Учение о бытии

Качественный характер вообще оказывается свойствен рассматриваемой здесь форме величины, которая называется бесконечно малым, что обнаруживается всего непосредственнее в вышеприведенной категории предела отношения; это ее проведение в исчислении образует своеобразный метод. Из того, что говорит Лагранж по поводу этого метода, именно что ему недостает легкости приложения, и что выражение предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе его аналитическое значение. В представлении предела именно и заключается вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами, ибо входящие в него формы их, dx и dy, должны быть взяты просто лишь как моменты dy/dx, и самое dy/dx должно считаться единым нераздельным означением. Здесь нужно оставить в стороне то обстоятельство, что тем самым механизм исчисления особенно в его приложении утрачивает преимущество, извлекаемое им из того, что члены дифференциального коэффициента отделяются один от другого. Этот предел _{179}должен быть пределом данной функции; он должен иметь известное значение в связи с нею, определяемое способом вывода. С простою категориею предела мы не подвинулись бы далее, чем с тем, с чем мы имеем дело в этом примечании, именно показали бы только, что бесконечно малое, изображаемое в дифференциальном исчислении, как dx и dy, имеет не только отрицательный, пустой смысл некоторой не конечной, не данной величины, как например, когда говорится «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., но определенный смысл качественной определенности количественного, моментов отношения, как таковых. Эта категория в таком виде не имеет еще никакого отношения к тому, что есть некоторая данная функция, не помогает еще сама по себе ее разработке и не приводит к употреблению, которое должно бы иметь место при таком определении; таким образом представление предела, ограниченное такою указанною ему определенностью, не приводило бы ни к чему. Но выражение «предел» содержит уже в себе самом указание на то, что он есть предел нечто, т. е. имеет известное значение, определяемое функциею переменных величин; и должно рассмотреть, к чему приводит этот его конкретный смысл. Он должен быть пределом отношения двух приращений, на которые признаются увеличивающимися две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна считается функциею другой; приращение принимается здесь неопределенно и вообще, и поэтому о бесконечно малом нет еще и речи. Но ближайшим образом путь к нахождению этого предела приводит к таким же непоследовательностям, какие свойственны и другим методам. А именно этот путь таков. Если fx=y, то, при переходе у в у+k, fx переходит в fx+ph+gh²+rh³ и т. д., следовательно k=ph+gh²+rh³ и т. д. а k/h=p+gh+rh² и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезают все члены ряда, кроме p, который и оказывается пределом отношения обоих приращений. Отсюда видно, что хотя h и k, как определенные количества, полагаются =0, но что оттого k/h еще не обращается в 0/0, но остается некоторым отношением. Но представление предела должно обладать тем преимуществом, что оно устраняет заключающуюся тут непоследовательность; р должно быть не тем действительным отношением, которое превратилось в 0/0, но иметь лишь определенное значение, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать менее всякой данной разности. Более определенный смысл приближения в отношении к тому, что собственно должно между собою сближаться, будет рассмотрен ниже. Но что количественное различие, определяемое не только, как могущее, но как долженствующее быть менее всякой данной величины, не есть уже количественное различие, это ясно само по себе и настолько очевидно, насколько может быть что-нибудь очевидно в математике; тем самым, _{180}однако, мы не подвигаемся далее dy/dx=0/0. Если же, напротив, dy/dx принимается за р, т. е. за определенное количественное отношение, как это и есть в действительности, то, наоборот, является затруднение в предположении h=0, в предположении, путем которого единственно и получается k/h=p. Если же допустить, что k/h=0, причем, однако, вместе с h=0 и самое k=0 (так как приращение k имеет место лишь при условии существования h), то является вопрос, куда же девается р, которое имеет совершенно определенное количественное значение. На это нам тотчас же дается простой и сухой ответ, что р есть коэффициент, возникающий путем такого-то вывода — известным определенным образом полученная первая производная функция первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как по существу дела довольствуется им Лагранж, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно самая та форма, которая именуется теориею пределов, окажется освобожденною от приращений, от их бесконечной или любой малости, от затруднения, состоящего в том, что кроме первого члена или, правильнее, лишь коэффициента первого члена устраняются дальнейшие члены ряда, кроме тех, которые неустранимы при употреблении данных приращений; кроме того, она очищается и от другого, связанного с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, далее бесконечного приближения и других столь же пустых категорий непрерывных величин [26] и всего того, что считается нужным ввести, как стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае нужно бы было показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейшей математической потребности, имеет р, независимо от того совершенно достаточного для теории сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем развития бинома производная _{181}функция; об этом будет сказано во втором примечании. Здесь же следует ближайшим образом разобраться в той запутанности, которая вносится через вышеуказанное столь часто встречающееся в изложениях употребление представления приближения в понимание собственной качественной определенности отношения.

26

Категория непрерывной или текучей величины возникает при рассмотрении внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных путем уравнения в такое отношение, при котором одна есть функция другой; но так как научный предмет дифференциального исчисления есть известное (обыкновенно выражаемое через дифференциальный коэффициент) отношение, определенность которого может быть также названа законом, то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти нечто постороннее, отчасти во всяком случае отвлеченная и в этом смысле пустая категория, так как она не выражает ничего о законе непрерывности. В какие формальные определения при этом совершенно погружаются, видно из остроумного общего изложения моим уважаемым товарищем проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода дифференциального исчисления, которое (изложение) примыкает к критике некоторых новых сочинений по этой науке и помещено в Jahrb. f. wissensch. Kritik 1827 № 153 и сл.; там на стр. 1251 приводится даже определение: «непрерывная величина, непрерывность есть всякая величина, мыслимая в состоянии такого становления, чтобы последнее происходило не скачками, а путем непрерывного процесса». Но эта тожесловное повторение того, что есть и самое definitum.

Было указано, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения, как количеств, и что то, что остается за сим, есть их количественное отношение лишь постольку, поскольку оно определено качественно; качественное отношение при этом в такой мере сохраняется, что оно оказывается именно тем, что возникает через переход конечных величин в бесконечные. В этом состоит, как мы видели, вся суть дела. Так, напр., в последнем отношении, исчезают, как количества, абсцисса и ордината; но члены этого отношения остаются по существу один — элементом ординаты, другой — элементом абсциссы. По обычному способу представления, состоящему в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, первая ордината переходит во вторую, а соответствующая первой абсцисса — в соответствующую второй; но во всяком случае ордината не переходит в абсциссу, а абсцисса в ординату. Но элемент ординаты, если оставаться при этом примере переменных величин, должен быть понимаем, не как разность одной ординаты от другой, а как различение или качественно– количественное определение относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины относительно другой проявляется в их взаимном отношении. Различение, поскольку оно не есть уже различение конечных величин, перестало быть многообразным внутри себя самого; оно совпало в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.

Эта суть дела затемняется, однако, тем, что то, что, называется элементом, положим, ординаты, понимается, как разность или приращение, как будто оно есть только количественное различение одной ординаты от другой. Предел тем самым не имеет смысла отношения: он означает лишь то последнее значение, к которому другая однородная величина постоянно приближается так, что она может отличаться от него на наименьшую желаемую величину, и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы видимостью различия одного определенного количества от другого, и представление качественной природы, по которой dx есть по существу не определение отношения его к х, но к dy, отступает назад. dx² исчезает перед dx, но также исчезает dx перед х, что по истине значит, что dx имеет отношение лишь к dy. При таком изложении дела геометры стараются преимущественно о том, чтобы сделать понятным приближение некоторой величины к ее пределу и остановиться на таком различении определенного количества от определенного количества, которое уже не есть различение и вместе с тем есть различение. Но приближение есть для себя, помимо того, ничего не говорящая и ничего не объясняющая категория; dx имеет приближение уже за _{182}собою, он не близок и не есть ближайшее; бесконечная близость есть сама лишь отрицание близости и приближения.

Поэтому, коль скоро дело сводится к тому, что приращения или бесконечно малые разности рассматриваются лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, то они понимаются, как безотносительные моменты. Отсюда можно бы было вывести неосновательное предположение, будто дозволительно в последнем отношении приравнивать между собою, например, абсциссу с ординатою, или синус, косинус, тангенс, sinus versus и т. п. По-видимому, это представление получает силу, когда дуга рассматривается, как касательная, ибо дуга, конечно, несоизмерима с прямою линиею, и ее элемент имеет прежде всего другое качество, чем элемент прямой линии. Еще нелепее и недозволительнее смешение абсциссы, ординаты, sinus versus и т. д., когда представляется quadrata rotundis, когда хотя бы бесконечно малая часть дуги принимается за участок касательной, и тем самым с нею поступают, как с прямою линиею. Но такой образ действий следует по существу отличать от вызывающего порицание смешения; он оправдывается тем, что в том треугольнике, стороны которого суть элемент дуги и элемент абсциссы и ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, образующие существенное отношение, т. е. то, которое сохраняется при этих элементах, если отвлечься от свойственных им конечных величин, те же самые. Можно выразить это также таким образом, что прямые линии, как бесконечно малые, стали кривыми линиями, и их отношение при их бесконечности стало отношением кривых. Так как по определению прямой линии она есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основывается на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, что есть также определение количества. Но это определение в ней исчезает, коль скоро она принимается за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; а с тем вместе исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное исключительно на различии определенного количества. Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не состоят ни в каком количественном отношении и потому на основании принятого определения не имеют и никакого качественного различия, но переходят одна в другую.

Сродным и однако различным от отожествления разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное утверждение, будто бесконечно малые части одного и того же целого равны между собою; но примененное к разнородному в себе, т. е. причастному существенной неравномерности количественных определений предмету, оно приводит к существенному противоречию, содержащемуся в высшей механике, которая учит, что в равные, притом бесконечно малые времена, в бесконечно малых частях кривой происходит равномерное движение, как часть такого движения, которое в равные конечные, т. е. существующие части времени _{183}проходит конечные, т. е. существующие неравные части кривой, следовательно, движение, которое, как существующее, неравномерно и признается за таковое. Это предложение есть словесное выражение того, что должен означать собою аналитический член, получающийся через вышеупомянутое развитие формулы, хотя неравномерного, но подчиненного некоторому закону движения. Более старые математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечных, которое притом всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и предложениях и изобразить их геометрически, главным образом, для того, чтобы употреблять их для обычного способа доказательства теорем. Члены математической формулы, в которую анализ разлагал величину предмета, например, движения, получали таким образом предметное значение, например, скорости, ускоряющей силы и т. п.; по этому значению они должны были приводить к правильным положениям, к физическим законам, и по их аналитической связи должны были определяться и их объективные связи и отношения, например, то, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой, кроме того, всегда присоединяется приращение, зависящее от силы тяжести. Такие предложения в новом аналитическом виде механики получались исключительно, как результаты вычисления независимо от того, имеют ли они для себя реальный, т. е. соответствующий некоторому существованию смысл и от доказательства этого; затруднение сделать понятною связь таких определений, когда они употреблялись в вышеупомянутом реальном смысле, например, объяснить переход от той ложно равномерной скорости к равномерному ускорению, считалось поэтому совершенно устраненным через аналитическую разработку, в которой сказанная связь есть простое следствие установленного раз навсегда прочного авторитета действий вычисления. Считалось торжеством науки нахождение путем простого возвышающегося над опытом вычисления законов, т. е. предложений о существовании, самих не имеющих существований. Но в первое еще наивное время исчисления бесконечных старались найти и оправдать реальный смысл таких определений и положений, изображенных в геометрических построениях, и применить их в этом смысле к доказательству главных положений, о которых шла речь [ср. ньютоново доказательство его основоположения теории тяготения в Princ. math. philos. naturalis lib. I sect. II prop. 1 сравнительно с астрономиею Шуберта (перв. изд. т. III § 20), где признается, что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, нет точности, т. е. дело не совсем таково, как полагает Ньютон].

Нельзя отрицать, что в этой области многое, преимущественно при пособии тумана, напущенного бесконечно малыми, считалось за доказательство только потому, что то, что получалось, всегда было уже заранее известно, и что доказательство, построенное таким образом, что получался подобный вывод, имело по крайней мере видимость остова доказательства, видимость, которую все же предпочитали простой вере или опытному знанию. Но я без всякого колебания признаю эту манеру не за что иное, как за _{184}простое фокусничество и шарлатанство доказательством, и причисляю сюда и ньютоновы доказательства, особенно такие, как вышеприведенное, за которое Ньютона возвысили до небес и превознесли над Кеплером, утверждая, что первый математически доказал то, что второй нашел лишь путем опыта.

Пустой остов таких доказательств воздвигнут для того, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, так как последние суть законы, обоснованные на качественной природе моментов; не может сделать этого по той простой причине, что математика не есть философия, не исходит от понятий, и что поэтому качественное, если только оно не почерпается лемматически из опыта, лежит вне сферы математики. Поставление достоинства математики в том, что все входящие в нее положения должны быть строго доказаны, часто побуждало забывать о ее границе; таким образом, казалось несогласным с ее достоинством считать опыт источником и единственным доказательством опытных предложений; позднее сознание этой истины более развилось; но прежде, чем будет выяснено различие того, что математически доказуемо, и что может быть взято лишь извне, как, например, того, что есть лишь член аналитического развития, и что — физическое существование, научность не может считаться достигшею строгого и чистого состояния. А упомянутому остову ньютонова доказательства противоречит уже то право, которое признано за другим неосновательным искусственным ньютоновым построением из оптических опытов и связанных с ними выводов. Прикладная математика еще полна смешением поровну опыта и рефлексии; но подобно тому, как уже довольно давно одна за другою части этой (ньютоновой) оптики стали фактически игнорироваться наукою с тою, однако, непоследовательностью, что прочие ее части, хотя и с противоречием тому, еще сохраняются, — также точно является фактом, что часть этого обманчивого доказательства сама собою уже пришла в забвение или заменена другими доказательствами.

Примечание 2-е Цель дифференциального исчисления, выведенная из его приложения

В предыдущем примечании рассмотрены отчасти определенность понятия бесконечно малого, находящего употребление в дифференциальном исчислении, отчасти основания его введения в это исчисление; то и другое суть отвлеченные и потому легкие определения; но так называемое приложение представляет более трудностей, равно как более интересных сторон; элементы этой конкретной стороны должны составить предмет настоящего примечания. Весь метод дифференциального исчисления сводится к положению dxⁿ=nx^n-1dx или иначе (f(x+i)—fx)/i=P, т. е. равно коэффициенту первого члена двучлена x+d, x+i, развитого по степеням dx или i. Далее нечему учиться новому; вывод ближайших форм дифференциала произведения, степени и т. д. вытекает отсюда механически; в короткое время, в _{185}каких-нибудь полчаса — с нахождением дифференциалов дано также и обратное, нахождение по ним первоначальной функции, интегрирование — можно освоиться со всею теориею. Задерживает на ней долее лишь стремление усмотреть, сделать понятным, каким образом после того, как одна сторона задачи, нахождение этого коэффициента решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим путем через развитие функции переменной величины, получившей форму двучлена путем приращения, оправдывается и другая ее сторона, именно опущение прочих членов полученного ряда. Если бы было признано, что единственно в этом коэффициенте и есть нужда, то с его нахождением все, что касается теории, было бы, как сказано, закончено менее, чем в полчаса, и опущение прочих членов ряда не представляло бы никакого затруднения, так как о них, как о членах ряда (как вторая, третья и т. д. производные функции, они находят свое определение уже при определении первой), вовсе не поднималось бы речи, ибо в них не было бы никакой надобности.

Можно предпослать здесь то замечание, что при рассмотрении метода дифференциального исчисления сейчас же бросается в глаза, что он изобретен и установлен не ради себя самого; он не только не обоснован для себя, как особый способ аналитического действия, но необходимость опускать члены, получающиеся через развитие функции, несмотря на то, что все это развитие в целом признается относящимся к делу — ибо дело именно состоит в различении развитой функции переменной величины, после придания ей вида двучлена, от первоначальной функции — совершенно, напротив, противоречит всем основоположениям математики. Как потребность в таком образе действия, так и недостающее ему самому в себе оправдание, сейчас же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне его. Вообще в науке бывают случаи, когда то, что заранее установлено, как элементарное, и из чего выводятся предложения науки, оказывается неочевидным и требующим, напротив, для себя повода и обоснования в том, что вытекает из него. История дифференциального исчисления показывает, что оно имело свое начало в различных так называемых методах касательных, которые представляли собою как бы фокусы; этот образ действия, распространенный и на другие предметы, был возведен затем в сознание и выражен в отвлеченных формулах, которым старались придать значение принципов.

Было показано, что определенность понятия так называемых бесконечно малых есть определенность качественно– количественная, которая ближайшим образом положена, как отношение между определенными количествами, с чем связывается эмпирическая попытка обнаружить эту определенность понятия в тех описаниях или определениях, которые находят в бесконечно малом, поскольку оно признается за бесконечно малую разность или за что-либо другое подобное. Это совершается лишь в интересе отвлеченной определенности понятия, как таковой; дальнейший же вопрос должен состоять в том, как отсюда перейти к математической форме и ее _{186)приложению. В конце концов, нужно разработать еще далее теоретическую сторону, определенность понятия, которая сама по себе не окажется бесплодною; затем должно рассмотреть отношение ее к ее приложению, и как в том, так и в другом случае показать, насколько это здесь уместно, что получающиеся общие выводы соответствуют тому, чем занимается дифференциальное исчисление, и тому способу, которым оно пользуется.

Прежде всего следует напомнить о том, что форма, свойственная в математике рассматриваемой теперь определенности понятия, уже более или менее изъяснена. Качественная определенность количественного, во-первых, вообще обнаружена в количественном отношении, но уже при рассмотрении различных так называемых действий счета (ср. соотв. примеч.) было предусмотрено, что подлежащее еще потом в своем месте рассмотрению степенное отношение есть то, в чем число через приравнение моментов своего понятия, единицы и определенного числа, положено, как возвратившееся к себе, и что тем самым в нем содержится момент бесконечности, бытие для себя, т. е. определения самим собою. Ясно выраженная качественная определенность величин присуща поэтому, как также было указано, существенным образом степенным определениям, и так как специфическая особенность дифференциального исчисления состоит в действиях над качественными формами величин, то свойственный ему математический предмет состоит в обращении с формами степеней, и все задачи и их решения, с которыми имеет дело дифференциальное исчисление, показывают, что интерес сосредоточивается в них единственно на разработке степенных определений.