Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы

Мгновенная скорость в момент времени 1 =

Это происходит потому, что мгновенная скорость соответствует значению производной функции, которая измеряет расстояние s(t) = sqrt(t) при t = 1.

Предыдущая таблица показывала, что значение этой производной должно быть 0,5. Теперь посмотрим как, используя предыдущее выражение, мы можем выполнить кажущееся бессмысленным деление на ноль и получить ожидаемое значение:

Средняя скорость

Далее умножаем числитель и знаменатель на sqrt(1+h) + 1 и сокращаем:

Средняя скорость

Если в этом выражении мы приравняем значение h к нулю, задача меняется, и при h = 0 отсутствует деление на ноль. Как и подсказывала таблица, частное при h = 0 составляет 0,5. В физических терминах это означает:

Мгновенная скорость в момент времени

Таким образом, от бессмысленного деления нуля на ноль мы пришли к заключению, что если тело проходит sqrt(t) метров за t секунд, то за 1 секунду оно движется со скоростью:

ИНТЕГРАЛ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АНАЛИЗА

Другое базовое понятие анализа бесконечно малых – интеграл. Он применяется для измерения площади графика функции.

Пусть у нас есть функция f, определенная между числами a и b, тогда интеграл . символ интеграл^b_a^f(t)dt есть площадь образованной функцией фигуры. Символ символ интеграл для записи интеграла ввел Лейбниц, он является стилизацией буквы s – первой буквы слова «сумма». Почему выбор Лейбница пал именно на нее, мы увидим позже.

РИС.1

Понятие интеграла гораздо более объемное, чем понятие площади. В математике его можно использовать, чтобы рассчитывать объем, длину или центр тяжести, а в физике он соответствует понятию работы: работа, необходимая, чтобы переместить тело, на которое воздействует сила f, между положениями a и b, равна символ интеграл^b_af(t)dt.

Интеграл также необходим для расчета расстояния, пройденного телом, если известен закон его движения (скорость).

Производную и интеграл связывает основная теорема анализа, согласно которой интегрирование обратно дифференцированию. Ньютон называл анализ расчетом флюксий, а мы знаем его как дифференциальное исчисление – это название предложил Лейбниц, второй изобретатель анализа бесконечно малых. Ньютон же считал интегральный анализ обратным анализу флюксий и никогда не стремился дать ему собственное наименование.

Давайте проанализируем простую физическую задачу: какое расстояние прошло тело за 4 секунды от начала движения, если к t секундам оно двигается со скоростью t^2 метров в секунду? Это соответствует функции v(t) = t^2 , которую мы уже рассматривали, и ответ равен символ интеграл^b_at^2dt. Как рассчитывается этот интеграл? Исходя из понимания интеграла как площади, его значение соответствует площади, ограниченной участком функции, имеющим параболическую форму. Точное определение интеграла – если не обращаться к геометрическому пониманию площади – сложный вопрос.

Если мы посмотрим на рисунок 1, то убедимся, что площадь состоит из вертикальных сегментов длины/(Ј), где число t принимает все значения между a и b. Рисунок предполагает, что площадь – это сумма этих сегментов. Далее, эти сегменты, будучи отрезками прямой линии, имеют ширину 0, из-за чего кажется, что их сумма не сможет образовать никакой площади. И снова мы сталкиваемся с бесконечно малым значением ширины этих сегментов, которые требуется сложить. В записи, предложенной Лейбницем, появляется понимание площади, ограниченной кривой, как суммы бесконечно малых: в соответствии с рисунком 1 каждый сегмент графика имеет высоту f(t) и, по Лейбницу, бесконечно малую ширину, которую мы записываем как dt. Площадь этих сегментов равна произведению основания на высоту, то есть f{t)dt, а общая площадь, которую мы хотим вычислить, будет суммой произведений: символ интегралf(t)dt. Какое значение следовало придать этой сумме, Лейбниц и Ньютон – основатели анализа бесконечно малых – так и не объяснили.

Как мы уже говорили, анализ бесконечно малых связывает производную и интеграл, а согласно основной теореме анализа производные и интегралы являются обратными величинами. Точнее говоря, если мы хотим рассчитать интеграл символ интеграл^b_af(t)dt, то в соответствии с основной теоремой анализа достаточно вычислить функцию F такую, что F'(t) = f(t) для каждого числа t между a и b; тогда символ интеграл^b_af(t)dt = F(b) – F(a). (Также нужно учесть дополнительное условие – неразрывность функции f.)

Рассмотрим пример: основная теорема анализа делает вычисление символ интеграл^b_at^2dt довольно простым. Понятие интеграла крайне гибко, так как в зависимости от своей интерпретации он служит для расчета площади, ограниченной параболой или спиралью Архимеда, либо, как мы видели, расстояния, пройденного телом, которое двигается со скоростью v(t)=t^2 .

Используя основную теорему анализа бесконечно малых, достаточно найти функцию F, производная которой будет равна t^2. Общая форма производной функции вида f(t)=t' равна f(t)-nt^n-1. Отсюда получается, что производная функции

равна t^2 , так как F'(t)=nt^n-1 =3 * t^2/3=t^2. Таким образом:

Как мы уже говорили, расстояние, пройденное за четыре секунды телом, движущимся в течение t секунд со скоростью t^2 м/с, дает интеграл символ интеграл^b_at^2dt ; таким образом, достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 4, чтобы получить

ОТЦЫ АНАЛИЗА

До последней трети XVII века в математическом европейском мире существовал ряд методов для решения абсолютно разных задач: нахождение касательных к кривым, расчет площадей, объемов и центров тяжести, задачи максимальных и минимальных значений и т.д., которые представляют собой зачаточный этап современного анализа. Однако специфика методов, разработанных в каждом конкретном случае для решения определенных задач, не позволяет говорить об общей теории.

ПРОИЗВОДНАЯ КАК КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ

Прямая (секущая) и кривая могут пересекаться в нескольких точках. Математически интересный случай – когда прямая касается кривой только в одной точке Р. Эта секущая будет называться касательной, а Р – точкой касания. Для случая с кривой у = f (х) определим две точки и + h (h – произвольное значение), как показано на рисунке. Когда функция принимает значение f , кривая пересекается двумя прямыми: секущей (S) и касательной (7). Секущая снова пересекает кривую в точке Q, которая соответствует значению f ( + h).