Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Золотое сечение

Книга V «Начал» уводит нас в новом и неизведанном направлении от книг с первой по четвертую. Она непохожа на традиционную геометрию и, по сути, кажется бессмысленным набором слов. Как, например, понимать утверждение: «Если одни величины равно кратны по отдельности другим величинам, то и все первые совместно кратны всем вторым» (предложение 1 книги V)?

И дело не в изложении (которое я упростил). Доказательство ясно показывает нам, что имел в виду Евклид. Английский математик XIX в. Август де Морган изложил это понятным языком в своей книге по геометрии: «Десять футов десять дюймов в десять раз больше, чем один фут и один дюйм».

Чего же добивался Евклид? Пытался придать банальности вид теоремы? Или загадочной глупости? Вовсе нет. Для нас это темная материя, но она подводит к самой важной части «Начал» – общей теории отношений, построенной Евдоксом Книдским. Современные математики предпочитают работать с числами. Нам это привычнее, поэтому я часто буду переводить идеи древних греков на этот язык.

Евклид не избежал трудностей при работе с иррациональными числами. Кульминацией «Начал» – и, возможно, их главной темой – стало доказательство существования пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба (гексаэдра), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Евклид доказывает два допущения: больше не существует других правильных многогранников; эти пять действительно существуют: их можно построить геометрически, и их грани совпадают совершенно точно.

Два правильных многогранника, додекаэдр и икосаэдр, включают пятиугольники: у додекаэдра грани имеют форму пятиугольников, а каждые пять граней икосаэдра, собранные вокруг общего угла, образуют пятиугольник. Правильные пятиугольники связаны с тем, что Евклид называет «крайним и средним отношением». На отрезке АВ точка С располагается так, что отношение AB: АС равно отношению AC: BC. Меньшая часть отрезка относится к большей, как большая ко всему отрезку. Если вы нарисуете пятиугольник и впишете в него пятиконечную звезду, стороны последней будут относиться к сторонам пятиугольника точно так же.

В наши дни это отношение известно как золотое сечение. Оно равно (1 + 5) / 2, и это иррациональное число. Оно приблизительно равно 1,618. Древние греки смогли доказать, что оно иррационально, с помощью геометрических свойств пятиугольника. Значит, и Евклид, и его предшественники отдавали себе отчет в том, что для полного понимания свойств додекаэдра и икосаэдра им придется иметь дело с иррациональными числами.

Отношение диагоналей к сторонам образует золотое сечение

Крайнее и среднее отношение (золотое сечение). Длина верхнего отрезка относится к длине среднего так же, как длина среднего – к нижнему

Таков традиционный взгляд, изложенный в «Началах». Дэвид Фоулер в своей книге «Математики Академии Платона» («The Mathematics of Plato’s Academy») утверждает, что это может толковаться иначе. Возможно, главной темой труда Евклида была теория иррациональных чисел, а рассуждения о правильных многогранниках – второстепенное приложение к ней. Действительно, мы можем интерпретировать текст Евклида по-разному, но одна особенность «Начал» говорит в пользу этой альтернативной теории. Основная часть теории чисел не нуждается в классификации правильных многогранников. Зачем же тогда Евклид включил их в свой труд? И только их прямая связь с теорией иррациональных чисел делает понятным такой ход.

Архимед

Величайшим из древних математиков считается Архимед. Он сделал важнейший вклад в геометрию, был первопроходцем в деле приложения математики ко всем явлениям мира и непревзойденным инженером. Но для математиков он будет памятен прежде всего исследованиями формы круга, шара и цилиндра. Для нас они связаны с числом (пи), приблизительно равным 3,14159. Конечно, греки не работали с напрямую: они представляли его геометрически, как отношение длины окружности к диаметру.

Ранние культуры уже имели представление о том, что длина окружности всегда одинаково соотносится с ее диаметром и что она длиннее примерно в три раза, может, чуть больше. Вавилоняне считали это число равным 3 ¹/₈. Известное нам по школе знаменитое приближение для числа – «архимедово число», равное 3 ¹/₇, – ближе к истине, но тоже неточное. Архимед пошел намного дальше, в духе Евдокса подведя твердые доказательства под свои результаты. Насколько смогли установить древние греки, отношение между длиной окружности и диаметром должно быть иррациональным числом. И сейчас мы точно знаем, что так оно и есть, хотя с доказательством пришлось подождать до 1761 г., когда его открыл Иоганн Генрих Ламберт. Но как бы то ни было, Архимед, не сумев доказать, что – рациональное число, вынужден был принять, что оно иррациональное.

Греческая геометрия лучше всего работает с многоугольниками – фигурами, образованными прямыми линиями. Но окружность – кривая, и Архимед подбирается к ней с помощью аппроксимирующих многоугольников. Чтобы вычислить , он сравнил длину круга с периметрами многоугольников двух последовательностей: в одной фигуры были вписаны в круг, в другой – описаны вокруг него. Периметр прямоугольника в круге должен был быть меньше длины окружности, а периметр наружного – больше. Для простоты Архимед брал правильные многоугольники, деля их стороны пополам, начиная с шестиугольника и получая соответственно 12 сторон, 24, 48 и т. д. Он остановился на 96. Его вычисления дали результат 3 ¹⁰/₇₁ < < 3 ¹/₇, т. е. значение оказалось между 3,1408 и 3,1429.

Архимедовы исследования шара заслуживают особого внимания: мы не только знакомы с его строгим доказательством, но и знаем, как оно было открыто, – и уж в этой истории никакой строгости нет. Обоснование приводится в его книге «О шаре и цилиндре». Он доказывает, что объем шара равен двум третям от объема описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Говоря современным языком, Архимед доказал, что объем шара равен ⁴/₃ r³, где r – радиус; а площадь его поверхности равна 4r². Эти формулы используются и по сей день.

В доказательствах Архимед использовал метод исчерпывания. Он имеет важное ограничение: вам необходимо знать результат заранее, чтобы повысить свои шансы доказать его. Много веков ученые не могли понять, как Архимеду удалось это узнать. Но в 1906 г. голландский ученый Йохан Гейберг наткнулся на пергамент XIII в. с записанными на нем псалмами и обнаружил под ними более ранние стертые записи. Оказалось, это труды Архимеда, причем некоторые из них были неизвестны. Такие документы (записи, затертые на пергаменте ради новых текстов) называются палимпсестами. (Поразительно, но этот же манускрипт содержит еще две утраченные работы древних авторов.) Одна из работ Архимеда, «Послание к Эратосфену о методе» (книга «Метод механических теорем»), объясняет, как угадать объем шара. Идея в том, чтобы нарезать фигуру на сколь угодно тонкие слои и поместить их на одном конце рычага, а на другом – такие же слои цилиндра и конуса, чьи объемы Архимед уже умел вычислять, и взвесить. По закону равновесия рычага мы найдем требуемое значение объема шара. Сам пергамент был приобретен частным лицом за 2 млн долл. в 1998 г.

АРХИМЕД СИРАКУЗСКИЙ 287–212 гг. до н. э.

Архимед родился в греческих Сиракузах в семье астронома Фидия. Он побывал в Египте, где предположительно изобрел архимедов винт, который вплоть до наших дней широко используется для подъема воды из Нила в ирригационные каналы. Предположительно он побывал и в Александрии у Евклида; по крайней мере, он точно вел переписку с александрийскими математиками.

Его математические способности были непревзойденными и обширными. Он использовал их в полном объеме и построил огромные боевые машины, пользуясь своим законом рычага, чтобы забрасывать врагов тяжелыми обломками камней. Его машины оказались незаменимы во время обороны Сиракуз, осажденных римлянами в 212 г. до н. э. Он даже сумел использовать оптическую геометрию отраженного света, чтобы поджечь атаковавшие город с моря римские корабли.

До наших дней сохранились его работы «Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах», «О равновесии плоских фигур», «О плавающих телах», «Измерение круга», «Псаммит» («Исчисление песчинок»), а также «Стомахион» и «Послание к Эратосфену о методе», обнаруженные в 1906 г. Йоханом Гейбергом.