Том13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики

Иногда ученые разрабатывают особые диаграммы для определенных задач. В качестве примера можно привести диаграммы, которыми сопровождаются футбольные трансляции. С помощью ряда переменных на них отображается ход матча, указываются голевые моменты каждой команды, а также другая информация — от числа пасов в штрафную зону до забитых голов и незабитых пенальти.

Ход атак во время футбольного матча.

_{(источник: Elpais.com)}

При построении графиков чаще всего используются компьютерные программы. Это могут быть пакеты статистических программ, программы для работы с электронными таблицами или системы обработки текстов.

Текстовый редактор, использованный при написании этой книги, позволяет с легкостью создавать и применять в расчетах диаграммы. С его помощью можно строить красивейшие трехмерные графики или простые плоские диаграммы. Нужно учитывать, что трехмерные диаграммы, как правило, более эффектны, но могут быть менее понятны. Тип диаграммы следует выбирать в зависимости от контекста и из соображений наглядности.

Графики, построенные в текстовом редакторе Word.

В завершение этого раздела, посвященного графическому представлению значений одной переменной, вернемся к нашему примеру с пекарней. Допустим, что в пекарне есть третья печь, для которой также были произведены измерения веса 80 готовых булок (столько же измерений было проведено для печи № 1). Как вы охарактеризуете вариацию веса хлеба, выпеченного в новой печи, по сравнению с печью № 1?

Как вы оцените печь № 3 по сравнению с печью № 1?

Если вам кажется, что вес хлеба, выпеченного в печи № 3, варьируется сильнее, чем вес хлеба, выпеченного в печи № 1, вы ошибаетесь. На обеих гистограммах представлено одно и то же множество данных. Они выглядят по-разному, так как был выбран разный масштаб. Вас сбил с толку выбранный способ представления данных. Мораль: при построении диаграмм для сравнения различных данных убедитесь, что диаграммы имеют одинаковый масштаб. Программа по умолчанию изменяет масштаб с учетом вариации данных. Нужно скорректировать масштаб вручную, иначе диаграммы будут неверно представлять данные и, образно говоря, вы попадете в сети, которые сами же и расставили.

Представление взаимосвязи между двумя переменными

Для представления связи между двумя переменными используются диаграммы, подобные следующей.

Соотношение цены и мощности двигателя 449 автомобилей с дизельным двигателем.

_{(источник: интернет-страница Королевского автомобильного клуба Испании, 10 ноября 2009 г., указанные параметры поиска: седан, дизель, 4 двери)}

Можно заметить, что некоторые значения, например 150 л. с., встречаются чаще других. Также можно определить, какие автомобили дешевле аналогов с той же мощностью двигателя. Видна четкая взаимосвязь между переменными, но это не означает, что между ними существует причинно-следственная связь. Например, если мы построим подобный график, демонстрирующий связь ущерба, причиненного пожаром, с числом пожарных, задействованных при его тушении, станет очевидна четкая взаимосвязь: чем больше ущерб, тем больше пожарных, но это не означает, что ущерб причинили пожарные. Другой пример: школьники с большим размером ноги делают меньше орфографических ошибок, чем школьники с меньшим размером. В это трудно поверить, не так ли? Тем не менее чем старше дети, тем больше у них размер ноги и тем меньше они делают ошибок. В обоих случаях существует третья переменная, которая имеет взаимосвязь с двумя рассматриваемыми переменными. В первом случае это масштаб пожара, во втором — возраст школьника.

Однако в некоторых случаях причинно-следственная связь не столь очевидна. 28 декабря 1994 года в газете The New York Times была опубликована статья о возможном воздействии на здоровье умеренного потребления вина. Приводилась таблица с указанием среднего уровня употребления вина и уровня смертности от сердечно-сосудистых заболеваний в 21 стране. Эти данные представлены на диаграмме ниже.

Связь смертности от сердечно-сосудистых заболеваний с уровнем употребления вина в 21 стран.

_{(источник: The New York Times, 28 декабря 1994 г.)}

Можно заметить, что в странах, где пьют больше вина, уровень смертности от сердечно-сосудистых заболеваний ниже. Но, как мы уже говорили, это не означает, что между этими двумя переменными обязательно существует причинно-следственная связь. Из этой диаграммы не следует, что если мы будем пить больше вина (разумеется, в разумных пределах), то риск инфаркта снизится. Страны, в которых употребляют больше всего вина, одновременно с этим являются его крупнейшими производителями. Это означает соответствующий климат, режим питания, обычаи — какой-то из этих факторов и может быть причиной низкого уровня болезней сердца. Впрочем, причиной действительно может быть умеренное потребление вина, но данные, которыми мы располагаем, этого не доказывают.

* * *

ПРОСТЫЕ ДИАГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЮРИДИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ

На президентских выборах в США в 2000 году, когда основными кандидатами были демократ Альберт Гор и республиканец Джордж Буш, их результаты оказались практически равными, что вызвало бурное обсуждение. В штате Флорида, где проживало около 6 миллионов избирателей, Буш одержал победу с преимуществом в 537 голосов. Кандидат, одержавший победу в этом штате, набирал необходимое для победы число голосов и становился президентом. Были поданы протесты, и окончательный вердикт должен был вынести суд. Не вдаваясь в юридические тонкости, приведем диаграмму, на которой отображены голоса, полученные Гором, в сравнении с голосами в пользу другого кандидата, Патрика Бьюкенена, в каждом из 67 округов штата Флорида.

Сравнение голосов в пользу Патрика Джозефа Бьюкенена и в пользу Альберта Гора в каждом из 67 округов штата Флорида.

_{(источник: Д. Мур. Learning from Data. «Statistics: A Guide to the Unknown», 4-е издание)}

Первое, что бросается в глаза, — число голосов в Палм-Бич не подчиняется общей закономерности. Вместо закономерных 1500 голосов в его пользу было отдано 3 411 голосов. При взгляде на диаграмму становится понятно, что округ Палм-Бич должен обладать какой-то особенностью. Однако не было никакой причины, по которой Бьюкенен мог бы получить в этом округе значительно больше голосов, чем в остальных. Он сам и его сторонники заявляли, что 1000 голосов будет для них оптимистичным прогнозом. Вскоре стало ясно, что единственной особенностью была форма бюллетеня для голосования, использовавшегося в этом округе. Чтобы проголосовать за выбранного кандидата, нужно было проколоть отверстие в бюллетене. Из-за неудачного дизайна бюллетеней многие избиратели (очевидно, более 2000, достаточно взглянуть на график) проголосовали в пользу Бьюкенена, хотя в действительности хотели отдать свой голос Гору.

* * *

Масштаб может быть обманчив

Для конкретного множества данных среднее значение и среднеквадратическое отклонение — это конкретные значения, не допускающие разночтений. Однако в случае с графическим представлением данных это не так. Вид гистограммы для конкретного множества данных будет зависеть от выбранного масштаба (вы уже увидели это на примере печи № 3 в нашем примере с пекарней), а также от ширины интервалов и граничных значений интервалов. К примеру, при неизменной ширине интервалов при границах 190,192,194, … гистограмма будет выглядеть иначе, чем для граничных значений 191, 193, 193, …