Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Обложка книги Джузеппе Пеано «Начала арифметики, изложенные новым методом».

Этот хитроумный шаг позволил Пеано возвести здание арифметики на основе всего пяти аксиом, пятая из которых, известная как аксиома индукции, вновь оказалась немного сложнее остальных. В основу новой арифметики легли особое число ноль и операция, ставящая в соответствие каждому натуральному числу другое, которое называется следующим за ним. Далее этот итальянский математик предложил описать на этом языке натуральные числа как объекты, обладающие следующими свойствами:

1) ноль есть натуральное число;

2) число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;

3) ноль не следует ни за каким натуральным числом;

4) всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом;

5) если множество А содержит ноль и содержит следующее число для любого числа, принадлежащего этому множеству, то А содержит все натуральные числа.

Первая теорема, которую можно доказать на основе аксиом Пеано, гласит, что единица отлична от нуля, однако сначала нужно объяснить, что такое «единица». Внимательно изучив доказательство этой теоремы, можно получить представление о том, как работать с аксиомами и правилами вывода. Как мы уже говорили, доказательство того, что единица отлична от нуля, обязательно должно начинаться с аксиомы, каковой является аксиома Пеано: «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» (1). Затем можно использовать другую аксиому или высказывание, получаемое из предыдущих согласно логическому правилу вывода.

На этом шаге мы выберем аксиому, которая звучит так: «Ноль есть натуральное число» (2). Теперь с помощью modus ponens из двух первых утверждений: «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» и «ноль есть натуральное число» — выведем третье высказывание доказательства: «существует число, следующее за нулем» (3). Для краткости будем называть это число единицей и будем обозначать его 1. На этом шаге можно перезаписать аксиому № 3, заменив ее эквивалентной формулировкой: «если число — ноль, то оно не является следующим ни для какого числа» (4), и применить высказывание (3), которое мы уже доказали выше и которое гласит: «следующее за нулем число есть единица». Использовав modus tollens, получим: «Если число — ноль, оно не является следующим ни для какого числа. Единица — следующее за нулем число, следовательно, единица — это не ноль». Именно так звучит наша теорема: «Единица отлична от нуля» (3).

Теперь, доказав, что ноль и единица — различные числа, мы можем задуматься: образуют ли объекты, удовлетворяющие аксиомам Пеано, бесконечный ряд, иными словами, существует ли бесконечно много натуральных чисел? Мы ведь знаем, что каждое число отличается от всех предыдущих. Именно здесь крайне важна аксиома индукции, которая позволяет доказывать теоремы обо всех натуральных числах, не рассматривая каждое из них конкретно. Чтобы понять, в чем заключается принцип индукции, представьте себе числа как последовательность костяшек домино, из которых мы выбрали несколько и подтолкнули их. Аксиома индукции подтверждает ожидания читателя: если мы подтолкнем первую костяшку в ряду и если при падении каждой костяшки будет падать следующая за ней, то после того как упадет первая костяшка, упадут и все остальные.

После того как мы доказали, что существует натуральное число, отличное от нуля, которое называется единицей, эти же рассуждения можно повторить и показать, что существует еще одно число, отличное от нуля и единицы. И действительно, «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» (1) и «единица есть натуральное число» (2). Применив modus ponens, получим, что «существует число, следующее за единицей» (3). Это число мы назовем двойкой. Согласно аксиоме № 4, «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом» (4). Наша теорема гласит, что «ноль и единица — различные числа» (3), таким образом, вновь применив modus ponens, имеем: «число, следующее за нулем, отличается от числа, следующего за единицей» (6), и этими числами, о которых идет речь, являются единица и двойка. С другой стороны, двойка и ноль — различные числа, так как двойка следует за единицей, а ноль не следует ни за каким натуральным числом.

Если мы повторим эти же рассуждения, заменив единицу на двойку, то докажем, что существует натуральное число, которое мы назовем «три» и которое отличается от всех уже упомянутых, то есть от нуля, единицы и двойки. Повторив эти же рассуждения достаточное число раз, можно доказать, что конкретное число, например 1729, отличается от следующего за ним и от всех предыдущих. Благодаря аксиоме индукции, чтобы доказать утверждение «всякое натуральное число отличается от следующего», достаточно доказать, что единица отличается от нуля (иными словами, что падает первая костяшка домино) и что это же утверждение верно для произвольного конкретного числа и следующего за ним (другими словами, что при падении костяшки домино падает и следующая за ней).

Читатель, дошедший до этих строк, усомнится, обязательно ли прибегать к такому многословию, чтобы убедиться в элементарном, а именно в том, что два натуральных числа различны. И он будет совершенно прав, поскольку ни один отец не станет таким способом объяснять сыну, что две карамельки в кармане не то же самое, что всего одна. Однако логика описывает не рассуждения обычной жизни, а способ, которым нужно рассуждать, чтобы гарантированно прийти к истинному заключению. Мы избавили термины «ноль», «число» и «следующее» от всех интуитивно понятных значений, сведя их к абстрактным понятиям, связанным между собой посредством аксиом и правил вывода.

Чего мы ожидаем от аксиом

Благодаря новой концепции аксиом и доказательств, те теории, в которых немногие очевидные истины занимали привилегированное положение, стали более демократичными системами. В этих системах любые высказывания могут быть названы аксиомами. Однако это верно лишь априори, поскольку неразумно допускать, чтобы грудной ребенок был избран премьер-министром, и столь же неразумно выбирать аксиомы совершенно произвольно. Подобные ограничения никак не умаляют полезность и аксиоматических теорий. Евклид четко понимал, как следует выбрать аксиомы, но когда использовать повседневный опыт оказалось невозможно, пришлось определить формальные критерии корректности аксиом: непротиворечивость, рекурсивную перечислимость и полноту.

Чтобы объяснить, что означает непротиворечивость системы аксиом, немного пофантазируем о технологиях будущего. Мы легко можем предположить, что через сто лет группа ученых создаст всеразрушающий снаряд, способный в мгновение ока уничтожить любой предмет. Мы также можем представить, что, создав новые сплавы, другая группа ученых спроектирует самолет, неуязвимый для любого оружия.

Каждое из этих утверждений вполне допустимо, например, в научно-фантастическом фильме, однако в сценарии вряд ли обе эти гипотезы будут выполняться одновременно, поскольку если кто-то выстрелит всеразрушающим снарядом по неуязвимому самолету, мы столкнемся с парадоксом.

В общем случае говорят, что множество аксиом является непротиворечивым, если оно не порождает противоречий, то есть если из него нельзя вывести некоторое высказывание и его отрицание одновременно. Так, аксиомы «существует всеразрушающий снаряд» и «существует неуязвимый самолет» противоречивы, так как из первой следует, что при ударе снаряда самолет разрушится, а из второй — что самолет останется неповрежденным. Требование непротиворечивости — минимальное требование к аксиомам, но проблема заключается в том, что гарантировать непротиворечивость системы аксиом часто можно только с помощью более сложных теорий, непротиворечивость которых ставит больше вопросов, чем ответов. Эта гигантская черепаха, которая стоит на другой черепахе, та — на третьей и т. д. до бесконечности, будет одним из чудовищ, с которым придется сразиться героям нашей истории.

* * *

В ПРОТИВОРЕЧИВОЙ СИСТЕМЕ АКСИОМ ЛЮБОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ — ТЕОРЕМА

Допустим, что мы хотим доказать истинность высказывания Q. Так как система аксиом противоречива, существует теорема Р, отрицание которой, не-Р, также будет теоремой. Это означает, что можно найти доказательства Р и не-Р. Как мы уже говорили, когда речь шла о правилах вывода, заключение «Если Р и не-Р, то Q» является корректным, так как исходные посылки никогда не выполняются одновременно. Так как в противоречивой системе аксиом Р и не-Р — теоремы, объединив правило вывода «Если Р и не-Р, то Q» и доказательства Р и не-Р, с помощью modus ponens можно показать, что Q — теорема. Иными словами, сколь бы невероятным это ни казалось, в мире, где ноль равен единице и одновременно отличается от нее, вы — мой отец (даже если вы — женщина). Ex contradictione… — из противоречия следует все что угодно.