Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

5. Применение к множеству векторов

невырожденного линейного преобразования B в пространстве Rⁿ эквивалентно применению к множеству векторов

линейного невырожденного преобразования, индуцированного преобразованием B, в пространстве

.

Сюръективным мультииндексом α(L) над конечным множеством L назовем k-мерный вектор, обладающий следующими свойствами:

1. для любого iL существует j∈{1, …, k} такое, что α_j=i;

2. для любого j∈{1, …, k} существует i∈L такое, что α_j=i.

Обозначим через d(α(L),i) число компонент сюръективного мультииндекса α(L) равных i, через |L| — число элементов множества L, а через Α(L) — множество всех сюръективных мультииндексов над множеством L.

Предложение 1. Если вектор a представлен в виде

, где β_i — произвольные действительные коэффициенты, то верно следующее равенство

(16)

Доказательство предложения получается возведением

в тензорную степень k и раскрытием скобок с учетом линейности операции тензорного умножения.

В множестве

, выберем множество X следующим образом: возьмем все (n-1)-мерные вектора с координатами ±1, а в качестве n-й координаты во всех векторах возьмем единицу.

Предложение 2. Множество x является максимальным множеством n-мерных векторов с координатами равными ±1 и не содержит пар противоположно направленных векторов.

Доказательство. Из равенства единице последней координаты всех векторов множества X следует отсутствие пар противоположно направленных векторов. Пусть x — вектор с координатами ±1, не входящий в множество X, следовательно последняя координата вектора x равна минус единице. Так как в множество X включались все (n-1) — мерные вектора с координатами ±1, то среди них найдется вектор, первые n-1 координата которого равны соответствующим координатам вектора x со знаком минус. Поскольку последние координаты также имеют противоположные знаки, то в множестве X нашелся вектор противоположно направленный по отношению к вектору x. Таким образом множество X максимально.

Таким образом в множестве X содержится ровно 2^{n– 1} вектор. Каждый вектор x∈X можно представить в виде

, где I⊂{1, …, n– 1}. Для нумерации векторов множества X будем использовать мультииндекс I. Обозначим через |I| число элементов в мультииндексе I. Используя введенные обозначения можно разбить множество X на n непересекающихся подмножеств: P_i = {x_I, |I|=i},

.

Теорема. При k<n в множестве {x^⊗k} линейно независимыми являются

векторов.

Для доказательства этой теоремы потребуется следующая интуитивно очевидная, но не встреченная в литературе лемма.

Лемма. Пусть дана последовательность векторов

a₁,a₂=a¹₂+a²₂,a₃=a¹₃+a²₃,…,a_m=a¹_m+a²_m

таких, что (a_i,a²_j)=0 при всех i<j и (a¹_i,a²_i)=0, a²_i≠0 при всех i, тогда все вектора множества {a_i} линейно независимы.

Доказательство. Известно, что процедура ортогонализации Грама приводит к построению ортонормированного множества векторов, а все вектора линейно зависящие от предыдущих векторов последовательности обращаются в нулевые. Проведем процедуру ортогонализации для заданной последовательности векторов.

1. b₁=a₁/||a₁||

2. b₂=(a₂– (a₂,b₂))/||a₂– (a₂,b₁)b₁||. Причем a₂– (a₂,b₁)b₁ ≠ 0, так как (a₁, a²₂)=0, (a¹₂– ((a₂,b₁)b₁,a²₂)=0 и a²₂≠0.

…

j.

Причем

, так как (a_i, a²_j)=0, при всех i<j,

и a²_j≠0.

…

Доказательство теоремы. Произведем линейное преобразование векторов множества x с матрицей

Легко заметить, что при этом преобразовании все единичные координаты переходят в единичные, а координаты со значением –1 в нулевые. Таким образом

.

По пятому свойству заключаем, что число линейно независимых векторов в множествах X и Y совпадает. Пусть 1≤m≤k. Докажем, что y_I^⊗k при |I|=m содержит компоненту, ортогональную всем y_J^⊗k, |J|≤m, J≠I.

Из предложения 1 имеем

(17)

Представим (17) в виде двух слагаемых:

(18)

Обозначим первую сумму в (18) через y_I0^⊗k. Докажем, что y_I0^⊗k ортогонален ко всем y_J^⊗k, |J|≤m, J≠I, и второй сумме в (18). Так как I≠J, I⊄J, существует q∈I, q∉J.