Путешествие к далеким мирам

R— радиус земного шара ( R— 6378 км);

G ₀ — вес тела у земной поверхности.

Пример использования формул

На сколько уменьшатся вес и ускорение земного тяготения на высоте орбиты спутника, равной 800 км?

Изменение веса:

то есть вес уменьшится на 21 процент.

На столько же уменьшится и ускорение земного тяготения, то есть g = 9,81·0,79 = 7,75 м/сек ².

II. ИСКУССТВЕННЫЙ СПУТНИК ЗЕМЛИ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ

А. Круговая скорость

Как найти величину круговой скорости, то есть той скорости, с которой должен двигаться спутник, чтобы его высота над Землей оставалась неизменной?

Высота спутника не меняется в том случае если он каждое мгновение на столько же удаляется от Земли в своем движении по инерции, на сколько приближается к ней в результате непрекращающегося падения на Землю. Это и позволяет найти необходимую круговую скорость спутника.

Рассмотрим движение спутника за 1 секунду, причем для простоты будем считать, что спутник движется у самой поверхности Земли, то есть высота равна нулю. Тогда за 1 секунду спутник приблизится к центру Земли, в результате притяжения к ней, на величину

На эту же величину он должен удалиться от центра Земли, что позволяет построить прямоугольный треугольник (см. рисунок).

^{Так можно определить круговую скорость искусственного спутника Земли (масштаб построения не соблюден).}

По теореме Пифагора

V _окp. = 9,81·6 378 000 = 7910 м/сек.

Эту же задачу можно решить и иначе. Если высота спутника не меняется, то это значит, что его центростремительное ускорение в точности равно ускорению земного тяготения. (Это вовсе не означает, как иногда пишут, что центробежная сила «уравновешивает» вес спутника.)

Следовательно,

и

V _окp= g ₀ R,

как и ранее.

Как изменяется круговая скорость с высотой орбиты спутника?

Очевидно; на высоте Н

V _кp = g(R+H)

Но так как то

Это значит, что круговая скорость изменяется обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до центра Земли.

Высота Н в км	Круговая скорость Vкр. в м/сек
0	7 910
255	7 760
1 000	7 360
1 670	7 040
35 800	3 080
384 000 (орбита Луны)	1 010

Б. Период обращения спутника

Время, за которое спутник совершит один полный оборот вокруг Земли, равно, очевидно, длине пути за оборот, деленной на круговую скорость:

( Т— так называемый сидерический, или звездный, период обращения).

Но вследствие чего

Подстановка значений R и g ₀ дает следующую довольно точную для приближенных расчетов формулу:

T 0,01 ( R+H) ^3/2

Высота Н в км	Период обращения спутника Т в сек
0	5 070 (1,4 часа)
255	5 400 (1,5 часа)
1 000	6 340 (1,76 часа)
1 670	7 200 (2 часа)
35 800	86 400 (24 часа)
384 000	2,36·10 ^6 (27,3 суток)

III. СКОРОСТЬ ОТРЫВА (ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ)

Скорость отрыва (или параболическая скорость) есть та скорость, которая должна быть сообщена телу у поверхности Земли, чтобы полностью преодолеть поле земного тяготения — удалить тело в бесконечность.

Величина скорости отрыва V _отр. определяется тем, что кинетическая энергия тела должна в этом случае в точности равняться работе преодоления поля тяготения; с помощью высшей математики получаем:

то есть работа полного преодоления поля земного тяготения равна работе поднятия тела при постоянном ускорении силы тяжести, равном его значению у земной поверхности g ₀, на высоту земного радиуса R.

Так как g ₀R есть круговая скорость, то скорость отрыва V _отp. в 1,41 раза больше круговой скорости:

V _отр. = 2 V _кр = 1,41· V _кр

Высота Н в км	Скорость отрыва У отр. в км/сек
0	11,2
300	10,9
1 000	10,4
1 670	9,9
35 800	4,3
384 000	1,42

IV. ОБЩИЙ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО КОРАБЛЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ОДНОГО НЕБЕСНОГО ТЕЛА