Успенский пишет о Колмогорове
Шрифт:
А.В. имел свои милые слабости. Однажды он делал длинную серию докладов (об интуиционистских аналогах штриха Шеффера) на семинаре Маркова и Нагорного в Вычислительном Центре АН СССР. Заседания начинались формально ровно в 11 утра, но А.В. неизменно и с точностью часового механизма появлялся в 11.40. Когда это случилось первый раз, А.В. пространно извинялся и говорил, что ему помешало ... Солнце! Действительно, великолепное, чистое, зимнее московское Солнце рвалось в окно, А.В. щурился с удовольствием... И вправду, до штриха ли Шеффера в такой день? Каждый следующий раз, когда А.В. открывал рот, чтобы приступить к извинениям за очередное сорокаминутное опоздание, Марков опережал его: «Это было Солнце!» торжественно заявлял он. Все смеялись. Удивительная, солнечная атмосфера была на этих докладах А.В. Кузнецова! Говорил и писал А.В. плавно, часто возвращался к уже сказанному, почти половина времени уходила на напоминание изложенного на предыдущем семинаре. Никто не возражал: все были покорены гармоничностью и глубиной его результатов, цельностью его стиля и личности. Это было, как с хорошей книгой, читаешь её, читаешь и не по себе становится, что меньше и меньше остаётся страниц и всё ближе расставание с её миром... Оставалась правда загадка «кванта опоздания», таинственных сорока минут, повторявшихся с настойчивостью Закона Природы. Проблему решил Н.М. Нагорный. «Всё очень просто. От дома А.В. до Вычислительного Центра ровно 40 минут пешком. Семинар начинается в 11, следовательно, ровно в 11 А.В. выходит из дому!»
При всей своей основательности, неторопливости А.В. имел отличную реакцию, ценил чувство юмора в других и обладал им сам. В одном из только что упомянутых докладов он по какому-то поводу сказал
– А здесь я буду рассуждать конструктивно! –
– Как же так? Вы же классик! – не без ехидства заметил Марков.
– Ну, знаете, с волками жить, по-волчьи выть! – мгновенно и к всеобщему удовольствию нашёлся А.В.
Добродушие А.В. иногда принималось за наивность. Напрасно. Он был человеком огромного, острого ума, артистической личностью. На Первой Всесоюзной Конференции (Симпозиуме) по Математической Логике в Алма-Ате в июне 1969 года часовой обзорный доклад был сделан одним из лидеров молодой тогда советской школы в математической кибернетике (позже вошёл в употребление термин «дискретная математика»). Лидер этот, без сомнения человек незаурядный, со сложной судьбой, к сожалению, всё больше и больше увлекался внематематическими
– Конференция была интересной, очень интересной. Большой успех. Очень интересно. Я услышал много замечательных докладов. Но самый понятный доклад сделал вчера Х. Давно я не слышал такого понятного доклада. Да, конечно, я не посчитал предполных классов в трёхзначной логике. Софья Александровна [xiii] говорила мне тогда: «Саша, посчитай классы!» А я не посчитал! – здесь А.В. с полным удовольствием зажмурился и погрузил лицо своё в тёплый солнечный свет... – Я...поленился!
[13]
С.А. Яновская (1896 - 1966), выдаюшийся специалист в математической логике и философии математики. Один из организаторов кафедры математической логики в Московском Университете. О её роли в предвоенной математической жизни интересно вспоминает Люстерник [3]. В мои студенческие и особенно аспирантские годы Софья Александровна уже страдала тяжёлой болезнью. Тем не менее, она продолжала читать свой традиционный курс математической логики и соруководить научно-исследовательским семинаром кафедры. С.А. до самого конца сохраняла острый интерес ко всему новому в математике. В один из весенних дней 1966 года я провожал её домой. Прощаясь, она сказала, что эта весна для неё последняя, что она уже не слышит запахов этой весны... 25 октября того же года её не стало. (См. также мои воспоминания Boris A. Kushner, Sof'ja Aleksandrovna Janovskaja: a few reminiscences, Modern Logic, vol.6, no.1, 67–72, January 1996. Русский перевод публиковался в журналах Вопросы естествознания и техники, т.4, стр. 119–123, Москва, 1996 (под названием «Несколько воспоминаний о Софье Александровне Яновской») и Вестник №14 (273), Baltimore, July 3, 44-46, 2001 (под названием «Мои воспоминания о Софье Александровне Яновской») – прим. 2004 г.).
Задевать А.В., как видно, было небезопасно.
4. Когда в 1961 или в 1962 году, будучи студентом мех-мата, я выбрал специализацию по кафедре математической логике (ср. [5] ),интерес к философии и основаниям математики был одним из мотивов. Тогда же я сделал доклад об интуиционистской математике на семинаре по истории математики, а несколько позже на семинаре по математической логике и конструктивной математике (под руководством А.А. Маркова и Н.М. Нагорного). Основным источником моей эрудиции в то время были две небольшие книжки Вейля и Гейтинга [6–7], переведённые ещё до войны известным историком математики А.П. Юшкевичем. Из интересных воспоминаний Юшкевича о Колмогорове [8] можно узнать, что Колмогоров был инициатором этих великолепно выполненных переводов (в то время я ещё пребывал в блаженном неведении трудностей, с которыми сталкивается переводчик подобных работ, особенно в случае автора со столь ярким литературным талантом, как Г. Вейль). Тогда же я прочёл и две ранние работы (1925 и 1932 года, [9–10]) Колмогорова, посвящённые интуиционистской логике. Содержание этих работ детально охарактеризовано в обзорной статье Успенского [1] . Трудно удержаться от изумления, думая о работе 1925 года. Написанная 22-летним студентом, работа эта отличается огромной зрелостью и намного лет опережает современный юному автору уровень науки. В работе ясно чувствуется творческий почерк колмогоровского таланта: постановка проблем, глубоко мотивированных философски, огромная мощь в разработке необходимого концептуального и технического аппарата, в преодолении конкретных математическиз трудностей. Достаточно сказать, что в этой студенческой публикации впервые предпринято математическое изучение интуиционистской логики, сформулированы аксиоматические системы для этой логики, предвосхищающие гораздо более позднюю аксиоматизацию интуиционистской математики, выполненную А. Гейтингом. Здесь же по существу (с точностью до технических деталей) впервые построено так называемое минимальное исчисление, переоткрытое в 1937 году Иохансоном (которому принадлежит и сам термин). Ещё более важной представляется мне изобретённая Колмогоровым идея погружения классической математики в интуиционистскую, в результате чего становится возможным доказательство непротиворечивости классической математики относительно интуиционистской. С этой целью предложена и первая из известных ныне погружаюших операций, основанная на глубоком проникновении в природу математического оперирования с отрицанием. Сама идея о том, что интуиционистская математика только по видимости уже классической могла быть высказана в то время только пророком. Только в 1933 году эти идеи были переоткрыты К. Гёделем. Вся описанная только что проблематика подсказана глубокими философскими проблемами, связанными с законом исключённого третьего. После критики Брауэра сомнительность этого логического принципа в применении к бесконечным совокупностям ощущалась рядом математических мыслителей, в частности Д. Гильбертом и Г. Вейлем. Не чужды были эти сомнения и Колмогорову. Во всяком случае, 22-летний студент (в отличие от многих своих старших коллег) ясно ощущал вызов, заключённый в вопросе: почему сомнительность или даже незаконность неограниченного употребления принципа исключённого третьего так долго оставалась незамеченной и почему такое неограниченное употребление не приводит к противоречиям [xiv] .
[5]
Кушнер Б.А. Марков и Бишоп. Вопросы Истории Естествознания и Техники, 1, 70–81, 1992.
[8]
Юшкевич А.П. Встречи с А.Н. Колмогоровым. Препринт. 1990.
[1]
Uspensky V.A. Kolmogorov and Mathematical Logic. The Journal of Symbolic Logic, v. 57, No 2, 385–412, 1992.
[14]
Как хорошо известно, принцип исключённого третьего не несёт ответственности за парадоксы теории множеств.
А.А. Марков и Б.А. Кушнер, Москва, 1979 год
Ответ Колмогорова на этот вызов вкратце состоит в следующем. Во-первых, употребление закона исключённого третьего вполне оправдано в случае конечных совокупностей, т.е. в области финитарных суждений. Во-вторых, имеет место гораздо более сильное обстоятельство: если бы противоречие было найдено в классической теории, свободно оперируюшей с принципом исключённого третьего, то противоречие существовало бы и в одноимённой интуиционистской теории, в которой использование этого принципа ограничено только безопасными финитными случаями. Иными словами, принцип исключённого третьего не добавляет новых противоречий. И если в первом положении чувствуется заметное влияние Гильберта, то вторая идея (погружения классической математики в интуиционистскую) представляется ошеломляюще новой. Техническим аппаратом для реализации такого погружения оказывается концепция формализации математических теорий, разработанная Гильбертом, и идея погружающей операции, открытая Колмогоровым. Помимо оправдания употребления закона исключённого третьего (важнейшего математического орудия с самых древних времён) подход Колмогорова доставляет, очевидно, и определённое обоснование нашей замечательной, но, как и всё замечательное, не вполне безопасной способности оперировать с актуальной бесконечностью. Классическая математика с её актуально бесконечными множествами погружается в математический мир, где бесконечность допускается лишь в своей гораздо более мягкой, потенциальной форме.
В 1974 году А.Г. Драгалина [xv] и меня попросили написать статью об интуиционизме для третьего издания Большой Советской Энциклопедии. Статья ( [11] ) была направлена на отзыв Колмогорову. Когда я увидел рукопись с колмогоровскими замечаниями, я ещё раз поразился свежести его восприятия математической и философской области, которую он оставил столько лет назад...
Небезынтересен вопрос, почему молодой студент вообще заинтересовался такими окраинными вопросами, по видимости далёкими от интересов окружавшей его математической среды. Конечно, нельзя исключать огромного влияния Д. Гильберта и острой дискуссии по основаниям математики, развернувшейся между ним и лидером интуиционистов Брауэром. Но и сделанное выше замечание о математической среде, окружавшей молодого Колмогорова тоже глубоко неверно! В силу совпадения ряда разнородных причин проблемы оснований математики и, в частности, интуиционистской математики часто и горячо дискутировались в Москве в 20-е годы (ср. цитировавшиеся выше воспоминания Юшкевича [8] ). Публичные сообщения об интуиционизме делал А.Я. Хинчин, им была опубликована в 1926 году статья об интуиционизме, отголоски этого интереса можно различить и в некоторых его книгах. Наконец, следует сказать, что основатель Лузитании, учитель Колмогорова, Александрова и многих других выдающихся математиков Н.Н. Лузин был не только выдающимся практическим математиком, но и глубоким математическим мыслителем. Достаточно упомянуть его участие в начале века в знаменитой переписке-дискуссии по основаниям теории множеств и, в особенности аксиомы выбора, между ведущими французскими математиками (см. [12] ). Достойно восхищения и пророческое предсказание Лузиным позднейших результатов о независимости в теории множеств. Неудивительно, что ученики Лузина ощущали математику не как технические манипуляции с формулами и головоломками, а как живой организм, само функционирование которого представляло волнующую загадку. На этот фон парадоксальным образом наложился и марксистский энтузиазм, характерный для ранних послереволюционных лет. Мне трудно судить до какой степени этот энтузиазм уже в те годы был отравлен низким карьеризмом, демагогией и полной догматизацией философии, которые мне довелось наблюдать в моей молодости. Трудно, однако, избавиться от впечатления, что многие горячие головы в то время вполне искренне полагали, лучше сказать верили, что в философии Маркса найден своего рода «философский камень», окончательный научный ответ на все вопросы Бытия. Возможно, чтение работ В.И. Ленина проливает определённый свет на этот интересный психологический
феномен. Неиссякаемая, просто религиозная убеждённость в обладании окончательной, единственно верной методологией, позволяющей понять и объяснить всё и вся, приводит к тому, что этот человек, наделённый, среди прочего, исключительно острым критическим умом, без тени сомнения и юмора вторгается в области знания, в которых он абсолютно некомпетентен, поучает Пуанкаре, Маха, Эйнштейна и т.д. Из этого же настроения рождаются и знаменитые ленинские афоризмы, вроде «электрон также неисчерпаем, как и атом», «учение Маркса всесильно потому, что оно верно» и т.д. и т.п., буквально вколоченные (среди прочих куда менее безобидных догм) большевистской пропагандой в сознание (и в подсознание!) подданных бывшей советской Империи [xvi] . Пожалуй, одной из вершин этой смехотворной агрессивной некомпетентности является знаменитое ленинское заявление: «...ДАЖЕ в математике нужна фантазия, ДАЖЕ для того чтобы открыть дифференциальное исчисление нужна была фантазия» [xvii] . (Эти бессмертные «даже» выделены мною). Позднее, в случае, скажем, Сталина эта первоначальная убеждённость в обладании абсолютной истиной, конечно, померкла перед обладанием абсолютной властью и ощущением полной безнаказанности. И всё же кое-что от этой убеждённости оставалось, например, в знаменитых изысканиях вождя всех народов по языкознанию. Той же породы, видимо, было и настроение, в котором незабвенный А.И. Жданов учил (кажется, даже за роялем) Шостаковича, Прокофьева и Хачатуряна как сочинять хорошую мелодичную музыку...[15]
Замечательный математик, Альберт Григорьевич Драгалин (10 апреля 1941 г. – 18 декабря 1998г.) один из самых ярких участников школы А.А. Маркова. Его безвременная смерть была большим пострясением для всех нас. Воспоминания о Драгалине выдающегося голландского математика A. Troelstra можно найти нанекролог: S. Artemov, B. Kushner, G. Mints, E. Nogina, and A. Troelstra, In Memoriam: Albert G. Dragalin, The Bulletin of Symbolic Logic, vol 5, No.3, 389-391,1999 (прим. 2004 г.).
[11]
А.Г. Драгалин, Б.А. Кушнер. Математический Интуиционизм. Большая Советская Энциклопедия, т.15, 488, 1974.
[8]
Юшкевич А.П. Встречи с А.Н. Колмогоровым. Препринт. 1990.
[12]
Borel E. Lecons sur theorie des fonctions, 3rd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1928.
[16]
Соответственно я цитирую В.И. Ленина по памяти. Такое «цитирование» представляется в данном контексте вполне органичным.
[17]
Великому математику двадцатого века Давиду Гильберту принадлжежит высказывание в известном смысле противоположное ленинскому. Про одного из своих учеников Гильберт заметил, что тот стал поэтом, поскольку для математики у него не хватало фантазии (прим. 2004 г.).
Неудивительно, что в 20-е годы велик был соблазн применить волшебное Марксово лекарство к лечению математики. Дискуссии по основаниям математики поощрялись и, наряду с тоннами словесного мусора, несомненно, много интересных соображений было высказано в те далёкие, холодные и голодные годы. В своих воспоминаниях о Колмогорове Юшкевич упоминает одну из таких дискуссий и впечатление, произведённое на него безыскусным по форме выступлением Колмогорова, в особенности замечанием о том, что интуиционистская математика только по форме уже классической. Думаю, что это замечание лет на 50 опередило своё время. Во всяком случае, я слышал подобные высказывания только в начале восьмидесятых годов, и делались они на основании огромного технического опыта, накопленного несколькими поколениями исследователей.
Столь же оригинальна и вторая предвоенная логическая статья Колмогорова [10] . Опубликованная семью годами позже, чем [9] , на немецком языке, работа посвящена истолкованию интуиционистской логики. Если с семантикой классической логики дело обстояло более или менее благополучно, то вокруг содержания интуиционисткой логики велось немало дискуссий. Говоря очень упрощённо, классическая теоретико-множественная концепция математики, восходящая к Кантору, предполагает некий платонистский, идеальный, завершённый мир, в котором математические объекты существуют независимо от нашего творческого сознания в таком же смысле, как существуют звёзды на небе. Завершённая, актуальная бесконечность является вполне гармоничной идеей для такого мира (в самом деле, например, натуральный ряд в этом завершённом мире тоже должен быть завершённым, актуально бесконечным, иначе придётся допустить существование наибольшего натурального числа, что по меньшей мере странно). Математические утверждения выражают состояния вещей в этом мире и потому они также независимо от нашего сознания, состояния знаний и т.д. либо истинны, либо ложны. Не только абсолютизация экзистенциального статуса математических объектов, но и абсолютизация самого познания доведена в этой концепции до конца. Математические теоремы не столько изобретаются, сколько открываются математиками примерно так же, как открывались мореплавателями новые острова. Ясно, что закон исключённого третьего вполне естественен в этом «чёрно-белом» мире и что классическая логика является, таким образом, логикой теоретических истин, то есть логикой идеализированного математического бытия.
[10]
Колмогоров А.Н. Zur Deutung der intuitionistischen Logic. Mathematische Zeitschrift, v. 35, 58–65, 1932.
[9]
Колмогоров А.Н. О принципе «tertiumnondatur», Математический Сборник, т.32, 646–667, 1924/1925.
В контрасте с этой концепцией, интуиционистский математический мир принципиально незавершён, он развивается в результате творческой активности субъекта. Образно говоря, акт Творения математического мира передан от Бога к человеку, точнее к идеализированному человеческому существу, живущему и творящему во времени. От активности и умений такого творческого субъекта и зависит характер соответствующего математического мира. Что же в таком случае выражает интуиционистская логика, эта своего рода конституция интуиционистской математики? Предложенная Колмогоровым концепция исходит из того, что объектами интуиционистской математики, а, следовательно, и логики являются не абсолютные истины (как в традиционном случае), а задачи (проблемы). Логические операторы формируют новые проблемы из уже поставленных, а сами формулы интуиционистской логики выражают умение решить те или иные составные задачи. Таким образом, интуиционистская логика оказывается логикой умений. Закон исключённого третьего теряет при таком подходе свой универсальный характер. Принятие его означало бы постулирование умения решить в каждый момент времени любую задачу, что вряд ли убедительно. Интересной стороной интерпретации Колмогорова является её нейтральность: интуиционистская логика может теперь быть объяснена исследователю, не понимающему сложной философии интуиционизма или просто не заинтересованному в ней. Интуиционистская логика в какой-то мере теряет свой «религиозный», эзотерический характер и становится заманчивым объектом исследования для «обыкновенного» математика. Мне кажется, что значительный прогресс в изучении интуиционистской логики, достигнутый в послевоенные годы (и открывший, помимо прочего, дорогу к практическим её применениям в информатике), в большой степени обязан этому новому подходу, восходящему к Колмогорову.
Исследования Колмогорова по интерпретации интуиционистской логики развивались параллельно с усилиями выдающего голландского логика, ученика и последователя Брауэра А. Гейтинга. Многие идеи этих учёных оказались очень близкими. Однако в логической литературе до недавнего времени имя Колмогорова в этой связи почти не упоминалось. Мне кажется очень важным, что, восстанавливая историческую справедливость, два выдающихся представителя голландской школы, ученики Гейтинга Д. ван Дален и А. Трулстра в своей недавней великолепной двухтомной монографии [13] ввели в употребление термин «интерпретация Брауэра-Гейтинга-Колмогорова». С именем Трулстры связана и недавняя публикация писем Колмогорова Гейтингу ([14–15]). Письма эти были обнаружены Трулстрой в архивах А. Гейтинга. Профессор Трулстра, с которым я состоял в течение ряда лет в дружеской переписке, любезно прислал мне копии этих бесценных исторических документов, относящихся к началу 30-х годов. Естественно, было бы крайне интересно найти письма Гейтинга к Колмогорову в бумагах последнего. К сожалению, если я не ошибаюсь, это оказалось невозможным. Тем временем В.А. Успенский предложил опубликовать русские переводы писем Колмогорова (оригиналы написаны на немецком и французском языках) в Успехах Математических Наук, что и было сделано с любезного согласия профессора Трулстры. Корреспонденция между Колмогоровым и Гейтингом, даже доступная только частично, проливает новый свет на раннюю историю интуиционизма и на личности обоих выдающихся учёных.
[13]
Dalen D. van, Troelstra A. S. Constructivity in Mathematics. An Introduction. Vol.1–2, North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford-Tokyo, 1988.
Как это случилось и с работой 1925 года, новая работа Колмогорова по интуиционистской логике осталась малоизвестной. По-видимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16] . Семантика реализуемости, оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10] .
Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух работ. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за пределами России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на Западе. Можно надеяться, что статья Успенского, опубликованная по-английски и в одном из самых читаемых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию [xviii] .
[16]
Kleene S.C. On the interpretation of intuitionistic number theory. Journal of Symbolic Logic, v.10, 109–124, 1945.
[10]
Колмогоров А.Н. Zur Deutung der intuitionistischen Logic. Mathematische Zeitschrift, v. 35, 58–65, 1932.
[18]
В связи с подобными проблемами часто приходится слышать о языковом барьере. Боюсь, однако, что дело обстоит сложнее. Во-первых, скажем, Колмогорову не легче читать по-английски, чем любому его англоязычному коллеге по-русски. Во-вторых, статья 32-го года написана по-немецки, а статья 25-го года уже довольно давно (1967 г.) опубликована в английском переводе профессором Хейенортом [17]. В третьих, трудно не вспомнить об аналогичной судьбе выдаюшейся работы П.С. Новикова [18], опубликованной в 1943 году по-английски. И это не помогло - работа эта по сей день остаётся практически неизвестной за пределами (бывшего) Советского Союза. Не мне, однако, искать разгадку описанного феномена.
В связи с публикацией английского перевода статьи 25-го года приведём короткое, но выразительное письмо Колмогорова (копия приводимого письма получена, благодаря любезности Профессора И. Анелиса, из Jean van Heijenoort papers, 1946-1983, Archives of American Mathematics, University Archives, University of Texas at Austin).
Москва В 234 Professor John van Heijenoort
Университет 100 Washington Square
Зона Л. кв. 10 New York 3 N.Y. USA
А.Н.Колмогоров
Глубокоуважаемый Коллега!
Моя работа, опубликованная в 1925 году, может рассматриваться как общее достояние специалистов по математической логике, и я ничего не имею против ее перевода. Рассчитываю, впрочем, на Вашу любезность в смысле присылки мне экземпляра подготовляемой Вами книги по её выходе в свет.
С искренним уважением
12 ноября 1963 Ваш А. Колмогоров
О невероятной жизни самого ван Хейенорта можно прочесть в яркой книге Аниты Феферман [19].