Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

4. Умножить матрицу на число и добавить тензорное произведение вектора b на себя (2m² операций).

5. Записать G_m+1^{– 1}.

Таким образом эта процедура требует m+n+mn+3m² операций. Тогда как стандартная схема полного пересчета потребует:

1. Вычислить всю матрицу Грама (nm(m+1)/2 операций).

2. Методом Гаусса привести левую квадратную матрицу к единичному виду (2m³+m²-m операций).

3. Записать G_m+1^{– 1}.

Всего 2m³+m²–m+nm(m+1)/2 операций, что в m раз больше.

Используя ортогональную сеть (6), удалось добиться независимости способности сети к запоминанию и точному воспроизведению эталонов от степени коррелированности эталонов. Так, например, ортогональная сеть смогла правильно воспроизвести все буквы латинского алфавита в написании, приведенном на рис. 1.

Основным ограничением сети (6) является малое число эталонов — число линейно независимых эталонов должно быть меньше размерности системы n.

Тензорные сети

Для увеличения числа линейно независимых эталонов, не приводящих к прозрачности сети, используется прием перехода к тензорным или многочастичным сетям [75, 86, 93, 293].

В тензорных сетях используются тензорные степени векторов. k-ой тензорной степенью вектора x будем называть тензор x^⊗k, полученный как тензорное произведение k векторов x.

Поскольку в данной работе тензоры используются только как элементы векторного пространства, далее будем использовать термин вектор вместо тензор. Вектор x^⊗k является n^k– мерным вектором. Однако пространство L({x^⊗k}) имеет размерность, не превышающую величину

, где

— число сочетаний из p по q. Обозначим через {x^⊗k} множество k-х тензорных степеней всех возможных образов.

Теорема. При k<n в множестве {x^⊗k} линейно независимыми являются

векторов. Доказательство теоремы приведено в последнем разделе данной главы.

Небольшая модернизация треугольника Паскаля, позволяет легко вычислять эту величину. На рис. 2 приведен «тензорный» треугольник Паскаля. При его построении использованы следующие правила:

1. Первая строка содержит двойку, поскольку при n= 2 в множестве X всего два неколлинеарных вектора.

2. При переходе к новой строке, первый элемент получается добавлением единицы к первому элементу предыдущей строки, второй — как сумма первого и второго элементов предыдущей строки, третий — как сумма второго и третьего элементов и т. д. Последний элемент получается удвоением последнего элемента предыдущей строки.

Рис. 2. “Тензорный” треугольник Паскаля

В табл. 1 приведено сравнение трех оценок информационной емкости тензорных сетей для некоторых значений n и k. Первая оценка — n^k — заведомо завышена, вторая —

— дается формулой Эйлера для размерности пространства симметричных тензоров и третья — точное значение.

Таблица 1.

Как легко видеть из таблицы, уточнение при переходе к оценке r_n,k является весьма существенным. С другой стороны, предельная информационная емкость тензорной сети (число правильно воспроизводимых образов) может существенно превышать число нейронов, например, для 10 нейронов тензорная сеть валентности 8 имеет предельную информационную емкость 511.

Легко показать, что если множество векторов {xⁱ} не содержит противоположно направленных, то размерность пространства L({x^⊗k}) равна числу векторов в множестве {xⁱ}.

Сеть (2) для случая тензорных сетей имеет вид

(9)

а ортогональная тензорная сеть

(10)

где r_ij^{– 1} — элемент матрицы Γ^{– 1}({x^⊗k}).

Рассмотрим, как изменяется степень коррелированности эталонов при переходе к тензорным сетям (9)

Таким образом, при использовании сетей (9) сильно снижается ограничение на степень коррелированности эталонов. Для эталонов, приведенных на рис. 1, данные о степени коррелированности эталонов для нескольких тензорных степеней приведены в табл. 2.

Таблица 2. Степени коррелированности эталонов, приведенных на рис. 1, для различных тензорных степеней.

Тензорная степень	Степень коррелированности	Условия
CAB	CAC	CBC	CAB+CAC	CAB+CBC	CAC+CBC
1	0.74	0.72	0.86	1.46	1.60	1.58
2	0.55	0.52	0.74	1.07	1.29	1.26
3	0.41	0.37	0.64	0.78	1.05	1.01
4	0.30	0.26	0.55	0.56	0.85	0.81
5	0.22	0.19	0.47	0.41	0.69	0.66
6	0.16	0.14	0.40	0.30	0.56	0.54
7	0.12	0.10	0.35	0.22	0.47	0.45
8	0.09	0.07	0.30	0.16	0.39	0.37

Анализ данных, приведенных в табл. 2, показывает, что при тензорных степенях 1, 2 и 3 степень коррелированности эталонов не удовлетворяет первому из достаточных условий (

), а при степенях меньше 8 — второму (

).

Таким образом, чем выше тензорная степень сети (9), тем слабее становится ограничение на степень коррелированности эталонов. Сеть (10) не чувствительна к степени коррелированности эталонов.

Сети для инвариантной обработки изображений

Для того, чтобы при обработке переводить визуальные образов, отличающиеся только положением в рамке изображения, в один эталон, применяется следующий прием [91]. Преобразуем исходное изображение в некоторый вектор величин, не изменяющихся при сдвиге (вектор инвариантов). Простейший набор инвариантов дают автокорреляторы — скалярные произведения образа на сдвинутый образ, рассматриваемые как функции вектора сдвига.

В качестве примера рассмотрим вычисление сдвигового автокоррелятора для черно-белых изображений. Пусть дан двумерный образ S размером p×q=n. Обозначим точки образа как s_ij. Элементами автокоррелятора Ac(S) будут величины

, где s_ij=0 при выполнении любого из неравенств i < 1, i > p, j < 1, j > q. Легко проверить, что автокорреляторы любых двух образов, отличающихся только расположением в рамке, совпадают. Отметим, что a_ij=a_{– i,-j} при всех i,j, и a_ij=0 при выполнении любого из неравенств i < 1-p, i > p– 1, j < 1-q, j > q– 1. Таким образом, можно считать, что размер автокоррелятора равен p×(2q+1).