Прокачай свой мозг!
Шрифт:
Эврика! Прикладные логические задачи
Найдя решение заковыристой задачи, можете смело кричать «Эврика!». Согласно легенде, именно так воскликнул Архимед, найдя в своей ванне ответ на мучивший его вопрос. Сиракузский царь Гиерон очень ценил самого знаменитого математика античности, поэтому поручил ему крайне щекотливое задание – узнать, из чистого ли золота сделана его новая царская корона. Архимед, естественно, не имел возможности расплавить корону. Кроме того, в то время еще не существовало химических методов анализа для определения содержания золота в сплаве. Задача оказалась трудной. Тут было над чем поломать голову. А теперь давайте прочертим линию между двумя, казалось бы, не связанными между собой вопросами, которая привела к искомому результату. Первый вопрос был уже поставлен: «Сделана ли корона из чистого золота?» Второй вопрос пришел Архимеду в голову, когда он улегся в наполненную доверху ванну и вода перелилась при этом через края. «Почему вылилось именно столько воды?» –
Рис. 9. Архимед открывает выталкивающую силу. Гравюра на дереве из труда Витрувия «Десять книг об архитектуре», Венеция, 1511 год
Архимеду не были знакомы ледяные кубики для охлаждения вина, поэтому попробуйте дать за него ответ на следующий вопрос: в кружке, наполненной до краев водой, плавает кубик льда. Что будет, когда он растает?
Все мы постоянно проделываем эксперименты, но чаще всего даже не осознаем этого. Мы наблюдаем за окружающим миром, а когда он ставит перед нами очередную проблему, подсознательно начинаем обращать больше внимания на те наблюдения, которые так или иначе с ней связаны. Вот вам еще одна проблема. В банковском сейфе имеется 30 ячеек, в каждой из которых хранится по 30 золотых монет. Поступила информация, что в одной из ячеек монеты фальшивые. Настоящая золотая монета весит 10 граммов, а фальшивая – только 9 граммов. Директору банка необходимо узнать, в какой именно ячейке находятся фальшивые деньги, но у него очень мало времени, так как ревизия уже на пороге. У него есть электронные весы, позволяющие взвешивать с точностью до 1 грамма, но времени хватает только на одно взвешивание. Каким же образом можно определить, в какой ячейке фальшивые монеты?
Процедуры взвешивания и измерения постоянно встречаются в задачах, потому что чисто математические действия в этом случае легче трансформировать в форму занимательной истории. Итак, еще одна классическая задача. Перед вами лежат двенадцать металлических шариков, которые на вид не отличаются друг от друга, но один из шариков тяжелее остальных. У вас есть обычные рычажные весы, и вы можете произвести только три взвешивания. Как найти более тяжелый шарик? Ладно, с этой задачей вы, вероятно, справились быстро. А теперь немного усложним условие. Перед вами все те же двенадцать шариков, но один из них либо легче, либо тяжелее других. У вас по-прежнему только три попытки.
Хуже, когда на весы нельзя полностью положиться. Допустим, вы хотите отмерить 2 килограмма сахара. У вас есть рычажные весы, но с разной длиной плеч, килограммовая гиря, несколько бумажных пакетов и большой мешок сахара. Как вы поступите?
Одна упаковка чая весит 75 граммов, но покупателю нужно только 55 граммов. У продавщицы есть рычажные весы, но нет необходимых мелких гирек. Единственное, чем она располагает, – это пакетик шафрана, весящий 25 граммов, и пакетик с сахаром весом 40 граммов. Есть ли у нее возможность взвесить 55 граммов чая?
Крестьяне в Тироле до сих взвешивают яблоки с помощью четырех камней различного веса и рычажных весов. Если разбить 40-килограммовый мельничный жернов на четыре части, с их помощью можно взвешивать любой предмет весом от 1 до 40 килограммов. Вопрос лишь в том, какого веса должны быть эти части жернова.
Раз уж вы так увлеклись взвешиванием, предложим вам последнюю задачу с рычажными весами. На обеих чашах весов стоят наполненные одинаковым количеством воды банки. В одну банку поставим розу. Вторую розу такого же веса положим поверх второй банки, чтобы она не касалась воды. Весы пока находятся в равновесии. Что с ними произойдет, когда вторая роза засохнет?
Вообще-то
весы – символ уравнения. Все, что находится на их чашах, можно представить в виде чисел. Но символизировать различные числа могут также песочные часы или ведра с водой. Вот несколько примеров.У вас есть двое песочных часов. В одних песок полностью пересыпается из верхней емкости в нижнюю за 7 минут, а в других – за 4 минуты. Можно ли с их помощью отмерить ровно девять минут?
У вас есть два ведра. Одно вмещает ровно 3 литра воды, а второе – 5 литров. Никаких отметок на них не имеется. Вы стоите у колонки с водой, и вам нужно отмерить ровно 4 литра. Как это сделать?
Необходимо заполнить водой цистерну. У вас есть четыре насоса различной мощности. Самый мощный может заполнить цистерну за 1 час, второй – за 2 часа, третий – за 3 часа, а четвертому для этого понадобится 6 часов. Поскольку работа срочная, вы одновременно включаете все насосы. Через какое время цистерна будет заполнена?
Возможно, нашей часто критикуемой школьной системе пошло бы на пользу, если бы она подключила к изучению математических формул логику и воображение учащихся. Подумайте сами, какая формула поможет нам решить следующую задачу: осенняя буря повредила флагшток высотой 9 метров. Он сломался в 4 метрах от земли. На каком расстоянии от основания касается земли кончик сломанного флагштока?
С помощью подобных задач можно залезть в дебри математики. Например, если в помещении было три гнома, но четверо из них вышли, то должен зайти еще один, чтобы там никого не осталось. Но это уже не классика. Этот пример подводит нас к следующей главе о том, можно ли доверять здравому смыслу.
Ошибки мышления
Здравый смысл – трудно определимое понятие. И к тому же опасное. Так, например, человек, озабоченный глобальным потеплением, приходит к выводу, что необходимо что-то предпринять. Он продает свой автомобиль, но при этом продолжает летать в отпуск из Европы в Австралию. И это отнюдь не противоречит его здравому смыслу: самолет ведь все равно полетит туда даже без него. С точки зрения экологического баланса это катастрофа, но здравый рассудок отказывается это понимать. Он вообще легко впадает в заблуждение, и применение к нему прилагательного «здравый» вызывает большие сомнения. Опаснее его может быть только «здоровое национальное сознание». Но давайте все же разберемся, как функционирует этот здравый смысл и почему он так часто ошибается.
Представление, будто существует лишь одна-единственная истина, – это самая опасная из всех иллюзий.
Узость мышления или здравый смысл
Представьте себе, что президент некой страны, начитавшийся в молодости Маркса, решает по справедливости перераспределить богатство среди своего народа. Он не хочет ни революций, ни налоговых реформ, поэтому придумывает нечто совершенно новое. Он делит все население на пять классов: бедные, нуждающиеся, средний класс, зажиточные и богатые. Затем между двумя соседними классами поочередно уравниваются доходы. План предусматривает, что сначала усредняются доходы бедных и нуждающихся (их доходы складываются, а затем делятся поровну). Затем то же самое происходит между нуждающимися и средним классом, между средним классом и зажиточными и, наконец, между зажиточными и богатыми. Но богачи считают, что они при этом будут ущемлены, и предлагают начать перераспределение сверху, то есть сначала усредняются доходы между богатыми и зажиточными, потом между зажиточными и средним классом и так далее вплоть до бедняков. Как ни странно, это предложение находит всеобщую поддержку. А что вам подсказывает здравый рассудок? Как вы отнеслись бы к этому плану с обеих позиций, то есть с точки зрениях бедных и богатых?
Здравый смысл вмешивается даже в те области, где ему совершенно нечего делать, например в математику. Давайте предположим, что Земля – идеальный шар с гладкой поверхностью без возвышенностей и впадин и протяженность ее экватора составляет ровно 40 тысяч километров. Мы натягиваем шнур по экватору вокруг всего земного шара. Его длина должна тоже составлять 40 тысяч километров, но, к сожалению, он оказывается на 1 метр длиннее – 40 000,001 километра. Возможно, тот, кто отмерял этот шнур, решил, что один лишний метр по сравнению с длиной экватора абсолютно ничего не значит, так как эти величины несопоставимы. Теперь представьте себе, что этот шнур висит над экватором, образуя по всей длине равномерный зазор (он ведь длиннее, чем надо). Каким будет этот зазор? Несколько микронов? Миллиметр? Пара сантиметров? Прикиньте сами. А теперь представьте себе, что вы натянули шнур вокруг шара для боулинга, а потом удлинили его на 1 метр. Каким теперь будет зазор между шнуром и шаром? Ну, это-то вы можете себе представить!