Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Проблема газа вне состояния равновесия

Вспомним, что газ представляет собой совокупность частиц, движущихся стихийно. В равновесии его состояние задано давлением, температурой и объемом, который он занимает. Равновесие характеризуется либо тем, что газ погружен в какую-либо емкость при постоянной температуре, либо тем, что общая энергия его молекул не изменяется. Но если поместить сосуд, наполненный газом при низкой температуре, например, в духовку, то мы заметим, что газ, находящийся внизу сосуда, будет нагреваться, и молекулы в этой области начнут двигаться быстрее, в то время как молекулы верхней части сосуда сохранят прежнюю температуру. Поскольку температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул, частицы газа сверху и снизу сосуда будут иметь различное распределение скоростей, и решение проблемы газа, находящегося вне состояния равновесия, окажется очень сложным.

Если разница в температуре верхней и нижней частей не очень выражена, мы можем откорректировать уравнения для расчетов, чтобы получить решение, похожее на решение проблемы газа в состоянии равновесия, с некоторыми поправками. Но когда разница температур растет, газ начинает вести себя непредсказуемым образом, и его поведение становится невозможно объяснить с помощью правил Больцмана. В этот момент нужно изменить набор инструментов и вернуться к динамическим системам.

Типы равновесия

В предыдущих главах речь шла о системах в равновесии, но исчерпывающее определение понятия равновесия так и не прозвучало. Существуют различные типы равновесия, но когда мы говорим о газе, то имеем в виду стабильное равновесие.

Идею стабильного равновесия легко понять с помощью рисунка. У треугольника длинная сторона находится внизу. Если толкнуть его вправо или влево, он будет стремиться в свое начальное положение. Мы говорим, что его равновесие стабильно: при небольшом нарушении система сама возвращается в исходное состояние. В случае с газом хаотичное движение молекул играет роль таких небольших нарушений. Если бы газ не находился в стабильном равновесии, мы не могли бы гарантировать сохранение его макросостояния.

Стабильное равновесие можно понимать как точку, в которой система имеет минимальную потенциальную энергию, следуя принципу наименьшего действия Эйлера. То есть на графике уровня энергии относительно положения система будет занимать низшую точку.

Нестабильное равновесие — это противоположное понятие, которое также можно объяснить с помощью рисунка.

< image l:href="#"/>

Мы имеем треугольник, поставленный на вершину. Даже самый минимальный толчок в одну или другую сторону вызовет изменение состояния, и фигура уже не сможет вернуться в исходное положение. Это равновесие нестабильно, поскольку любое, даже самое маленькое, нарушение полностью меняет состояние системы. Газ, находящийся в состоянии нестабильного равновесия, практически невозможно наблюдать, поскольку само движение его молекул играло бы роль таких нарушений и привело бы газ в состояние стабильного равновесия.

Система в состоянии нестабильного равновесия имеет максимальную энергию, так что любое движение в любом направлении способствует ее уменьшению. Следуя принципу наименьшего действия Эйлера, в момент, когда система отклонится от средней точки, она будет стремиться в области меньшей энергии, как показано на графике.

Любопытный аспект системы с нестабильным равновесием — это нарушение симметрии, математическое понятие, которое также применяется в фундаментальной физике для объяснения того факта, что частицы имеют массу. Ситуация, когда треугольник перевернут на вершину, симметрична относительно правой и левой стороны. Нельзя утверждать, что объект упадет в ту или другую сторону. На самом деле уравнения сами по себе также симметричны и не могут использоваться для подобного прогноза. Однако в конце концов треугольник в любом случае упадет и нарушит симметрию исходной ситуации и симметрию уравнений. Невозможно спрогнозировать, в какую сторону будет направлено нарушение симметрии, известно только то, что оно произойдет.

Это принцип справедлив для любой математической проблемы, в которой уравнения имеют симметрию, но их решения могут быть самыми разными.

Другая форма равновесия — это метастабильное равновесие. В этом случае мы имеем систему, которая находится на минимуме локальной энергии, что не соответствует минимально возможной энергии. Это утверждение можно проиллюстрировать с помощью графика.

Система в метастабильном равновесии. Речь идет о локальном минимуме: существует другая точка меньшей энергии, но не непосредственно рядом.

* * *

МЕГАСТАБИЛЬНАЯ ВСЕЛЕННАЯ

Недавнее открытие бозона Хиггса с помощью Большого адронного коллайдера вызвало тревожный прогноз: наша Вселенная находится в метастабильном состоянии.

В квантовой механике, то есть теории, описывающей микромир, вакуум имеет энергию. Существуют различные возможные уровни энергии, но только наименьшая соответствует стабильному состоянию. Когда вакуум находится в нестабильном состоянии, это означает, что можно ожидать его изменения до достижения состояния с меньшим уровнем энергии, но вся произведенная энергия в конце концов полностью меняет вид Вселенной.

Некоторые признаки указывают на то, что вакуумное пространство находится в метастабильном состоянии, и это означает, что рано или поздно оно перейдет в стабильное состояние, разрушив при этом известную нам Вселенную. Переход в стабильное состояние может произойти завтра или через 100 тысяч миллионов лет. Впрочем, физики полагают, что у нашей Вселенной осталось еще по меньшей мере 10 тысяч миллионов лет.

* * *

Типичный пример — горячий лед, который можно сделать на кухне. Смешаем уксус с пищевой содой и получим ацетат натрия. Затем из кипящей воды и соли получим перенасыщенный раствор, добавим в него немного ацетата, и он закристаллизуется.

Если поставить раствор в холодильник, его температура снизится, будет пройдена граница точки замерзания, после которой состояние вещества с минимальной энергией должно быть твердым, но не жидким. Однако наш раствор все еще остается в жидком состоянии, а чтобы перейти в твердое, ему нужна некоторая энергия. Слегка постучим по стакану пальцем. Раствор получит достаточную энергию, чтобы дойти до реального минимума. При этом вся лишняя энергия высвободится, превращаясь в тепло. Мы увидим сверхскоростную реакцию, при которой раствор за несколько секунд застывает с высвобождением большого количества энергии, которая согревает получающийся кристалл. Наш раствор стал похожим на лед, но этот лед будет горячим.

Аттракторы

Решить уравнения Гамильтона для газа невозможно, но по крайней мере мы знаем, что газ ведет себя как динамическая система. Следовательно, у него будут те же характеристики, что и у обычной динамической системы, и вывести их можно с помощью элементарной математики и здравого смысла. Вспомним, что теория динамических систем — это не физическая, а математическая теория: любая система, изменяющаяся во времени по определенному правилу, — динамическая.

Мы можем представить газ как одну частицу, движущуюся в двух измерениях и описывающую некоторую траекторию. Конечно, движение газа сложнее, но качественные характеристики примерно такие же.

Если взять динамическую систему и начать вычислять ее траектории исходя из различных начальных условий, мы получим рисунок, похожий на приведенный ниже.

Это говорит о том, что несмотря на сложное поведение, такие динамические системы, как газ вне состояния равновесия, демонстрируют некоторые закономерности, которые можно определить, изучив траектории. Если мы обратим внимание на рисунок, то увидим, что наша система стремится приблизиться к некоторым областям фазового пространства. Эти области называются аттракторами, они бывают различных типов, с разными характеристиками. Если предоставить динамической системе для изменения достаточно времени, любая из них будет стремиться к аттрактору, поскольку все траектории ведут к ним.