Веселые задачи. Две сотни головоломок

Мы знаем, что одна цепь длиннее другой на 14 см и имеет на 6 звеньев больше. Разделив 14 на 6, получаем 2¹/₃. Это и есть ширина одного звена, уменьшенная на двойную его толщину. Так как толщина кольца известна — полсантиметра, то полная ширина каждого звена равна 2¹/₃ + ¹/₂ + ¹/₂ = 3¹/₃ сантиметра.

Теперь легко определить, из скольких звеньев состояла каждая цепь. Из рисунка видно, что если мы отнимем от 36-сантиметровой цепи двойную толщину первого звена, т. е. 1 см, а разность разделим на 2¹/₃, то получим число звеньев в этой цепи:

35: 2¹/₃ = 15.

Рис. 73. Звенья цепи.

Точно так же узнаем число звеньев в 22-дюймовой [4] цепи:

21: 2¹/₃ = 9.

66. Мельник начал с того, что сложил все 10 чисел. Полученная сумма, 1156 кг — не что иное, как учетверенный вес мешков: ведь в нее вес каждого мешка входит 4 раза. Разделив эту величину на 4, узнаем, что пять мешков вместе весят 289 кг.

4

сантиметровой — прим. верст.

Для удобства обозначим мешки в соответствии с их весом номерами. Самый легкий мешок получит номер 1, второй по тяжести — 2 и т. д.; самый тяжелый мешок — номер 5. Нетрудно сообразить, что в ряду чисел: 110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг, 116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг — первое число составилось из веса двух самых легких мешков, 1 и 2, второе число — из веса мешков 1 и 3. Последнее число есть не что иное как вес двух самых тяжелых мешков, 4 и 5, а предпоследнее — 3-го и 5-го. Итак,

1 и 2 вместе весят 110 кг

1 и 3 —»-»— 112 —»—

3 и 5 —»-»— 120 —»—

4 и 5 —»-»— 121 —»—

Теперь легко узнать сумму весов мешков 1, 2, 4 и 5: она равна 110 кг + 121 кг = 231 кг. Вычтя это число из общей суммы веса всех мешков (289 кг), получаем вес мешка 3, именно 58 кг.

Далее, из суммы веса мешков 1 и 3, т. е. из 112, вычитаем известный уже нам вес мешка 3; получается вес мешка 1: 112 кг — 58 кг = 54 кг.

Точно так же узнаем вес мешка 2, вычтя 54 кг из 110 кг, т. е. из суммы веса мешков 1 и 2. Получаем: вес мешка 2 равен 110 кг — 54 кг = 56 кг.

Из суммы веса мешков 3 и 5, т. е. из 120, вычитаем вес мешка 3, который равен 58 кг; узнаем, что мешок 5 весит 120 кг — 58 кг = 62 кг.

Остается определить вес мешка 4 из суммы весов мешков 4 и 5, т. е. из 121 кг. Вычтя 62 из 121, узнаем, что мешок 4 весит 59 кг.

Итак, вот вес мешков:

54 кг, 56 кг, 58 кг, 59 кг, 62 кг.

67. Мы знаем, что Володя вдвое старше Жени, а Надя и Женя вместе вдвое старше Володи. Значит, годы Нади и Жени, сложенные вместе, вчетверо больше, чем возраст Жени. Отсюда прямо следует, что Надя старше Жени в 3 раза.

Далее, мы знаем, что сумма лет Алеши и Володи вдвое больше суммы лет Нади и Жени. Но возраст Володи есть удвоенный возраст Жени, а годы Нади и Жени, сложенные вместе, есть учетверенный возраст Жени. Следовательно,

годы Алеши + удвоенный возраст Жени = 8-кратному возрасту Жени, т. е.:

Алеша старше Жени в 6 раз.

Наконец, нам известно, что сумма возрастов Лиды, Нади и Жени равна удвоенной сумме возрастов Володи и Алеши.

Имея перед глазами табличку:

Лиде — 21 год.

Надя — в 3 раза старше Жени,

Володя — в 2 раза старше Жени,

Алеша — в 6 раз старше Жени,

мы можем сказать, что

21 год + утроенный возраст Жени + возраст Жени = 4-кратному возрасту Жени + 12-кратному возрасту Жени,

или:

21 год + 4-кратный возраст Жени = 16-кратному возрасту Жени.

Значит, 21 год равен 12-кратному возрасту Жени и, следовательно, Жене 21: 12 = 1³/₄ года.

Теперь уже легко определить, что Володе 3¹/₂ года, Наде — 5¹/₄ и Алеше — 10¹/₂ лет.

68. Для ясности нарисуем рядом две свечи — толстую, которая сгорает за 5 часов, и тонкую, которая сгорает за 4 часа. Заштрихуем сгоревшие части обеих свечей. Легко сообразить, что длина сгоревшей части тонкой свечи (ЕF) должна составлять ⁵/₄ длины сгоревшей части толстой (ВС); другими словами, заштрихованный в клетку избыток тонкой свечи (ЕК) составляет по длине ¹/₄ сгоревшей части толстой (ВС). Но в то же время длина этого избытка равна ¹/₄ длины толстого огарка (АВ). Другими словами, мы узнали, что ³/₄ длины толстого огарка равны ¹/₄ длины сгоревшей части толстой свечи. Значит, ⁴/₄ толстого огарка, т. е. весь огарок, составляет ¹/₄ x ⁴/₃ = ¹/₃ толстой свечи.

Рис. 74. Две свечи — толстая и тонкая.

Итак, огарок толстой свечи равен ¹/₃ сгоревшей части или ¹/₄ всей длины свечи. Сгорело, следовательно, ³/₄ толстой свечи. А так как вся свеча могла сгореть за 5 часов, то ³/₄ ее горело в течение

Ответ: свечи горели 3³/₄ часа.

69. Каждый ученик и ученица ежедневно раскланивались со всеми остальными школьниками и с заведующим. С самими собою, конечно, не раскланивались, зато делали поклон заведующему, так что каждый школьник и школьница ежедневно делали столько поклонов, сколько было детей в школе. Значит, все дети вместе ежедневно делали столько поклонов, сколько будет, если умножить их общее число само на себя.

Итак, мы знаем, что 900 — это число детей, умноженное само на себя. Какое же число, умноженное на себя, составит 900? Очевидно, 30. А так как девочек было вдвое больше, чем мальчиков, то из 30 детей было 20 девочек и 10 мальчиков.

Проверим это. Девочки делают 19 x 20 = 380 поклонов подругам и 20 x 10 = 200 поклонов мальчикам. Мальчики мальчикам делают 9 x 10 = 90 и девочкам — 10 x 20 = 200 поклонов. Итого: 380 + 200 + 90 + 200 = 870 поклонов. Присоединив еще 30 поклонов заведующему, имеем ровно 900.

70. Задачу надо решать с конца. Самый младший сын получил столько брильянтов, сколько было сыновей, и еще ¹/₇ остальных; но так как остатка никакого не было, то младший сын получил столько брильянтов, сколько было всех сыновей. Далее, предыдущий сын получил брильянтов на один меньше, чем было сыновей, да еще ¹/₇ остальных брильянтов. Значит, то, что получил самый младший, есть ⁶/₇ этого «остального» (а все «остальное» есть ⁷/₇).