Путешествие к далеким мирам

Примеры движения по кругу или по параболе, о которых шла речь выше, являются лишь частными случаями движения тела в поле тяготения небесного тела большой массы. Как известно из небесной механики, в общем случае орбитой такого движения является одна из кривых второго порядка (так называемых конических сечений): круг, эллипс, парабола или гипербола. Общий закон этого движения дается следующей формулой (так называемое уравнение живых сил, упрощенное для случая космического корабля, то есть тела небольшой массы):

или где V— скорость движения тела массы пренебрежимо малой по сравнению с М;

М— масса небесного тела;

f — гравитационная постоянная;

L— расстояние до центра тяжести небесного тела;

а— большая полуось орбиты;

g ₀ — ускорение силы тяжести на поверхности небесного тела на расстоянии R ₀ от его центра.

Как видно из формул, характер орбиты зависит лишь от величины, но не направления скорости V. Различные типы орбит соответствуют следующим частным случаям:

а) а = ,

орбита — парабола;

б) а > , V < V _параб., орбита — эллипс;

в) L = а, V = V _круг =

частный случай эллиптической орбиты — круговая;

г) а < , V> V _параб., орбита — гипербола (V _гиперб.).

Примеры использования формулы

По какой орбите будет двигаться космический корабль, летящий на расстоянии 100 000 км от центра Земли со скоростью 5 км/сек?

По формуле откуда a — 24 000;

так как а < , то V = V _гиперб., орбита — гипербола.

V. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ

Наиболее важными для астронавтики являются эллиптические орбиты, по которым будут двигаться не только все новые искусственные спутники Земли, но чаще всего и космические корабли. Полет по гиперболической орбите — дело более отдаленного будущего (советская космическая ракета, запущенная 2 января 1959 года, летела в поле земного тяготения по гиперболе, а вокруг Солнца движется по эллипсу).

Формулы расчета эллиптических орбит могут быть получены из приведенного выше уравнения живых сил путем упрощений;

для движения вокруг Солнца:

где V— в км/сек,

L,a— в астрономических единицах (1 а. е. — расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150·10 ⁶ км);

для движения вокруг Земли:

где V— в км/сек,

L, а— в радиусах земного шара.

Примеры использования формул

1. Какова должна быть скорость корабля при взлете с Земли для того, чтобы он смог совершить полет на Меркурий по наивыгоднейшей, то есть касательной, эллиптической орбите?

^{Траектория полета на Меркурий по касательной эллиптической орбите.}

В этом случае

и

Так как круговая скорость Земли равна 29,8 км/сек, то, очевидно, кораблю при взлете нужно сообщить скорость против направления движения Земли по орбите, равную 29,8 — 22,3 = 7,5 км/сек.

2. Какова будет скорость корабля в упомянутой выше задаче на орбите Меркурия?

В этом случае L ₂=0,387 а. е., а = 0,6935 а. е., вследствие чего

Так как круговая скорость Меркурия равна 47,9 км/сек (это можно проверить и так — она равна круговой скорости Земли, деленной на 0,387, то есть то корабль будет двигаться быстрее Меркурия на величину 57,5 — 47,9 = 9,6 км/сек.

^{Траектория полета ракеты с Земли на спутник.}

3. Какова должна быть взлетная скорость ракеты, доставляющей о Земли груз на искусственный спутник, находящийся на суточной орбите (высота 35 800 км), если сопротивление воздуха не учитывать? Какова будет скорость этой ракеты на орбите спутника?

В этом случае

При взлете L ₁ = 1, поэтому

На орбите поэтому

Примечание. Для решения этой задачи можно воспользоваться соотношением, связывающим величины скоростей в апогее и перигее эллиптической орбиты:

V _ап· L _ап = V _пер. L _пер,

где V _ап., V _пер.— соответственно скорости движения в апогее и перигее (в задаче V ₂, V ₁);

L _ап, L _пер., — расстояния апогея и перигея от центра Земли (в задаче L ₂, L ₁).

Это соотношение непосредственно вытекает из закона сохранения момента количества движения.

Так как L _ап = L ₂ = 6,6; L _пер = 1 и V _пер.= V ₁ = 10,4 км/сек, то