Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Но зачем мы вообще все это делаем? Чтобы вернуться к функции J, вот зачем.

Дело в том, что x= 3 ²— это значение, при котором функция Jсовершает прыжок на ¹/ ₂. В голове у математика — и уж точно в голове у великого математика, каким был Риман, — приведенное выражение

сразу вызывает некоторый образ. Этот образ представлен на рисунке 19.4: это функция Jс заполненной полосой. Полоса тянется от 3 ²(т.е. от 9) до бесконечности и имеет высоту одна вторая. Ясно, что вся площадь под (говорим «площадь под» — думаем «интеграл») графиком функции Jсоставлена из подобных же полосок. Полоски высотой 1, протянувшиеся от каждого простого числа до бесконечности; полоски высотой одна вторая, идущие от каждого квадрата простого числа до бесконечности; полоски высотой одна треть от каждого куба простого числа до бесконечности… Видите, как все срастается с той бесконечной суммой бесконечных сумм в выражении (19.3) ?

Рисунок 19.4.

.

Конечно, площадь под графиком функции Jбесконечна. Нарисованная полоска уже имеет бесконечную площадь (высота ¹/ ₂, длина бесконечна, площадь ¹/ ₂x = ). Таковы же площади и всех других полосок. Все вместе они складываются в бесконечность. Но что, если я пожелаю «придавить» функцию Jсправа таким образом, чтобы площадь под графиком стала конечной? Так, чтобы каждая из этих полосок постепенно сужалась и сжималась до такой степени, чтобы площадь ее стала конечной? Как можно было бы осуществить такое «придавливание»?

Последний интеграл подсказывает как. Предположим, что мы взяли какое-нибудь число s(которое будем считать большим единицы). Для каждого аргумента xумножим J(x)на x ^{– s– 1}. Для иллюстрации возьмем s = 1,2. Тогда x ^{– s– 1}= x ^{– 2,2}или, другими словами, 1/ x ^2,2. Возьмем аргумент x, скажем, равным 15. Вот, J(15) есть 7,333333…, а 15 ^{– 2,2}равно 0,00258582…. Перемножая, получаем, что J(x)x ^{– s– 1}имеет значение 0,018962721…. Если брать большие аргументы, то сдавливание будет выражено более ярко. При x = 100 значение выражения J(x)x ^{– s– 1}равно 0,001135932….

На рисунке 19.5 показан график функции J(x)x ^{– s– 1}при s = 1,2. Чтобы подчеркнуть «эффект сдавливания», там показана та же самая полоска, которая была выделена и ранее, но теперь после сдавливания. Видно, как она все более и более худеет по мере того, как аргумент устремляется на восток. Имеется вполне реальный шанс, что вся площадь окажется конечной, несмотря на свою бесконечную длину. В предположении, что так и есть и что дело обстоит таким же образом для всех полосок, спросим себя: какова же будет полная площадь под графиком этой функции? Или, выражаясь математически, каково будет значение

?

Рисунок 19.5.

при s = 1,2.

Давайте посмотрим. Будем перебирать простые числа одно за одним. Для простого числа 2 до сдавливания имеем полоску высоты 1, идущую от 2 до бесконечности, далее полоску высоты идущую от 2 ²до бесконечности, затем полоску высоты идущую от 2 ³до бесконечности, и т.д. Сумма площадей сдавленных полосок — если мы рассматриваем пока только простое число 2 — равна (19.4):

Конечно, это пока только 2-полоски. Имеется аналогичная бесконечная сумма интегралов для 3-полосок (19.5):

И аналогичная сумма для 5, потом для 7 и т.д. для всех простых чисел. Бесконечная сумма бесконечных сумм интегралов! Все хуже и хуже! Да, но самый густой мрак перед рассветом.

Это возвращает нас к началу данного раздела. Поскольку интеграл прозрачен для умножения на число ,

—это то же самое, что

. Но в начале раздела мы видели, что член, который мы в качестве пробного выбрали в выражении (19.3) , т.е.

, равен

— другими словами, sумножить на то, что мы только что получили. Так к чему же сводится выражение (19.5) ? Вот именно, в точности ко второй строке в выражении (19.3) , деленной на s! А выражение (19.4) плюс выражение (19.5) плюс аналогичные выражения для всех остальных простых чисел суммируются к выражению (19.3) , деленному на s. Вот и рассвет! Получается, что штука, с которой я тут забавляюсь, т.е.

, равна просто выражению (19.3) , деленному на s. Но выражение (19.3) равно ln (z), как нам подсказывает Золотой Ключ. Отсюда получается следующий результат.

Золотой Ключ (аналитический вариант) (19.6)

Я просто не нахожу слов, чтобы выразить, насколько это чудесный результат. Он ведет прямо к центральному результату в работе Римана — результату, который будет предъявлен в главе 21. На самом деле это просто переписывание Золотого Ключа в терминах анализа. Однако переписать его так — это невероятно мощное достижение, потому что теперь Золотой Ключ открыт для всех мощных средств дифференциального и интегрального исчисления XIX века. В этом состояло достижение Римана.

Среди упомянутых средств обращения имеется еще один метод, который позволяет вывернуть полученное выражение наизнанку и записать Jчерез . Я немного потяну с предъявлением обращенного выражения. Но логика во всяком случае ясна:

• можно выразить (x)через J(x)(раздел IV данной главы);

• обратив выражение (19.6) , можно выразить J(x)через дзета-функцию

и, следовательно,

• можно выразить (x)через дзета-функцию.

Именно за это предприятие Риман и взялся, потому что в результате окажется, что все свойства функции некоторым образом закодированы в свойствах -функции.

Функция относится к теории чисел; -функция относится к анализу, и мы перебросили понтонный мост через пролив, разделяющий два берега — счет и измерение. Коротко говоря, мы только что получили мощный результат в аналитической теории чисел. На рисунке 19.6 графически представлено выражение (19.6) — Золотой Ключ в аналитическом виде.

Рисунок 19.6.Затемненная область представляет собой интеграл

при s= 1,2. Его численное значение составляет 1,434385276163. Он равен ¹/ _s •ln (s).

Глава 20. Риманов оператор и другие подходы

I.

Закон Монтгомери-Одлыжко утверждает, что нетривиальные нули дзета-функции Римана выглядят — имеется в виду статистически — как собственные значения некоторой случайной эрмитовой матрицы. Операторы, представляемые такими матрицами, можно использовать для моделирования определенных динамических систем в квантовой физике. А имеется ли при этом оператор Римана — оператор, собственные значения которого в точности совпадают с нулями дзета-функции? Если да, то какую динамическую систему он представляет? Удастся ли создать такую систему в физической лаборатории? И если удастся, то поможет ли это в доказательстве Гипотезы?

Эти вопросы активно изучались еще до выхода статьи Одлыжко 1987 года. За год до того Майкл Берри опубликовал статью под заглавием «Дзета-функция Римана: Модель квантового хаоса?». Используя ряд хорошо известных и широко обсуждавшихся в то время результатов (и среди них некоторые результаты Одлыжко), Берри обратился к следующему вопросу. Предположим, что риманов оператор существует; тогда динамическую систему какого типа он бы моделировал? Ответ, который он предложил, — хаотическую систему. Чтобы объяснить это, нам надо ненадолго переключиться на знакомство с теорией хаоса.