Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы

С помощью приведенной выше формулы Ньютон смог разложить на слагаемые большую часть элементарных функций: обратных тригонометрических (арксинус, арккосинус и арктангенс) и тригонометрических (синус, косинус и тангенс); аналогичным образом он рассчитал логарифмические и экспоненциальные функции. Формула для расчета бинома, открытая, по словам самого Ньютона, в 1665 году, стала ключевым моментом в создании и последующем развитии анализа бесконечно малых.

АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Из всех математических открытий Ньютона самым значительным и повлекшим огромное количество научных достижений стал, без сомнения, анализ бесконечно малых, хотя очень важны и другие его математические работы, например сделанные в сфере аналитической геометрии или вычислительной математики.

Достижения Ньютона и Лейбница были уточнены и дополнены последующими математиками, такими как Огюстен Луи Коши (1789-1857) или Карл Вейерштрасс (1815-1897), и легли в основу дифференциального и интегрального анализа – области математики, которая изучает количественное изменение так же, как геометрия изучает формы, и используется при решении огромного количества технических и физических задач.

Анализ бесконечно малых является самым мощным и эффективным инструментом, когда-либо созданным математиками, он состоит из двух разделов: дифференциального (его основное понятие – производная) и интегрального исчисления.

ПРОИЗВОДНАЯ

Производная – это фундаментальное понятие не только дифференциального исчисления или математики, но и всей науки в целом. Этот термин объединяет скорость или силу в физике, тангенс в геометрии…

В общих словах производная – это мера того, как изменяются значения функции в зависимости от значений, которые принимают ее переменные. Например, если у нас есть функция, описывающая положение объекта в каждое мгновение времени, то производная этой функции будет описывать, как меняется положение объекта в разные моменты времени (учитывая скорость объекта).

Рассмотрим две функции: с одной стороны – функция s, которая в каждый отрезок времени t определяет расстояние s(t), проходимое телом; с другой – функция v, которая в каждое мгновение времени t определяет скорость v(t), с которой тело движется. Рассмотрим следующее выражение: s(t) = sqrt(t) и v(t) = t^2 . Обе функции принимают значение 1 при t = 1: s(1) = 1 и v(1) = 1. Однако таблица значений показывает, что вблизи значения t = 1 функции изменяются по-разному.

t

s(t)

v(t)

0,8

0,8944

0,64

0,9

0,9486

0,81

1

1

1

1,1

1,0488

1,21

1,2

1,0954

1,44

Видно, что функция v меняется сильнее, чем функция s. Чтобы определить это изменение – то есть определить производную, – возьмем некоторое число а и число а + h и сравним, как изменяются разности f(a + h) – f(a), с одной стороны, и a + h – а = h, с другой стороны. Затем определим частное:

Используя формулы функций s(t) = sqrt(t) и v(t) = t^2 , определим значение частного при а = 1 и различных значениях h.

h

s(1+h)-s(1)/h

v(1+h)-v(1)/h

– 0,01

0,5012

1,99

– 0,001

0,5001

1,999

0,001

0,4998

2,001

0,01

0,4987

2,01

Результат для функции v близок к 2, в то время как для функции s – около 0,5, и это подтверждает данные первой таблицы, где мы заметили, что функция v менялась сильнее, чем функция s. Теперь нас интересует значение частного

при h = 0, то есть когда а + h совпадает с a. Это значение мы назовем производной f в точке а и, вслед за математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736-1813), обозначим его f'(a). Как можно убедиться, результат вычислений будет равен 0/0, то есть не имеет смысла.

Однако этот результат лишь кажется абсурдным, поскольку, как показывает предыдущая таблица для наших функций s(t) = sqrt(t) и v(t) = t^2 , когда h – маленькое число, хотя и стремящееся к нулю, оба частных,

вполне имеют смысл и похожи на уже полученные значения: 0,5 для функции s(t) = sqrt(t), и 2 – для функции v(t) = t^2. Немного дальше мы увидим, что на самом деле эти значения совпадают с производными обеих функций в точке 1: s'(1) = 0,5, v’(l) = 2.

Однако деление на ноль, с которым столкнулись при вычислении производной ученые XVII века, представляло некоторую сложность, которая появлялась каждый раз, когда они пытались вычислить, например, касательную к кривой или мгновенную скорость при известном расстоянии, пройденном движущимся телом.

Следует иметь в виду, что до появления анализа бесконечно малых (а произошло это в конце XVII века) могли изучаться только самые простые виды движения: равномерное движение, при котором пройденное расстояние линейно зависит от времени, скорость постоянна и отсутствует ускорение, или равномерно ускоренное движение, когда пройденное расстояние пропорционально квадрату времени и, таким образом, скорость пропорциональна времени и постоянному ускорению.

Изучение последнего вида движения, которое наблюдается, например, при падении тела под воздействием силы тяготения, потребовало всех мыслительных способностей гениального Галилея, который вник в сущность явления за несколько десятилетий до того, как благодаря анализу бесконечно малых изучение этого типа движения стало относительно простым.

Вернемся к одному из наших примеров: тело в движении прошло расстояние s(t) = sqrt(t) за время t (время мы измеряем в секундах, а расстояние – в метрах). Расчет средней скорости, с которой двигается тело, – задача легкая: например, за период времени между 1 и 4 секундами средняя скорость будет равняться результату деления пройденного расстояния на затраченное время:

Средняя скорость

Но что произойдет, если вместо средней скорости за интервал времени мы захотим измерить мгновенную скорость, с которой движется тело в конкретный момент? Для простоты представим, что мы хотим измерить эту скорость именно в тот момент, когда наступает первая секунда движения. Для этого возьмем изменение времени h и посчитаем среднюю скорость между 1 и 1 + h.

Средняя скорость

Чтобы посчитать мгновенную скорость в первую секунду, достаточно приравнять h к нулю. Но тогда, как и ранее, мы получим не имеющий смысла результат: