Вечное Пламя

v = a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее

Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v x w =

= (a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее)x (A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее) =

x

= aA• Восток x Восток + aB• Восток x Север +

+ aC• Восток x Верх + aD• Восток x Будущее +

+ bA• Север x Восток + bB• Север x Север +

+ bC• Север x Верх + bD• Север x Будущее +

+ cA• Верх x Восток + cB• Верх x Север +

+ cC• Верх x Верх + cD• Верх x Будущее +

+ dA• Будущее x Восток + dB• Будущее x Север +

+ dC• Будущее x Верх + dD• Будущее x Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) • Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) • Север +

+ (aB – bA + cD + dC) • Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) • Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

|v|² = a² + b² + c² + d²

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v x w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v^* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:

v^* = – a • Восток – b • Север – c • Верх + d • Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v x v^* = (a² + b² + c² + d²) • Будущее = |v|² • Будущее

Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v^* будет совпадать с обратным v^{– 1}. Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:

v^{– 1} = v^* / |v|²

В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:

(v x w)^* = w^*x v^*

Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного вектора w^*, можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w:

Проекция v x w^* на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w)

Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент (a, b, c, d) вектора v на соответствующие компоненты (A, B, C, D) вектора w, называется скалярным произведением векторов v и w. Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.

Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h, причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g, а затем поделить справа на h. Иначе говоря, поворот вектора выражается так:

v -> g x v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v, поскольку |g| = |h| = |h^{– 1}| = 1 и