Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса
Шрифт:
Многие современные автомобили оборудованы системой спутниковой навигации. Само устройство относительно дешево. Небольшой прибор, установленный в машине, в любой момент точно определит ваше местоположение и покажет на карте – часто с броской наглядной расцветкой и в трехмерной проекции – ближайшие окрестности и дороги. Голосовое управление объяснит, как лучше всего добраться до нужного места. Звучит как нечто из научной фантастики. Необходимой частью этой системы, не помещенной в вашу коробочку, является GPS (Global Positioning System – Глобальная система определения координат), состоящая из 32 спутников на околоземной орбите. Они постоянно подают сигналы, и с помощью этих знаков навигатор определит положение автомобиля с точностью до метра.
Математика задействована во многих аспектах работы GPS-сети, но здесь мы упомянем один: как используются сигналы спутника для определения локации машины.
Радиосигналы
По сути, спутник и приемник в автомобиле играют одну и ту же мелодию, и мы сравниваем время ее звучания. «Ноты», пришедшие со спутника, будут с небольшой задержкой проигрываться в машине. По аналогии эта мелодия может звучать примерно так:
МАШИНА: …На этот горный склон крутой / Ступала ль ангела нога?
СПУТНИК: На этот горный склон крутой / Ступала ль…
Здесь «мелодия» спутника проигрывается с задержкой примерно на три слова в самой машине. И спутник, и приемник должны исполнять одну «песню», и исполняемые «ноты» должны быть легко определяемы, чтобы можно было точно измерить разницу во времени.
Конечно, в спутниковой навигационной системе не звучат песни. Сигнал состоит из коротких импульсов, чья продолжительность определяется псевдослучайным кодом. Это последовательность цифр, случайная на первый взгляд, на самом деле подчиняется определенным математическим правилам. Они известны и спутнику, и приемнику, которые могут генерировать одинаковую последовательность импульсов.
Однако они имеют одно существенное различие. Многие культурные скачки очевидны. Новые веяния в архитектуре, новые виды транспорта, даже новые формы организации правительственной бюрократии так или иначе заметны всем.
Математика обычно скрыта за кулисами. Когда вавилоняне использовали свои астрономические наблюдения для предсказания затмений Солнца, публика впадала в экстаз от точности, с которой жрецы предвидели столь ужасающее событие. Но даже высшее жречество не знало почти ничего о применяемых методах. Они были в курсе, как прочесть таблички с нужными им данными, но для них главным было то, как воспользоваться знанием. Как именно удалось его достичь, оставалось тайной за семью печатями, доступной только специалистам.
Некоторые жрецы получали неплохое математическое образование – как и все культурные переписчики. Они обучались почти так же, как и писцы, особенно в первые годы, но им не требовалось доскональное знание математики, чтобы пользоваться преимуществами новых открытий в этой области. Так сложилось исторически, и так всё будет и впредь. Математикам редко вручают награды за кардинальные перемены в нашем мире. Сколько раз вы видели чудеса современного мира, созданные компьютерами, без малейшего намека на то, что они эффективны лишь в том случае, если запрограммированы на использование сложнейших алгоритмов для решения проблем, и что основой почти любого алгоритма служит математика?
Важный раздел математики, лежащий на поверхности, – арифметика. Но с появлением карманных калькуляторов, способных рассчитывать стоимость покупок или величину налогов, ее оттеснили еще дальше. По крайней мере, многие из нас всё еще отдают себе отчет в том, что арифметика есть где-то там. Мы живем в полной зависимости от чисел, будь то расчеты доходов и налогов, общение с людьми в другом полушарии, исследование поверхности Марса или испытание нового лекарственного средства. Всё это уходит корнями в Древний Вавилон, к писцам и учителям, изобретавшим эффективные способы изображать числа и оперировать ими. Они использовали свои познания в арифметике в двух направлениях: в приземленной деятельности простых людей (например, измерение земельных наделов или подсчет налогов) и в возвышенной работе человеческого разума (предсказание солнечных затмений или движения планет в небесной сфере).
Сегодня мы поступаем так же. Мы используем простейшие вычисления, незначительные даже для арифметики, для сотен мелких дел: добавления в нужной концентрации средства от паразитов в пруд с золотыми рыбками, покупки нужного числа рулонов новых обоев для спальни, составления маршрута таким образом, чтобы потратить меньше бензина и сэкономить. А наша культура использует высшую математику в науке, технологиях и всё больше в торговле. Изобретение цифр и арифметического счета наряду с обретением речи и письма занимает законное место среди достижений, которые отличают нас от обучаемых обезьян.
Глава 2. Логика формы
В математике существует два основных типа рассуждений: символьный и наглядный. Символьная выкладка ведет историю от числовой
записи, и мы вкратце ознакомились с тем, как это привело к изобретению алгебры, где символы могут обозначать скорее обобщенные числа («неизвестные»), чем какие-то конкретные («7»). Начиная со Средних веков и до наших дней математика всё больше опирается на символы: если хотите убедиться, достаточно взглянуть на любой современный математический текст.Начала геометрии
Наравне с символами математики используют схемы и диаграммы, открывающие неограниченные возможности для визуализации научных выкладок. Картинки менее формальны, чем символы, и чаще всего именно это ставит под вопрос целесообразность их использования. Широко распространено убеждение, будто картинка дает менее строгую и логичную выкладку, чем подсчеты с помощью символов. Это верно: изображение всегда оставляет больший простор для толкований. Более того, картинка может содержать скрытые намеки. Мы не можем изобразить некий «обобщенный» треугольник: любой треугольник будет иметь свою форму и размеры, которые порой не соответствуют случайно выбранной фигуре. Но поскольку визуальная интуиция остается очень мощной особенностью нашего мозга, наглядные образы играют важную роль в математике. Фактически они определяют вторую по важности идею предмета после чисел, т. е. его форму.
Табличка YBC 7289 с клинописными числами
Увлечение математиков формами имеет долгую историю. Даже на вавилонских табличках мы находим диаграммы. Например, на табличке с регистрационным номером YBC 7289 есть квадрат с двумя диагоналями. Его стороны отмечены клинописными символами, означающими 30. Выше на одной из диагоналей стоит 1;24,51,10, а под нею 42;25,35, которое равно произведению первого числа на 30, а также длине этой диагонали. Таким образом, 1;24,51,10 – длина диагонали меньшего квадрата со стороной, равной единице. Теорема Пифагора утверждает, что она равна корню квадратному из 2, и мы обозначаем его как 2. 1;24,51,10 приближает 2 с точностью до шести цифр после запятой.
Первая систематизация с использованием схем, ограниченным применением символов и изрядной долей логики встречается в описании геометрии Евклидом. Он следовал традиции, восходящей к культу Пифагора, чей расцвет пришелся на 500 г. до н. э. Однако Евклид настаивал, что любое положение математики должно иметь логическое доказательство для признания его достоверности. В записях Евклида есть важное нововведение – использование в доказательствах рисунков и логических построений. И многие века слово «геометрия» тесно ассоциировалось с этим подходом.
В этой главе мы проследим историю геометрии от Пифагора через Евклида и его предшественника Евдокса до позднего периода греческого классицизма, вплоть до его «наследников» Архимеда и Аполлония. Эти ранние геометры проложили путь для всех дальнейших работ с наглядными суждениями в математике. Также они установили стандарты логического доказательства, сохранившиеся неизменными на протяжении тысячелетий.
Пифагор
Сегодня мы принимаем как должное то, что математика дает нам ключи к законам существования природы. Первые систематизированные записи об этом пришли к нам от пифагорейцев – приверженцев мистического культа, датируемого промежутком между 600 и 400 гг. до н. э. Его основатель Пифагор родился около 569 г. до н. э. на Самосе. Место и дата его смерти покрыты мраком, но в 460 г. до н. э. основанный им культ подвергся нападкам и искоренению, а тайные места сборищ были уничтожены. В одном из них, доме Мило в Кротоне, более 50 захваченных пифагорейцев вырезали на месте. Многие из выживших сбежали в Фивы в Верхнем Египте. Не исключено, что одним из этих людей был сам Пифагор. Но даже если это всего лишь красивая выдумка, мы практически ничего не знаем о Пифагоре наверняка. Имя его у всех на слуху, главным образом из-за знаменитой теоремы о прямоугольном треугольнике, но мы даже не уверены, доказал ли ее он сам.
Зато нам известно гораздо больше о философии и убеждениях пифагорейцев. Они понимали, что математика – не реальность, а абстрактная концепция. В то же время они верили, что эта абстракция как-то воплощается в «идеальной» концепции, существуя в некоем странном воображаемом мире. То есть, например, нарисованный палочкой на песке круг – безуспешная попытка круга стать идеальным, совершенно ровным и невообразимо тонким.
Самым важным аспектом философии пифагорейцев была идея, что в основе всего лежат числа. Они выражали свою веру с помощью мифологических символов и подкрепляли ее практическими наблюдениями. В мистическом плане они считали, что число 1 – первичный источник всего во Вселенной. Числа 2 и 3 символизируют женское и мужское начала. Число 4 – символ гармонии, а также четырех стихий (земля, воздух, огонь и вода), из которых сотворено всё сущее. Пифагорейцы придавали особое мистическое значение числу 10, потому что 10 = 1 + 2 + 3 + 4 и объединяет в себе первичную единицу, женское начало, мужское начало и четыре стихии. Более того, эти числа образуют треугольник, а вся геометрия Древней Греции построена на свойствах треугольников.