Тени разума. В поисках науки о сознании

Как выглядит это математическое описание? Я не стану углубляться в ненужные здесь подробности, лишь вкратце изложу основные концепции. Идея матрицы плотности, вообще говоря, весьма изящна [43] . Начать с того, что вместо каждого отдельного состояния | мы используем объект вида

| |.

Что означает такая запись? Не прибегая к точному математическому определению, которое для нас сейчас несущественно, можно сказать, что это выражение представляет собой особого рода «произведение» (точнее, вид тензорного произведения, см. §5.15 ) вектора состояния | и «комплексно сопряженного» ему вектора |. Вектор состояния | мы полагаем нормированным(т.е. | = 1); тогда выражение | |однозначно определяется физическим состоянием, представленным вектором | (поскольку не зависит от изменений фазового множителя | e ⁱ| , см. §5.10 ). В системе обозначений Дирака исходный вектор | называется «кет»-вектором, а соответствующий ему |— «бра»-вектором. Бра-вектор |и кет-вектор | могут образовывать и скалярное произведение («bra-ket» [44] ):

43

Эта идея была предложена в 1932 году выдающимся венгерско-американским математиком Джоном фон Нейманом. Ему же, главным образом, мы обязаны теорией, опиравшейся на первопроходческие труды Алана Тьюринга и положившей начало развитию электронных компьютеров. Кроме того, фон Нейман стоял у истоков теории игр (см. ссылку в примечании {46}) и, что ближе к теме нашего разговора, первым четко определил две квантовые процедуры, которые я обозначил здесь буквами « U» и « R».

44

Созвучно английскому bracket«скобка». — Прим. перев.

|,

с таким обозначением мы уже встречались в §5.12 . Значением скалярного произведения является самое обычное комплексное число, тогда как тензорное произведение | | в матрице плотности дает более сложный математический «объект» — элемент некоторого векторного пространства.

Перейти от непонятного «объекта» к обычному комплексному числу позволяет особая математическая операция, называемая вычислением следа(или суммы элементов главной диагонали) матрицы. Для простого выражения | | эта операция сводится к простой перестановке членов, дающей в результате скалярное произведение:

СЛЕД(| |) = | .

В случае суммы членов «след» вычисляется линейно: например,

СЛЕД ( z| | + w| |) = z | + w | .

Я не стану в подробностях выводить все математические свойства таких объектов, как |и | |, однако кое о чем упомянуть стоит. Во-первых, произведение | | подчиняется тем же алгебраическим правилам, что перечислены в §5.15 для произведения | | (за исключением последнего, которое к данному случаю неприменимо):

( z|) | = z( | |) = |( z |),

( | + |) | = | | + | |,

|( | + |) = | | + | |.

Следует также отметить, что бра-вектор z' |является комплексным сопряженным кет-вектора z| (поскольку число z' есть комплексное сопряженное комплексного числа z, см. §5.8 ), а сумма |+ |— комплексным сопряженным суммы | + |.

Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, представляющую некоторую комбинацию вероятностей нормированных состояний, скажем, | и | ; вероятности, соответственно, равны aи b. Правильная матрица плотности в данном случае будет иметь вид

D = a| |+ b| |.

Для трех нормированных состояний | , | , | с соответствующими вероятностями a, b, cимеем

D = a| |+ b| | + c| |,

и так далее. Из того, что вероятности всех альтернативных вариантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное свойство, справедливое для любой матрицы плотности:

СЛЕД( D ) = 1.

Как же использовать матрицу плотности для вычисления вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала простой случай примитивного измерения. Спросим, находится ли система в физическом состоянии | ( ДА) или в ином состоянии, ортогональном | ( НЕТ). Само измерение представляет собой математический объект (так называемый проектор), очень похожий на матрицу плотности:

E = | |.

Вероятность pполучения ответа ДАопределяется из выражения

p = СЛЕД( DE ),

где произведение DE само представляет собой объект, подобный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью несложных алгебраических правил, необходимо лишь соблюдать порядок «умножений». Например, для вышеприведенной двучленной суммы D = a| |+ b| | имеем

DE = ( a| |+ b| |) | |= a| | |+ b| | |= ( a |)| |+ ( b | )| |.

Члены | и | могут «коммутировать» с другими выражениями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких «объектов», как | и |необходимо тщательно соблюдать. Далее получаем (учитывая, что zz' = | z ²|, см. §5.8 )

СЛЕД( DE ) = ( a |) | + ( b | ) | = a| || ²+ b| | | ².

Напомню (см. §5.13 ), что величины | || ²и | | | ²представляют собой квантовыевероятности соответствующих конечных состояний | и |, тогда как aи bсуть классическиевклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном выражении квантовые и классические вероятности оказываются смешаны.

В случае более общего измерения типа «да/нет» рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора «lb» используется проектор более общего вида

E = | |+ | |+ … + | |,

где |, |, …, | — взаимно ортогональные нормированные состояния, заполняющие пространство ДА– состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством

E ²= E .

Вероятность получения ответа ДАпри измерении, определяемом проектором E , системы с матрицей плотности D равна следу ( DE ) — в точности, как и в предыдущем примере.

Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.