Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Рисунок 1.10.

С математической точки зрения сдвиг налево означает сдвиг направо на отрицательную величину, и поэтому наши передвижения выражаются такой суммой:

1 - ¹/ ₂+ ¹/ ₄– ¹/ ₈+ ¹/ ₁₆– ¹/ ₃₂+ ¹/ ₆₄,

что на самом деле равно ⁴³/ ₆₄. В действительности несложно доказать — и мы это сделаем в одной из последующих глав, — что если продолжать прибавлять и вычитать до бесконечности, то результат будет таким:

1 - ¹/ ₂+ ¹/ ₄– ¹/ ₈+ ¹/ ₁₆– ¹/ ₃₂+ ¹/ ₆₄– ¹/ ₁₂₈+ … = ²/ ₃. (1.2)

VI.

Теперь представим себе, что вместо линейки с делениями, обозначающими половины, четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. доли дюйма, в руках у нас линейка с делениями в третьи, девятые, двадцать седьмые, восемьдесят первые и т.д. доли. Другими словами, вместо половинок, половин от половин, половин от половин от половин… у нас нанесены трети, трети от третей, трети от третей от третей и т.д. Будем теперь упражняться в том же, что и раньше, — переносить карандаш сначала на дюйм, потом на треть дюйма, потом на одну девятую, потом на одну двадцать седьмую (рис. 1.11).

Рисунок 1.11.

Совсем несложно убедиться, что если продолжать такую операцию до бесконечности, то получится полная сумма в 1 ¹/ ₂дюйма. Другими словами,

1 + ¹/ ₃+ ¹/ ₉+ ¹/ ₂₇+ ¹/ ₈₁+ ¹/ ₂₄₃+ ¹/ ₇₂₉+ ¹/ ₂₁₈₇+ … = 1 ¹/ ₂. (1.3)

А можно, конечно, и на нашей новой линейке менять направление движения: направо на дюйм, налево на треть, направо на одну девятую, налево на одну двадцать седьмую и т.д. (рис. 1.12).

Рисунок 1.12.

Соответствующая арифметика, возможно, не так уж прозрачна, но, как бы то ни было, результат имеет вид

1 - ¹/ ₃+ ¹/ ₉– ¹/ ₂₇+ ¹/ ₈₁– ¹/ ₂₄₃+ ¹/ ₇₂₉– ¹/ ₂₁₈₇+ … = ³/ ₄. (1.4)

Итак, у нас имеются четыре сходящихсяряда: первый (1.1) подкрадывается слева все ближе и ближе к 2, второй (1.2) приближается к ²/ ₃попеременно то слева, то справа, третий (1.3) подбирается слева все ближе и ближе к 1 ¹/ ₂, а четвертый (1.4) приближается к ³/ ₄попеременно то слева, то справа. А перед этим мы познакомились с одним расходящимсярядом — гармоническим.

VII.

При чтении математической литературы полезно знать, в какой области математики вы находитесь — какую часть из этого обширного предмета изучаете. Та область, где обитают бесконечные ряды, в математике называется анализом [2] . Обычно считается, что анализ занимается изучением бесконечного, т.е. бесконечно большого и бесконечно малого (инфинитезимального). Когда Леонард Эйлер — о котором будет много всего сказано ниже — в 1748 году опубликовал свой превосходный первый учебник по анализу, он назвал его просто Introductio in analys in infinitorum —«Введение в анализ бесконечного».

2

Стандартным русским словосочетанием является также математический анализ(или матанализ, как говорят, например, все те студенты, которые не называют его просто матаном). В переводе в подавляющем большинстве случаев оставлен просто «анализ», чего достаточно для передачи сути дела. Соответственно, прилагательное «аналитический» означает «[изучаемый или выраженный] средствами анализа». (Примеч. перев.)

Однако понятия бесконечного и инфинитезимального привели в начале XIX века к возникновению серьезных проблем в математике и в конце концов были полностью сметены с дороги в ходе большой реформы математики. В современный анализ эти концепции не допускаются. ^{A1} Но они застряли в словарном запасе математиков, и в этой книге я нередко буду использовать слово «бесконечность». Надо только помнить, что оно представляет собой просто удобное и выразительное сокращение для более строгих понятий. Каждое математическое утверждение, где присутствует слово «бесконечность», можно переформулировать, не используя этого слова.

Когда мы говорим, что сумма гармонического ряда равна бесконечности, на самом деле имеется в виду, что если задаться сколь угодно большим числом S,то сумма гармонического ряда [3] рано или поздно превысит S.Видите? Никаких «бесконечностей». Во второй трети XIX века анализ был целиком переписан на языке подобного рода. Если какое-то выражение нельзя переписать таким образом, то оно не допускается в современную математику. Далекие от математики люди иногда меня спрашивают: «Раз вы знаете математику, ответьте на вопрос, который меня всегда занимал: сколько будет бесконечность разделить на бесконечность?» На это я могу ответить только: «Вы произносите слова, которые не имеют никакого смысла. Это не математическая фраза. Вы говорите о „бесконечности“ так, как если бы это было число. Но это не число. С таким же успехом вы могли бы спросить „Сколько будет истина разделить на красоту?“ Я ничего не могу по этому поводу сказать. Я умею делить только числа, а „бесконечность“, „истина“, „красота“ — это не числа».

3

Точнее, сумма некоторого числа членов гармонического ряда. (Примеч. перев.)

Каково же тогда современное определение анализа? Для наших целей, как мне кажется, подойдет такое определение: это изучение пределов.Понятие предела лежит в основе анализа. Например, все дифференциальное и интегральное исчисление, составляющее наиболее значительную часть анализа, основано на понятии предела.

Рассмотрим такую числовую последовательность: ¹/ ₁, ³/ ₂, ⁷/ ₅, ¹⁷/ ₁₂, ⁴¹/ ₂₉, ⁹⁹/ ₇₀, ²³⁹/ ₁₆₉, ⁵⁷⁷/ ₄₀₈, ¹³⁹³/ ₉₈₅, ³³⁶³/ ₂₃₇₈, …. Каждая следующая дробь получена из предыдущей по простому правилу: новый знаменатель равен сумме старого числителя и старого знаменателя, а новый числитель равен сумме старого числителя и удвоенного старого знаменателя. Эта последовательность сходится к квадратному корню из числа 2. Например, возведение в квадрат числа ³³⁶³/ ₂₃₇₈дает ^11309769/ _5654884, что равно 2,000000176838287…. Говорят, что предел этой последовательности равен 2.

Рассмотрим еще один пример последовательности: ⁴/ ₁, ⁸/ ₃, ³²/ ₉, ¹²⁸/ ₄₅, ⁷⁶⁸/ ₂₂₅, ⁴⁶⁰⁸/ ₁₅₇₅, ³⁶⁸⁶⁴/ ₁₁₀₂₅, ²⁹⁴⁹¹²/ ₉₉₂₂₅, …. Здесь N-й член последовательности получается так: если Nчетно, то умножаем предыдущий член на ^N / _{( N+ 1)}, а если Nнечетно, то умножаем предыдущий член на ^{( N+ 1)}/ _N . Такая последовательность сходится к числу .Последняя из приведенных дробей равна 2,972154… (данная последовательность сходится очень медленно). [4] А вот еще пример: 1 ¹, (1 ¹/ ₂) ², (1 ¹/ ₃) ³, (1 ¹/ ₄) ⁴, (1 ¹/ ₅) ⁵, … — эта последовательность сходится к числу, которое примерно равно 2,718281828459. Это необычайно важное число, и мы будем использовать его в дальнейшем.

4

То есть для того, чтобы приблизиться к пределу — в данном случае к числу — с хорошей точностью, надо брать члены последовательности с достаточно большими номерами. (Примеч. перев.)

Стоит заметить, что приведенные только что примеры — это примеры последовательностей, т.е. наборов чисел, записанных через запятую. Это не ряды, члены которых надо складывать. Но с точки зрения анализа ряд — это все-таки слегка замаскированная последовательность. Утверждение «ряд 1 + ¹/ ₂+ ¹/ ₄+ ¹/ ₈+ ¹/ ₁₆+ ¹/ ₃₂+ … сходится к 2» математически эквивалентно такому утверждению: «последовательность 1, 1 ¹/ ₂, 1 ³/ ₄, 1 ⁷/ ₈, 1 ¹⁵/ ₁₆, 1 ³¹/ ₃₂, … сходится к 2». Четвертый член этой последовательности представляет собой сумму первых четырех членов ряда и т.д. (Название последовательности такого типа на математическом языке — последовательность частичных суммданного ряда.) Аналогично, утверждение «гармонический ряд расходится» эквивалентно утверждению «последовательность 1, 1 ¹/ ₂, 1 ⁵/ ₆, 2 ¹/ ₁₂, 2 ¹⁷/ ₆₀, 2 ²⁷/ ₃₂, … расходится». В этой последовательности N-й член равен предыдущему плюс ¹/ _N .