Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы
Шрифт:
Он не сделал этот последний шаг не потому, что ему не хватило духа, а потому, что когда Бертрану было 11 лет, его брат Фрэнк открыл ему врата рая, который стал для него настоящим спасением и о котором еще столько предстояло узнать. Знакомство юного Рассела с райским садом «Начал» Евклида, к которым он обращался всякий раз, когда враждебный мир делался невыносимым, было подобно первой любви. Однако счастье Бертрана было неполным — хотя, по рассказам, греческий мудрец доказал все, каждый, кто открывал страницы этой книги, должен был принять на веру следующее утверждение: «Точка есть то, что не имеет частей».
Бертран Рассел в 1893 году в возрасте 21
А если бы она имела части? «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую». А если нельзя? Бертран неохотно прислушался к совету брата, говорившего, что если не принять аксиомы на веру, обучение продолжить нельзя.
Прошло время, и спустя 12 лет после приезда в Олд-Саутгейт Бертран снова оказался в тупике — как в те моменты, когда он думал о самоубийстве. За эти 12 лет успело произойти многое: он получил степень по математике и философии в Кембриджском университете, где тайное общество лучших студентов, называвшее себя «Апостолами», наконец подарило ему тысячи часов бесед, которые он надеялся найти во время учебы. Он успел совершить путешествие, опубликовать первые книги о немецкой социал-демократии и основах геометрии и сочетаться браком с Элис Пирсолл — дочерью американских квакеров. Основным занятием Рассела оставалась математика, а его целью было свести аксиомы геометрии к законам логики, чтобы никакое утверждение больше не требовалось принимать на веру.
Попытавшись вывести из логики всю математику, Бертран столкнулся с противоречием, которым на первый взгляд казалась одна из задачек вида «Может ли мужчина жениться на сестре своей вдовы?». Чтобы увидеть, в чем заключается подвох, достаточно проанализировать значение каждого понятия. Однако разрешение противоречия, которое волновало Рассела, требовало гораздо больших усилий: два лета подряд он день за днем глядел на чистый лист бумаги, утро сменялось полуднем, наступал вечер, а лист по-прежнему был чистым, и в конце концов он пришел к мысли о том, что не существует множества всех множеств, которые не содержат сами себя.
Чтобы понять, в чем заключается парадокс, который положил конец счастливой и спокойной жизни Бертрана Рассела, сначала в нескольких словах опишем основы теории множеств. В предыдущей главе мы хотели показать, что основы аксиоматического метода можно встретить уже в «Началах», однако для Евклида аксиомы были очевидными истинами, а не исходными утверждениями, выбранными из соображений удобства. Со временем языка Евклида оказалось недостаточно для изложения новых математических идей. Доказать сложные теоремы XIX века исключительно с помощью слов и фигур было так же сложно, как сегодня перевести на один из мертвых языков инструкцию для iPhone.
Постепенно математическая нотация становилась все более символической: была введена форма, пригодная не только для записи рядов, производных и интегралов, — благодаря работам английского математика Джорджа Буля (1815–1864) стало возможным записывать в виде уравнений логические высказывания. Геометрия изучает фигуры в пространстве, арифметика — числа, математический анализ — средства, необходимые для формализации физических законов, алгебра — уравнения. Можно ли найти язык, общий для всех этих дисциплин, который сделал бы очевидным их единство?
* * *
БУЛЕВА АЛГЕБРА
Джордж Буль был первым, кто провел аналогию между логическими связками «и» и «или» и операциями умножения и сложения в алгебре. Он также ввел обозначения 0 («ложь») и 1 («истина») для двух значений логических переменных. Перед тем как рассмотреть пример, напомним, что при умножении чисел результат равняется нулю только тогда, когда одно из этих чисел равно нулю.
Допустим, что мы хотим перевести на язык алгебры высказывание «Все люди смертны».
Буль предложил обозначить через р значение истинности высказывания «быть человеком», за q — значение высказывания «быть смертным». Этот хитроумный прием позволяет свести содержание фразы к уравнению р·(1 — q) = 0.
Так, если некто является человеком, то р принимает значение истинности 1 («истина»).
Уравнение гласит, что произведение чисел р и (1 — q) равно нулю. Так как р отлично от нуля, то 1 — q должно равняться нулю. Однако это означает,
что q равно 1 («истина»), то есть что человек смертен.Джордж Буль, один из прародителей вычислительной алгебры.
* * *
Размышляя о проблеме, которая изначально не имела ничего общего с этим скорее философским, нежели математическим вопросом, Георг Кантор в период с 1878 по 1884 год считал, что нашел ответ в теории множеств. На интуитивном уровне множество определяется как совокупность объектов: мы говорим о множестве животных, множестве парков Парижа или множестве читателей этой книги.
Эти совокупности можно определить, перечислив все входящие в них элементы либо указав нечто общее для этих элементов. Так, множество натуральных чисел (напомним, что натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете) — это не что иное, как множество
Едва начав работу, Кантор осознал, что в его новой теории рассматривались одновременно два объекта совершенно разной природы: конечные и бесконечные множества. По сути задача о нахождении числа элементов множества (математики называют его кардинальным числом, или мощностью множества) имеет разные решения в зависимости от того, конечное или бесконечное множество мы рассматриваем. Представим очень простую ситуацию: допустим, мы хотим узнать, имеют ли два конечных множества одно и то же кардинальное число, например равно ли число букв в слове «нахальство» числу цветов радуги. Очевидный метод заключается в том, чтобы подсчитать элементы каждого множества и сравнить результаты: так как в слове Н-А-Х-А-Л-Ь-С-Т-В-О десять букв, а в радуге семь цветов (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый), то эти два множества содержат разное число элементов. Но что произойдет, если мы применим этот же метод к двум бесконечным множествам? В этом случае необходимо либо считать, что все бесконечные множества обладают одинаковым кардинальным числом и поставить на этом точку, либо использовать какой-то другой метод.
Вернемся к конечным множествам и посмотрим, что произойдет, если мы будем не рассматривать две совокупности по отдельности, а станем по очереди извлекать из них по одному элементу: начнем с буквы Н и красного цвета и т. д., пока не дойдем до буквы С, которой соответствует фиолетовый цвет. В этот момент одно из двух множеств уже «закончилось», а в другом осталось еще три элемента — буквы Т, В и О, следовательно, кардинальное число этого множества больше. Операция, которую мы попытались проделать, в математике называется установлением биекции между двумя множествами и означает присвоение каждому элементу множества X элемента другого множества Y «один к одному» так, что выполняются следующие условия.
1. Не существует двух элементов X таких, которым соответствует один и тот же элемент Y.
2. Каждому элементу Y соответствует какой-либо элемент множества X.
Таким образом, используя введенную нами терминологию, можно сказать, что кардинальные числа двух множеств равны, если между ними можно установить биекцию. Нетрудно показать, что установить биекцию между двумя конечными множествами с разным числом элементов нельзя, так как либо несколько элементов X будут поставлены в соответствие одному и тому же элементу Y, либо какой-то элемент Y останется без пары.