Программирование игр и головоломок

Выполнение программы для вычисления g(x) = f(x, 1) с x = 1 и eps = 10^{– 5} дает мне результат, равный 1.4142.

Дальше считать бесполезно, это 2.

Я немедленно изменяю программу, чтобы она выполняла вывод не только величины g, но также и g². Я получаю:

x g²(x)

1 2

2 5

3 10

4 17

Нет возможности сомневаться: g(х) = х² + 1.

Перенося эту формулу в соотношение между f и g, мы видим, проделав все вычисления, что

f (a, b) = a² + b².

«Осталось только» доказать это. Мы не можем доверять заверениям программистов, утверждающих, что их программа делает то-то и то-то. При входе в цикл p и q имеют значения а и b в каком-то порядке, поэтому

p² + q^{2 =} a² + b².

Что происходит с величиной p² + q² после изменений, которым p и q подвергаются в цикле? Вычислим p'² + q'²:

p'² + q'² = (2s + 1)²p² + s²q² = s² (4р² + q²) + 4sp + р².

Вычислим s:

r := q²/p², s = r/(r + 4) = q²(q² + 4p²),

откуда, наконец,

s (4р² + q²) = q².

Возвращаясь отсюда к предыдущему соотношению, получаем

p'² + q'² = sq² + 4sp² + р² = s(4р² + q²) + p² = p² + q².

Таким образом, все кончено… Это соотношение гарантирует, что p² + q² является инвариантом цикла. При каждом входе в цикл выполняется соотношение

p² + q^{2 =} a² + b².

При выходе из цикла

p² + q^{2 =} a² + b², причем q < ерs.

Отсюда следует, что

p² = (a² + b²) * (1 - q²/(a² + b²)).

Cpaey получаем, что

p = a² + b²

с относительной ошибкой eps²/(2 * (a² + b²)).

Чтобы получить точность до 10^{– 5}, совершенно ненужно брать eps = 10^{– 5}; более чем достаточно eps = 0.004. Эта программа сходится очень быстро.

3. Игры без стратегии

Игра 13.

Задача о наиболее длинном взятии не имеет однозначного решения. Вот как ее сделал я — с учетом моих привычек в программировании и упрощений, предоставляемых моим микрокомпьютером.

Я представил всю игру одной-единственной цепочкой символов с кодами возврата каретки, расположенными надлежащим образом — так, чтобы визуализация игры сводилась к визуализации этой цепочки бее какого-либо дополнительного исследования. Куры обозначаются в этой цепочке присвоенными им буквами, лисы — буквами X, пустые игровые поля обозначаются точками. Остальные символы (пробелы или возврат каретки) не отвечают никаким используемым игровым полям. Я добавил в начале и в конце по строчке пробелов, чтобы не было необходимости изучать возможность некоторых перемещений на границе игрового поля.

Я не храню положений лис с помощью двух переменных. Я отыскиваю их положение в цепочке, представляющей игру, с помощью функции «положение» языка LSE. Это — существенная деталь. Поиск наиболее длинного взятия я осуществляю итеративно. Я образую две цепочки:

— одна из них содержит список кур, уже взятых при исследовании данного пути (это — последовательность букв взятых кур),

— вторая цепочка содержит дуплеты: положение в игре и рассматриваемое направление (мы осуществляем взятие, исходя из положения x и двигаясь в направлении, обозначенном через i).

Находясь в положении x и в направлении i я смотрю, есть ли кура на поле x + d[i]. Если ее нет, то в этом направлении никакое взятие невозможно. Если же такая кура есть, то я смотрю, не содержится ли буква этой куры в цепочке уже взятых кур. Если содержится, то в этом направлении ничего не сделаешь. Если же эта кура еще не взята, то я проверяю, действительно ли поле x + 2 * d[i] содержит именно точку — в противном случае никакого взятия нет. Действуя таким образом, я не сталкиваюсь ни с какими трудностями на краях (там есть предохранительная строка, и она не содержит ни одной куры).

Если взятие оказывается возможным, я присоединяю его характеристики к обеим цепочкам, продвигаюсь на новую позицию и возобновляю изучение взятий, исходя из этого нового положения. Я не изменяю состояния игры, за исключением того, которое относится к начальному полю отправления лиса (на этом поле лис может оказаться снова. Напротив, из соображений четности мы не можем прийти на поле, занимаемое какой-либо из взятых кур).

Когда оказывается, что мы достигли поля, исходя из которого уже никакое дальнейшее взятие невозможно, я сравниваю длину цепочки взятых кур с наиболее длинной уже сохраняемой цепочкой и выбираю лучшую из них (нужно смотреть и на цепочку дублетов, чтобы осуществить взятие, обновляя состояние игры, как только наиболее длинное взятие будет определено). Затем я отменяю последнее взятие (совершенное в этих двух цепочках) и перехожу к следующему направлению, исходя из последнего положения. Никакой проблемы с временем вычислений на моем микрокомпьютере не возникает, даже наоборот. Часто нужно добавлять замедляющий цикл, чтобы предоставить игроку время увидеть, что происходит…