Тени разума. В поисках науки о сознании

Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену

x ( x– )( ' x+ ') ^—1

(где ' + ' = 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на ( ' x+ ') ⁿ . Таким образом, можно получить полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна—Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида

c( x– ) ^p ( ' x+ ') ^{n– p}.

Точки, задаваемые отношениями / и — '/ ', являются антиподальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний |^^^…^, |V^^…^, |VV^…^, …, |VVV…V. Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [ 301 ], с. 162 и §4.15. Общее состояние спина 1/2 nописывается там через симметрический n– валентный спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)

Для любой точки на сфере Римана антиподальной является точка —1/ '. Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома

a( x) a ₀+ a ₁ x+ a ₂ x ²+ a ₃ x ³+ … + a _{n– 1} x ^{n– 1} + a _nx ⁿ,

относительно центра сферы, то мы получим корни полинома

a*( x) a' _n – a' _{n– 1} x+ a' _{n– 2} x ²– … - (—1) ⁿa' ₁ x ^{n– 1}+ (—1) ⁿa' ₀ x ⁿ.

Пусть состояния | и | заданы, соответственно, полиномами a( x) и b( x), где

b( x) b ₀+ b ₁ x+ b ₂ x ²+ b ₃ x ³+ … + b _{n– 1} x ^{n– 1} + b _nx ⁿ;

тогда их скалярное произведение имеет вид

| = b' ₀ a ₀+ (1/ n) b' ₁ a ₁+ (2!/ n( n– 1)) b' ₂ a ₂+ (3!/ n( n– 1)( n– 2)) b' ₃ a ₃+ … + b' _na _n.

Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.

Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b( x) = a*( x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)

a ₀ a _n– (1/ n) a ₁ a _{n– 1}+ (2!/n(n -1)) a ₂ a _{n– 2}– … - (—1) ⁿ (1/ n)a _{n - 1}a ₁+ (—1) ⁿa _na ₀.

Нетрудно заметить, что при отрицательном nвсе члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, P, Q, …, S, обозначается через |PQ…S; точка, антиподальная X, обозначается X*):

C.1Если nнечетно, то состояние |PQR…T ортогонально состоянию |P*Q*R*…T*.

Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:

C.2Состояние |PPP…P ортогонально любому из состояний |P*AB…D).

C.3Состояние |QPP…P ортогонально состоянию |ABC…E в тех случаях, когда стереографическая проекция (из P*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из P*) точек A, B, C, …, E.

(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10 , рис. 5.19 .) Для доказательства C.3развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P соответствует полином x ^{n – 1}( x– ), где определяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом ( x– ₁)( x– ₂)( x– ₃)…( x– _n), майораново описание которого составляют корни ₁, ₂, ₃, …, _n, находим, что это произведение обращается в нуль, когда

1 + n ^—1 '( ₁+ ₂ + ₃+ … + _n) = 0,

т.е. когда —1/ ' равно ( ₁+ ₂ + ₃+ … + _n)/ n, иначе говоря, когда точка —1/ ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек ₁, ₂, ₃, …, _n. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда