Репортаж с ничейной земли. Рассказы об информации
Шрифт:
Энтропия будет расти до тех пор, пока в равных объемах не окажется равное число «жителей», имеющих близкие значения скоростей. Такое состояние является состоянием равновесия, и оно имеет наибольшую вероятность. Зато у таких событий, как «столпотворение» в одной части сосуда или слишком большая скорость отдельных микрочастиц, вероятность очень мала. Значит, с ростом энтропии тело стремится к более вероятному состоянию - вот та основная идея, которую дал физике Больцман. И на основе этой идеи он впервые связал понятие вероятности с понятием энтропии.
Сущность энтропии начала проясняться. Энтропия связана с вероятностью состояния. А наиболее вероятным является состояние равновесия, когда в любой части сосуда находится в среднем одно и то же количество
Теория вероятностей знает немало подобных примеров. Если на ровную площадку брошено 100 одинаковых игральных костей, то сумма выпавших на них очков будет всегда близка 350. Почему именно этому числу?
Потому что оно является наиболее вероятным. Давайте рассуждать так. Наибольшая сумма очков равна 600. Она будет в том случае, если все кости упадут вверх «шестерками». Может ли случиться такое событие? Теоретически может. А практически нет, потому что его вероятность близка нулю. Точно так же не может случиться, чтобы все 100 костей выпали вверх единицами. Отсюда уже ясно, что выпавшая сумма должна находиться где-то между 600 и 100. Если хотите определить ее более точно, подсчитайте «математическое ожидание» этой суммы. Нам с вами уже приходилось делать подобный расчет. В данном случае он выглядит ничуть не сложнее:
M =
(
1
6
·1 +
1
6
·2 +
1
6
·3 +
1
6
·4 +
1
6
·5 +
1
6
·6
)
·100 = 350.
Мы взяли вероятность выпадения каждой из 6 граней (1/6), умножили ее на число очков каждой грани (1, 2, 3, 4, 5, 6), сложили полученные числа и умножили на количество игральных костей. 350 - это средняя сумма. Сколько бы мы ни кидали наши игральные кости, сумма очков будет всегда близка средней сумме, то есть числу 350.
То же самое происходит и в микромире. Как бы ни толкали друг друга молекулы, количество их в единице объема и скорости их движения всегда близки какой-то средней величине. Так будет до тех пор, пока газ находится в равновесии, пока в любой части сосуда одно и то же давление, одна и та же температура. И в этом случае энтропия тела, выражающая вероятность его состояния, равна наибольшей величине.
Вот теперь мы, наконец, подходим к тому моменту, когда все, что увидели мы в хаотическом мире молекул, можно будет свести к одной замечательной формуле:
S = - Pilog Pi.
Узнаете ли вы эту формулу? Еще бы, ведь она так часто встречалась нам в Новом Городе! Только там не было знака «-», а вместо S стоял значок I. Шеннон взял эту формулу из теории Больцмана. Он применил ее для расчета количества информации, и потому в его формуле стоял значок I. А Больцман использовал в своих формулах предложенный Клаузиусом значок энтропии S. А в общем Больцман и Шеннон оценивали с помощью этой формулы одно и то же качество явлений - их неопределенность.
Согласно теории Больцмана наибольшая энтропия газа соответствует самому хаотическому движению молекул. Согласно формуле Шеннона наибольшей энтропией обладает самый «хаотичный» текст:
СУХТРБЬДЩ ЯЫХВЩИЮАЖТЛ...
Если температура постоянна и одинакова во всех частях тела, значит оно находится в равновесии. Кривая Максвелла покажет нам, как при этой температуре (на рисунке она обозначена через Т1) распределились вероятности скоростей. Если мы подогреем только одну часть тела (например, одну стенку наполненного газом сосуда), равновесие нарушится на какое-то время. Но вскоре находящиеся в сосуде молекулы газа восстановят привычный для них порядок, тепло распространится по всему объему, наступит
новое равновесие при температуре Т2.Смотрите, что происходит с кривой Максвелла: она стала широкой и плоской, более близкими друг другу стали вероятности разных скоростей. А раз так, значит величина энтропии, подсчитанная по формуле S = - Pilog Pi должна возрасти. Так же, как в тексте, где буквы имеют близкую вероятность, так же, как в опыте с равным количеством разноцветных шаров.
Значит, и формула энтропии и кривые Максвелла говорят об одном и том же: получив тепло, тело увеличивает свою энтропию, потому что возрастает неопределенность движения: можно почти с одинаконой вероятностью ожидать и малых (С1), и средних (С2), и больших (С3) скоростей.
Значит, и в тексте, и в опыте с шарами, и в хаотическом танце молекул есть одна и та же закономерность: неопределенность, равная Pilog Pi, увеличивается в том случае, когда становятся равными вероятности различных событий.
И все же не так-то просто представить себе по кривым Максвелла всю картину движения, царящего в облаке газа. Дело в том, что эти кривые отражают лишь вероятность той или иной величины скорости, а ведь надо учесть еще и вероятности всех направлений. Например, можно считать, что кривые, изображенные на нашем рисунке, отражают скорость движения слева направо, то есть вдоль оси X. Для частиц, движущихся сверху вниз, должна быть построена вторая кривая. Третья кривая будет соответствовать направлению, перпендикулярному плоскости рисунка (ось У). А если частица движется под углом к стенкам нашего куба, значит ее скорость (С) определяется всеми тремя кривыми, потому что она содержит в себе три составляющих: Сх, Су и Сz.
Картина получается довольно сложной, если попытаться представить себе движение миллиардов частиц. И едва ли у кого-нибудь из ваших знакомых хватит терпения разобраться в том, что случилось с вами в кубике газа, если вы по ходу рассказа будете то и дело прибегать к помощи этих кривых.
Как же описать эту картину тому, кто не видел ее сквозь люк батисферы?
Давайте попробуем сделать так: отметим положение всех частиц для какого-то мгновения времени. Осталось учесть скорость и направление. Для этого условимся, что направление стрелки, идущей от каждой точки, совпадает с направлением движения микрочастицы, а длины стрелок соответствуют значениям скоростей. Вот мы и получили тот хаос, который существует в какое-то мгновение в кубике газа.
В следующее мгновение, столкнувшись между собой, частицы изменят направление и скорость движения, и картина станет совершенно иной. И участвовать в этой «пляске» будут не десятки точек, уместившихся на нашем рисунке, а миллиарды молекул газа. Но все же этот рисунок дает возможность представить себе, что творится в маленьком кубике газа, и понять, почему физикам приходится вооружаться сложным математическим аппаратом, чтобы понять, как живет этот мир.
Усилиями многих ученых были найдены методы, позволяющие исследовать этот хаос. И все эти исследования вновь и вновь подтверждали справедливость замечательной формулы:
S = - Pilog Pi.
Удивительная формула! Смысл ее обсуждался на конференциях и в научных журналах. Пожалуй, за всю историю науки не было формулы, на которую во всех областях человеческих знаний существовал бы такой непрерывно возрастающий спрос. Но где бы ни нашла она себе применение в настоящем и в будущем, смысл ее будет одним: там, где различные события имеют разную вероятность, неопределенность невелика. Если величины Р становятся равными для всех возможных событий, неопределенность растет.