеобщий признак у одного атрибута, то это затрагивает какие-то признаки у всех других атрибутов. В результате материальная система, реализующаяся через систему соответствующих атрибу-

590

МНОЖЕСТВО тов подвергается в целом существенной модификации, и наш исследователь «вступает» в новый «мир» (онтологический негеоцентризм). Хотя концепция множественности материальных миров в онтологическом смысле является гораздо более обшей и абстрактной, чем старая концепция множественности материальных миров в естественнонаучном смысле, тем не менее она обладает еще более развитой и потому более глубокой эвристической функцией, чем это было в случае концепции естественнонаучного негеоцентризма. В области релятивистской космологии она делает понятным, почему релятивистские космологические модели не ограничиваются, подобно классическим, модификацией только «модусов» материи, но затрагивают фундаментальные характеристики таких атрибутов, как пространство и время. Более того, концепция онтологического негеоцентризма ориентирует научное исследование в области космогонии и космологии на модификацию не только фундаментальных характеристик пространства и времени, но и таких атрибутов материи, как движение, структура, причинность, взаимодействие и т. п. В области нерелятивистской квантовой механики онтологический негеоцентризм позволяет обнаружить двойственный характер боровского принципа дополнительности; 1) взаимо- исключаемость макроскопического, пространственно-временного и макроскопического причинного описания поведения микрообъектов: и 2) взаимоисключаемость пространственно- временного и причинного описания вообще. Он показывает правильность первой формулировки и ошибочность второй. В области релятивистской квантовой механики (теория элементарных частиц) концепция онтологического негеоцентризма позволяет наметить новую стратегию научного поиска. Оказывается, что наряду с квантово-полевым подходом к объединению известных физических взаимодействий возможен иной (не полевой) подход. Этот подход приводит к построению квантовой теории относительности, осуществляющей содержательный синтез релятивистских и квантовых принципов (в отличие от квантовой теории поля, объединяющей эти принципы лишь формально). Еще более общая формулировка концепции множественности миров была дана Лейбницем (17 в.) в его учении о множественности логически возможных миров. Согласно Лейбницу, объективное существование может обрести любой мысленно воображаемый мир, если его структура не противоречит законам формальной логики. Наблюдаемый нами мир потому стал действительным (существующим актуально), что он оказался (с христианской точки зрения) наилучшим из логически возможных миров. Он является наилучшим по той причине, что в нем имеется, так сказать, оптимальное сочетание добра и зла. Благодаря этому наблюдаемый мир оказывается лучшей школой для обучения добру (соблюдению в человеческих действиях норм христианской морали). Т. о., согласно концепции логически возможных миров, реально возможны миры с любым отклонением от атрибутов материи (внепространственный и вневременной мир; абсолютно неизменный или абсолютно изменчивый мир; мир «чистых» сущностей без явлений или «чистых» явлений без сущностей; абсолютно упорядоченный или абсолютно хаотический мир и т. п.). Следовательно, множественность логически возможных миров допускает объективное существование не только принципиально наблюдаемых, но и принципиально ненаблюдаемых миров. Лейбницевская концепция логически возможных миров получила дальнейшее развитие в современной логике (Р. Кар- нап, Л. Витгенштейн, С. Крипке и др.). Так как многообразие логически возможных миров существенно зависит от системы логических законов, лежащих в основании формальной логики, то, модифицируя эту систему (изобретая новое логическое исчисление), можно модифицировать и множество логически возможных миров. Наконец, в истории философии известна и такая интерпретация проблемы множественности миров, которая допускает объективное существование мира (или даже нескольких миров), в котором не соблюдаются не только законы природы, но и законы логики («иррациональный» мир). В этом случае мы имеем дело не только с принципиально ненаблюдаемым, но и с таким ненаблюдаемым, которое иррационально, т. е. непостижимо с помощью какого угодно логического мышления (независимо от характера логического исчисления, которое при этом используется). Познание такого мира, согласно концепции философского иррационализма, возможно только с помощью особого мистического чувства. Итак, в конце 20 в. понятие «множественности миров» употребляется в следующих существенно разных значениях: 1) множественность материальных миров в традиционном естественнонаучном смысле (естественнонаучный негеоцентризм); 2) множественность материальных миров в онтологическом смысле (онтологический негеоцентризм); 3) множественность логически возможных миров (логический негеоцентризм); 4) множественность произвольных миров (мистический негеоцентризм). Значения (1) и (2) допускают объективное существование только принципиально наблюдаемых миров; при этом ( 1 ) связывает принципиальную наблюдаемость с однородностью всеобщего содержания атрибутов материи, а (2) — с неоднородностью этого содержания. Значения (3) и (4) допускают объективное существование принципиально ненаблюдаемых миров; причем (3) предполагает, что принципиально ненаблюдаемый мир должен обязательно подчиняться законам логики, тогда как (4) постулирует неподчинение этого мира логическим законам. Лет.: Бруно Д. О бесконечности, вселенной и мирах. М., 1936; Бранский В. П. Философское значение проблемы наглядности в современной физике. Л., 1962; Он же. Философские основания проблемы синтеза релятивистских и квантовых принципов. Л., 1973; Визгин В. П. Идея множественности миров. М, 1988; Ильин В. В. Негеоцентрические мотивы в современной науке.— В кн.: Эволюция материи и ее структурные уровни, вып. 1. М., 1981; Кармин А. С. Познание бесконечного. М., 1981; Мостепаненко А. М. Проблема существования в физике и космологии. Л., 1987; Фатиев И. И. «Возможные миры» в философии и логике. Иркутск, 1993. В. П. Бранский

МНОЖЕСТВО— философская категория, рассматриваемая, как правило, совместно с категорией единого, а также одно из главных понятий математики, развитое на основании этих категорий. Платон вводит понятие множества, исходя из противопоставления единого и иного. Единое, по определению, не подразумевает ничего, кроме себя, т. е. не допускает никакого отношения и может быть мыслимо лишь само по себе. Иное же всегда есть иное по отношению к чему-то (также иному по отношению к нему). Следовательно, иное подразумевает мно-

591

МНОЖЕСТВО жество. Однако множество невозможно мыслить, исключив представление о едином, поскольку в противном случае каждая его часть (элемент) не может быть рассмотрена как единство, а будет дробиться до бесконечности. Этот аргумент был впоследствии развит Пропит, который всякое множество рассматривал как причастное единому в двух отношениях: ю-первьгх,какофаниченнсюцелое,аво-вторых,каксоставлен- ное из единичностей. Мысль о причастности множества единому он истолковал так, что всякое множество произведено от единого-в-себе, а единство является одновременно производящей мощью, которая уменьшается вместе с количественным ростом множества, поскольку последний означает уменьшение причастности единому. Важный аспект отношения единого и многого был рассмотрен Аристотелем, который среди других значений единства указал непрерывность. Непрерывное количество (величина) едино и противопоставляется раздельному количеству (см. число), которое есть множество единиц. Попытка рассмотрения непрерывного количества как множества является грубой логической ошибкой, приводящей к апориям. Возникновение последних Аристотель объясняет именно неправомерным представлением единого (непрерывного) как множества — единого интервала времени как множества моментов или единого отрезка прямой как множества точек. Философия Нового времени не уделила понятию множества такого серьезного внимания, как античная. Кант ввел эту категорию в свою таблицу чистых понятий рассудка как одну из трех категорий количества (две другие — единство и цельность), но, рассматривая схемы количества, говорил уже не о множестве, а об экстенсивной величине. Последняя должна бь1тьрассма1ренакакцельность,формируемаяпоследователь- ным прибавлением друг к другу множества частей. Дальнейший философский интерес к понятию множества обусловлен развитием множеств теории в математике. Именно с этой теорией был в значительной мере связан кризис оснований математики, потребовавший значительной переоценки не только содержания математического знания, но и его философских оснований. В качестве математической теории «учение о множествах» было создано Кантором, который, впрочем, рассматривал его не как одну из математических дисциплин, а как фундамент для всей математики. Из понятия множества предполагалось вывести все основные математические понятия, прежде всего понятие числа. В основе канторовского представления о множестве лежит аристотелевское определение сущности, т. е. того, что может выступать лишь как подлежащее предложения и о чем сказываются его свойства. Кантор рассматривает множество как класс предметов, наделенных общим свойством и ясно отличимых, на основании исключенного третьего закона, от всех других предметов, этим свойством не обладающих. Само множество также рассматривается как сущность и может объединяться в совокупность с другими множествами. Причем часто используемый Кантором прием формирования множеств состоит в выделении всех предметов, обладающих данным свойством. Этот прием вызвал в дальнейшем серьезные подозрения из-за того, что не указывает никакой конструктивной процедуры, а потому вводит в рассмотрение объекты, имеющие сомнительный онтологический статус. Для Кантора ясное указание свойства было достаточным основанием признать существующим и предмет, которому это свойство приписывается. Иными словами, свойство конституирует сущность, о которой сказывается. Но поскольку свойство отождествлено с множеством, всякое множество является конституирующим для своих элементов. Существование объекта всегда обусловлено его включением в множество. Поэтому Кантор строит бесконечную иерархию все более мощных множеств, последовательно включаемых одно в другое. Это явно противоречит идеям Прокла, который в наращивании множественности видел угасание производящей мощи и нарастание неопределенности (беспредельность). Завершением этой иерархии явилось «множество всех множеств, не являющихся собственным элементом». Введенное так понятие содержит очевидное противоречие, однако способ его образования ничем не отличается от способов образования других понятий канторовской теории. Последнее обстоятельство поставило под подозрение все созданное Кантором учение о множествах, а заодно и значительную часть всей математики, поскольку остался неясен сам механизм появления противоречия. Еще одно введенное Кантором понятие, которое порождает трудности, — это понятие непрерывного множества. Важным результатом Кантора является теорема о том, что мощность любого множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. В частности, множество всех подмножеств множества натуральных чисел превосходит последнее по мощности, т. е. является несчетным. Кантор доказал также существование взаимно-однозначного соответствия между этим несчетным множеством и множеством всех точек произвольного отрезка прямой или множеством всех действительных чисел, лежащих в заданном интервале. Такие множества Кантор назвал непрерывными, а их множество — континуумом. Хотя эти множества довольно прочно вошли во многие учебники, их использование нельзя считать полностью логически оправданным. Уже Аристотель считал рассмотрение непрерывной конфигурации как множества грубой ошибкой. К этому можно добавить, что если признать, напр., отрезок прямой состоящим из бесконечного числа отличимых друг от друга элементов, то невозможно представить никакого способа индивидуации этих элементов и их реального различения между собой, поскольку всякое множество имен или предложений языка может быть только счетным. Канторовский проект создания теории множеств как основания математики был позднее осуществлен Цермело, который создал аксиоматическую теорию множеств. В рамках этой теории действительно оказалось возможным дать определения основных понятий математики, исходя из понятия множества. Однако за подходом Цермело можно увидеть совершенно иные, нежели у Кантора, философские основания. Термины «множество» и «элемент множества» вводятся как неопределяемые, точнее, они определяются системой отношений, фиксированных в аксиомах. Последнее может значить, что они должны быть рассмотрены не как сущности, обладающие свойствами, а как неопределенные сами по себе объекты, обозначающие лишь места в заданной теорией абстрактной структуре. Лит.: Кантор Г. Труды по теории множеств. M, I985; Платон. Пар- менид.— Собр. соч. в четырех томах, т. 2, с. 346—412; Прокл. Первоосновы теологии.— В кн.: Лосев А. Ф. История античной эстетики. Высокая классика. М., 1974; Френкель А., Бар-Химел И. Основания теории множеств. М, 1966; Новоселов M. M. Абстракция множества и парадокс Рассела.— В кн.: Тр. научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН (1998). М., 1999. Г. Б. Гутнер

592

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА- область логики, в которой изучаются логические операторы, называемые модальностями. В качестве стандартных обычно используются (алетичес- кие) модальности: «необходимость» и «возможность». Первые исследования в области модальной логики принадлежат Аристотелю, который наряду с ассерторическими силлогизмами ввел в обращение модальные силлогизмы, в которых хотя бы одна из посылок является высказыванием типа «А необходимо принадлежит В», «А возможно принадлежит В». При этом необходимое Аристотель не считал возможным. Следующий шаг в развитии модальной логики сделал ученик Аристотеля Теофраст, который стал относить модальность к высказываниям в целом, а не к отдельным понятиям. Кроме того, он принял тезис: все необходимое возможно, что открыло дорогу к определению возможности через необходимость: «возможно А» эквивалентно «не необходимо не-А». В средние века произошло разделение модальностей на модальности de dicto (о речи), относящиеся к высказыванию в целом, и модальности de re (о вещи), относящиеся к свойствам. Современные исследования модальной логики связаны во многом с именем К, Льюиса, построившего исчисления SI - S6. Характерным примером могут служить его исчисления S4 и S5 (в трактовке К. Гёделя). Эти исчисления строятся как расширения классической логики высказываний и классической логики предикатов. Язык логики пополняется модальным оператором d (необходимо), действующим на предложения языка. Оператор возможности 0 вводится как сокращение для —I и —I. Определение формулы пополняется пунктом: если - А формула, то а А — тоже формула. Аксиоматику пропозиционального модального исчисления получаем, добавляя к аксиомным схемам и правилам вывода классической логики высказываний модальную схему аксиом °(Л=> B)z)(nAz>nB)H правило вывода: «если доказуемо A z> В, то доказуемо dAz> dB» (правило С). Это пропозициональное модальное исчисление С2. Заменив правило С более сильным правилом вывода: «доказуемо А —>доказуемо dA» (правило Геделя) и добавив к С2 одну из аксиомных схем d A z> A, oAz>ddA,-idAz> o-ioA, получаем пропозициональные модальные исчисления Т, S4 и S5 соответственно. С этими исчислениями не возникает никаких принципиальных проблем. Совершенно иная ситуация возникает, если эти «модальные приставки» добавлять к классической логике предикатов, поскольку в предикатных модальных контекстах может нарушаться закон подстановочности тождественных VxVy(x = у з (F(x) z> F{y) • К примеру (пример Куайна), утверждение «необходимо, что 9 больше 7» и его экзистенциальное обобщение «3х такой, что необходимо, что х больше 7» верно, если х есть 9 и 9 есть натуральное число, но неверно, если х есть 9 и 9 есть число планет. Согласно Куайну, вхождение переменной х в открытую формулу «необходимо, что х больше 7» референциально неясно, поскольку нельзя гарантировать, что, будучи связанной, переменная х именует в точности один объект. Поэтому модальная логика предикатов требует некоторого изменения принципов, на которых построена немодальная стандартная теория квантификации. В частности, экзистенциальное обобщение в модальных контекстах должно основываться на следующем правиле: 3 -кван- тификация открытого предложения справедлива, если, и только если, имеется замкнутый терм, подстановка которого на место переменной квантификации приводит к истинному предложению. Соответственно подстановочность тождественного имеет место, если, и только если, взаимозаменяемые термины являются синонимами. Принятие такого принципа в теории квантификации ведет к т. н. подстановочной интерпретации кванторов, в отличие от стандартной, или объективной, их интерпретации. В стандартной интерпретации значениями связанных переменных являются объекты универсума, в подстановочной — термины языка. Подстановочная теория ничего не говорит о существовании или несуществовании объектов; она исследует лишь определенные отношения между утверждениями языка. Все истины теорий подстановочного типа являются в общем случае лингвистическими, и их использование для описания конкретных ситуаций требует дополнительных допущений о характере универсума (множестве объектов, допустимых в данной ситуации). Еще один способ обоснования квантификации в модальных контекстах основан на допущении, согласно которому значениями связанных переменных в модальных контекстах являются не объекты и не термины, а смыслы, т. е. определенные способы понимания объектов. При этом одному и тому же объекту могут соответствовать различные смыслы (подробнее см.: Именования теория, Экстенсиональность). С учетом этих разъяснений становится понятным, что, хотя чисто технически нет никаких препятствий к построению предикатных модальных исчислений С2, Т, S4, S5 посредством указанных выше «модальных приставок», в этих исчислениях (за исключением S5) нельзя гарантировать безусловного выполнения принципа подстановочности тождественного. Поэтому поступают следующим образом: помимо предикатных исчислений С2, Т, S4 введением дополнительной аксиомной схемы, известной как формула Баркан: V хоА(х) з d V хА(х) (в S5 эта формула является теоремой). Принцип подстановочности тождественного строго выполняется в ВС2, ВТ, BS4, S5. В модальных предикатных исчислениях с равенством («модальная приставка» присоединяется в этом случае к классическому исчислению предикатов с равенством) для обеспечения подстановочности тождественного должно выполняться условие V х V у(х=у z> u(x=y)). Содержательные трудности возникают и в связи с самой «модальной приставкой». Исчисления с правилом Геделя и аксиомной схемой аАз А называются нормальными, т. е. соответствующими содержательным стандартам логической необходимости: всякая теорема логически необходима (логически истинна) и всякое необходимо истинное утверждение истинно. Все остальные исчисления не считаются нормальными, и для них отдельно должны быть указаны смыслы, в каких они используют операторы необходимости и возможности. Вот некоторые возможные смыслы этих операторов, отличные от указанного выше «алетического» смысла d и 0.1 ) а означает доказуемость, а 0 - непротиворечивость (интуиционистские модальности, не исключающие, впрочем, существования специальной логики доказуемости); 2) d означает обязательность в смысле необходимости соблюдения норм, а 0 - позволение, или отсутствие запрещения (деонтические модальности); 3) d означает приемлемость эмпирической гипотезы, а 0 - ее неот- вергаемость (индуктивные модальности); 4) d означает «везде» или «всегда», а 0 - «кое-где» или «иногда» (пространственно- временные модальности); 5) d означает «знаю, что», а 0 - «не знаю не» (эпистемические модальности). Существенно, что этот список потенциально неограничен (т. е. он ограничен только нашей изобретательностью, а не существом дела).