Открытия и гипотезы, 2015 №04
Шрифт:
Китайцам того времени были известны и отрицательные числа. Их они на доске выделяли палочками другого цвета, а на письме другими чернилами или косой чертой. Кроме того, отрицательные числа имели особое название. Для них были сформулированы правила выполнения операций вычитания и сложения, причём вычитание было определено в первую очередь.
Поначалу отрицательные числа использовались только в процессе счёта и к концу вычислений удалялись с доски, затем китайские учёные стали толковать их как долг или недостачу.
Китайские (вверху) и японские счёты.
Считается,
Учёные полагают, что в Индии позиционная система впервые появилась не позже начала нашей эры. Однако в связи с тем, что индийцы использовали хрупкие материалы для письма, документальных памятников этого периода не сохранилось.
Для целых чисел в Индии использовалась десятичная система. Сначала это были цифры в письме кхароштхи, которые писались справа налево, а затем в письме брахми, которые писались слева направо.
Оба варианта использовали аддитивный принцип для чисел до 100 и мультипликативный — далее. Однако в брахми использовались специальные знаки для чисел от 1 до 9. На основе этой системы были разработаны современные цифры письма деванагари (или «божественного письма»), которые стали применяться в десятичной позиционной системе.
К 595 году относится первая запись числа, в которой применяются девять цифр, нуля ещё не было. Для удобства вычислений Ариабхата предложил записывать цифры знаками санскритского письма. В 662 году христианский епископ Сирии Север Себохт писал: «Я не стану касаться науки индийцев…их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счёт производится с помощью девяти знаков».
Основными арифметическими действиями в Индии считались сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратных и кубических корней, для которых были разработаны правила. Вычисления проводились на счётной доске с песком или пылью или просто на земле и записывались палочкой. Промежуточные выкладки стирались, что приводило к невозможности проверки с помощью обратной операции, вместо чего использовалась проверка с помощью девятки.
Индийцы знали дроби и умели совершать операции над ними, пропорции, прогрессии. Уже с VII века н. э. они пользовались отрицательными числами, интерпретируя их как долг, а также иррациональными числами. Они занимались суммированием числовых рядов, в частности, примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются в «Ведах», а в XVI веке Нараяна Пандит произвёл более общие суммирования Индийские математики Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскара решали простые и даже квадратные уравнения, что было наивысшим достижением индийских математиков в области теории чисел.
Изображение цифр из индийской Вакхшалийской рукописи (XII век). Индийцы называли знак, обозначающий отсутствие какого-либо разряда в числе, словом «сунья», что значит пустой. Арабы перевели это слово по смыслу и получили слово «сифр».
Сейчас нам может показаться странным, что страны ислама могли нести свет просвещения, но на самом деле именно так и было. Математические центры исламских стран сыграли большую роль в распространении знаний в Европу.
В IX–X веках научным исламским центром был Багдад, в котором работали ал-Хорезми, Хаббаш аль-Хасиб, ал-Фаргани, Сабит Ибн Курра, Ибрахим ибн Синан, ал-Баттани. Позднее возникли новые научные центры в Бухаре, Хорезме и Каире, в которых работали Ибн Сина, аль-Бируни и Абу Камил ал-Мисри, а затем в Исфахане и Мераге, где работали Омар Хайям и Насир ад-Дин ат-Туси. В XV веке новый научный центр был образован в Самарканде, в нём работал Гияс ад-Дин ал-Каши.
В начале IX века Мухаммед ибн-Муса ал-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте». В XII веке Аделардом (Англия) и Иоанном Севельским (Испания)
были сделаны два перевода книги на латинский язык.Её оригинал не сохранился, но в 1857 году под названием «Алхорезми об индийском числе» был издан найденный латинский перевод. В трактате описывается выполнение с помощью индийских цифр на счётной доске таких арифметических действий, как сложение, вычитание, удвоение, умножение, раздвоение, деление и извлечение квадратного корня.
В 952–953 годах Абу-л-Хасан Ахмад ал-Уклидиси в своей «Книге разделов об индийской арифметике» использовал десятичные дроби при делении нечётных чисел пополам и некоторых других вычислениях. однако эта книга не оказала влияния на дальнейшее развитие. В начале XV века ал-Каши намеревался построить систему дробей, в которой все операции проводятся как с целыми числами и которая доступна тем, кто не знает «исчисления астрономов». В 1427 году ал-Каши описал систему десятичных дробей, которая получила распространение в Европе после сочинений Стевина в 1585 году. Таким образом, ал-Каши сформулировал основные правила действий с десятичными дробями, формулы перевода их в шестидесятеричные и обратно В своих работах ал-Хорезми производил простейшие операции с радикалами, которые представлялись более простыми, чем несоизмеримые отрезки, используемые в Древней Греции. Теория пропорций подверглась критическому анализу. В частности, выдающийся персидский математик, более известный нам как поэт Омар Хайям, в 1077 году в трактате «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» говорил, что древнегреческое определение не отражает истинной сути пропорций. Хайям дал новое определение пропорции, ввёл отношения «больше» и «меньше», обобщил понятие положительного действительного числа.
Страница из книги аль-Хорезми.
В Центральной Америке в основном использовалась двадцатиричная система счисления. Жрецы майя использовали её для календарных расчётов. В ней второй разряд был неполным и доходил только до 19. В качестве дополнительного основания использовалось число 5. Календарь майя представлял собой позиционную систему, где на каждой позиции располагалось божество с определённым количеством знаков. При письме божества не изображали, а для обозначения пустого разряда использовали символ в виде открытой раковины или глаза. В Южной Америке для записи чисел использовалась узловая нумерация, или кипу.
Арифметические расчёты проводились с помощью юпаны, которая представляет собой аналог абака, однако в связи с особенностями системы счисления арифметика, не связанная с астрономическими расчётами, получила слабое развитие.
В эпоху раннего феодализма в Западной Европе потребности в науке не выходили за пределы вопросов практической арифметики и геометрии. Книги содержали начальные сведения о семи свободных искусствах, включая арифметику. Наиболее популярными были сочинения Боэция, датируемые VI веком, который в числе прочего перевёл на латинский язык «Арифметику» Никомаха с собственными числовыми примерами и часть «Начал» Евклида без строгих доказательств.
Через Испанию и Сицилию в X веке начали завязываться научные связи с арабским миром В это время Каталонию посетил учёный монах Герберт, ставший позднее папой Сильвестром II. Ему приписываются такие сочинения, как «Книжка о делении чисел» и «Правила счёта на абаке».
В XII–XIII веках в Европе появились латинские переводы арабских книг по арифметике.
Основные переводы были сделаны на территории Пиренейского полуострова в Толедо под покровительством архиепископа Раймонда I, а также в Барселоне и Сеговии Приверженцы представленной в книгах десятичной позиционной нумерации стали называться «апгористами» по имени математика ал-Хорезми в латинской форме. Постепенно новая система взяла верх. Основным её преимуществом явилось упрощение арифметических операций. Вместе с тем в Германии, Франции и Англии новые цифры не употреблялись до конца XV века.