Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Глава 19. Поворот Золотого Ключа

I.

А теперь попытаемся проникнуть в самую сердцевину работы Римана 1859 года. Это по необходимости подразумевает знакомство с некоторым довольно продвинутым математическим аппаратом, который использовал сам Риман. Мне придется без лишних слов перескакивать через по-настоящему трудные места, преподнося их как faits accomplis [178] ; я просто попытаюсь описать логические этапы в рассуждениях Римана, говоря при этом нечто вроде: «У математиков есть способ перейти от этого к этому», не объясняя, в чем же этот способ состоит и как он работает.

178

Свершившийся факт (франц.) (Примеч. перев.)

Я надеюсь, что у читателя в итоге сложится впечатление по крайней мере насчет общей логической канвы тех шагов, которым следовал Риман. Но даже и это не удастся без небольшой толики анализа, существенные моменты которого уже изложены в главе 7.vi-vii. Несколько следующих разделов могут показаться вам сложными. Но наградой будет результат столь же мощный, сколь и прекрасный, из которого вытекает все — сама Гипотеза, ее значение и ее связь с распределением простых чисел.

II.

Для начала выскажу нечто противоречащее тому, что было сказано в главе 3.iv. Ну, вроде как противоречащее. Там мы говорили, что не слишком интересно рисовать график функции (N), которая подсчитывает для нас простые числа. В том месте книги так и было. А теперь это не так.

Однако сначала кое-что подкорректируем. Вместо того чтобы писать (N), что на глаз математика выглядит как «число простых чисел, не превышающих натурального числа N», будем писать (x), что должно означать «число простых чисел, не превышающих вещественного числа x». Ничего особенного мы не сделали. Разумеется, число простых чисел, не превышающих 37,51904283, есть просто число простых чисел, не превышающих 37 (и равно двенадцати: это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37). Но нам предстоит познакомиться с некоторым объемом дифференциального и интегрального исчисления, и поэтому желательно находиться в царстве всех, а не одних только целых чисел.

И еще одна корректировка. При постепенном приближении к аргументу xв пределах некоторого интервала значений функция (x)внезапно совершает прыжки. Пусть, например, xпостепенно переходит от числа 10 к числу 12. Число простых чисел, не превышающих 10, равно 4 (это 2, 3, 5 и 7), так что значение функции равно 4, когда x = 10 и, равным образом, разумеется, когда x = 10,1, 10,2, 10,3 и т.д. Но при аргументе 11 это значение внезапно совершает прыжок к 5; и для 11,1, 11,2, 11,3, … оно твердо стоит на 5. Математики называют такое «ступенчатой функцией». И здесь нам потребуется корректировка, которую используют довольно часто, когда имеют дело со ступенчатыми функциями. Ровно в той точке, где (x)совершает прыжок, присвоим ей значение, лежащее посередине между значениями, от которого и до которого она прыгает. Так, при аргументе 10,9, или 10,99, или 10,999999 функция имеет значение 4; при аргументе 11,1, или 11,01, или 11,000001 функция имеет значение 5; но при аргументе 11 это будет 4,5. Сожалею, если это представляется вам немного необычным, но это важно для наших целей. Если мы так сделаем, то все рассуждения из этой главы и из главы 21 будут иметь силу; а если нет, то они не будут работать.

Теперь можно, наконец, продемонстрировать график функции (x)(рис. 19.1). К ступенчатым функциям не сразу привыкаешь, но с математической точки зрения они представляют собой совершенно нормальное явление. Область определения у нас сейчас — все неотрицательные числа. В этой области определения для каждого аргумента имеется единственное значение нашей функции. Дайте мне аргумент, и я скажу вам значение. В математике бывают функции и покруче.

Рисунок 19.1.Функция, считающая простые числа.

III.

Теперь введем другую функцию — также ступенчатую, но при этом слегка более хитрую, чем (x). В статье 1859 года Риман называет ее просто «функция f», но мы вслед за Хэролдом Эдвардсом будем называть ее «функцией J». Со времен Римана математики привыкли использовать fдля обозначения функции вообще: «Пусть f— произвольная функция…» — так что они могут слегка напрячься, увидев fв роли некоторой конкретной функции.

Итак, определим функцию J.Для любого неотрицательного числа xзначение функции Jравно

J(x) = (x) + ¹/ ₂ ( x) + ¹/ ₃ ( ³x ) + ¹/ ₄ ( ⁴x )+ ¹/ ₅ ( ⁵x ) +…. (19.1)

Здесь « » обозначает функцию числа простых чисел именно в том виде, как выше мы ее определили для любого вещественного числа x.

Заметим, что приведенная сумма — небесконечная. Чтобы убедиться в этом, возьмем любое фиксированное число x, скажем, x = 100. Квадратный корень из 100 равен 10; кубический корень равен 4,641588…; корень четвертой степени равен 3,162277…; корень пятой степени 2,511886…; корень шестой степени 2,154434…; корень седьмой степени 1,930697…; корень восьмой степени 1,778279…; корень девятой степени 1,668100… и корень десятой степени равен 1,584893…. Можно было бы, конечно, вычислить и корни одиннадцатой, двенадцатой, тринадцатой степени и т.д., сколько вам заблагорассудится, но в этом нет необходимости, потому что функция числа простых чисел обладает таким очень приятным свойством: если xменьше 2, то (x)равна нулю — просто потому, что нет никаких простых чисел, меньших 2! Таким образом, при вычислении корней из 100 можно было на самом деле остановиться после корня седьмой степени. Вот что мы в результате имеем:

J(100) = (100) + ¹/ ₂ (10) + ¹/ ₃ (4,64…) + ¹/ ₄ (3,16…) + ¹/ ₅ (2,51…) + ¹/ ₆ (2,15…) + 0 + 0 + …,

и если теперь сосчитать число простых, то это равно

J(100) = 25 + ( ¹/ ₂x4) + ( ¹/ ₃x2) + ( ¹/ ₄x2) + ( ¹/ ₅x1) + ( ¹/ ₆x1),

что дает 28 ⁸/ ₁₅или 28,53333…. При извлечении корней из любого числа рано или поздно значения падают ниже 2, и начиная с этого места все члены в выражении для функции Jравны нулю. Поэтому для любого аргумента xзначение функции J(x)можно получить, вычисляя конечнуюсумму — существенное улучшение по сравнению с некоторыми из функций, что нам встречались!

Как уже говорилось, функция Jступенчатая. На рисунке 19.2 показано, как она выглядит при аргументах до 10. Как видно, функция Jсовершает прыжок от одного значения к другому, остается на новом значении на некоторое время, потом совершает новый прыжок. Что это за прыжки? Какой закон за ними стоит?

Рисунок 19.2.Функция J(x).

Вглядевшись очень внимательно в выражение (19.1) , мы увидим следующую закономерность. Во-первых, когда x— простое число, функция J(x)совершает прыжок на высоту 1, потому что (x)— число простых чисел, не превышающих x, — при этом увеличивается на 1. Во-вторых, когда xявляется точным квадратом простого числа (например, x = 9, что есть квадрат числа 3), J(x)совершает прыжок на одну вторую, потому что квадратный корень из xесть простое число, а значит, (x)возрастает на 1. В-третьих, когда xесть точный куб простого числа (например, x = 8, что есть куб числа 2), J(x)совершает прыжок на одну треть, потому что кубичный корень из xравен простому числу, а значит, ( ³ x)возрастает на 1, и т.д.