Веселые задачи. Две сотни головоломок

Решения задач 141-150

141. Начнем наблюдать за движением стрелок в XII часов. В этот момент одна стрелка покрывает другую. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (она описывает полный круг за 12 ч, а минутная за 1 ч), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры I, сделав ¹/₁₂ долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит у XII — на ¹/₁₂ долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая — ¹/₁₂ круга, т. е. минутная сделала бы на ¹¹/₁₂ круга больше. Но чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту ¹/₁₂ долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько ¹/₁₂ меньше ¹¹/₁₂, т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через ¹/₁₁ ч, т. е. через 60/11 = ¹¹/₁₂ мин.

Итак, встреча стрелок случится спустя 5⁵/₁₁ мин после часа дня, т. е. в 5⁵/₁₁ мин второго.

Когда же произойдет следующая встреча?

Нетрудно сообразить, что это случится через 1 час 5⁵/₁₁ мин, т. е. в 2 ч. 10⁵/₁₁ мин. Следующая — спустя еще 1 час 5⁵/₁₁ мин, т. е. в 3 ч 16⁴/₁₁ мин, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; последняя наступит через 1¹/₁₁ x 11 = 12 ч после первой, т. е. в 12 ч; другими словами, очередная встреча стрелок совпадает с самой первой и дальнейшие встречи повторятся снова в известные моменты.

Вот полный перечень встреч:

1-я встреча — в 1 ч 5⁵/₁₁ мин

2-я —»— в 2» 10¹⁰/₁₁ »

3-я —»— в 3» 16⁴/₁₁»

4-я —»— в 4» 21⁹/₁₁»

5-я —»— в 5» 27³/₁₁»

6-я —»— в 6» 32⁸/₁₁»

7-я —»— в 7» 38²/₁₁ »

8-я —»— в 8» 43⁷/₁₁»

9-я —»— в 9» 39¹/₁₁»

10-я —»— в 10» 54⁶/₁₁»

11-я —»— в 12 ч

142. Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 ч, когда положение стрелок одинаково. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга — тогда стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на ¹¹/₁₂ полного круга; чтобы обогнать ее всего на ¹/₂ круга, понадобится меньше времени, чем целый час. Причем, во столько раз, во сколько ¹/₂ меньше ¹¹/₁₂,т. е. потребуется всего ⁶/₁₁ ч. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя ⁶/₁₁ ч, или 32⁸/₁₁ мин. Взгляните на часы в противоположные стороны.

Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32⁸/₁₁ минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:

12 ч + 32⁸/₁₁ мин = 12 ч 32⁸/₁₁ мин

1 ч 5⁵/₁₁ мин + 32⁸/₁₁ мин = 1 ч 38⁷/₁₁ мин

2 ч 10¹⁰/₁₁ мин + 32⁸/₁₁ мин = 2 ч 43⁷/₁₁ мин

3 ч 16¹/₁₁ мин + 32⁸/₁₁ мин = 3 ч 49¹/₁₁ мин и т. д.

Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.

143. Если начать наблюдение за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит ¹/₁₂ того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется. На какой бы угол ни отошла от XII минутная стрелка, часовая повернется на ¹/₁₂ этого угла, а не на ¹/₂, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у XII, часовая — у I, на ¹/₁₂ полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры XII на долю полного оборота, которую мы обозначим через х. Минутная стрелка успела к этому времени пройти в 12 раз больше, т. е. 12 x х Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12 x х — 1 должен быть вдвое больше, чем х, т. е. равняться 2 x х. Итак, 12 x х— 1 = 2 x х, откуда следует, что 1 целый оборот равен 10 x х (действительно, 12 x х — 10 x х = 2 x х). Но если 10 x х = целому обороту, то х = ¹/₁₀ части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры XII на ¹/₁₀ полного оборота, на что требуется ¹²/₁₀ ч, или 1 ч 12 мин. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от XII, т. е. на расстоянии ¹/₅ оборота; это соответствует ⁶⁰/₅ = 12 мин — как и должно быть.

Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение двенадцати часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.

Для этого дождемся двух часов; минутная стрелка стоит у XII, а часовая — у II. Рассуждая, как прежде, получаем равенство

12xх — 2 = 2 x х,

откуда 2 целых оборота равны 10 x х и, значит, х = ¹/₅ целого оборота. Часы будут показывать при этом ¹²/₅ = 2 ч 24 мин.

Дальнейшие моменты читатель легко вычислит сам и найдет, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующие 10 моментов:

в 1 ч 12 мин в 7 ч 12 мин

в 2 ч 24 мин в 8 ч 24 мин

в 3 ч 36 мин в 9 ч 36 мин

в 4 ч 48 мин в 10 ч 48 мин

в 6 ч в 12 ч

Ответы: «в 6 часов» и «в 12 часов» могут показаться неверными, — но только с первого взгляда. Действительно, в 6 часов часовая стрелка стоит у VI, минутная — у XII, т. е. ровно вдвое дальше от начальной отметки XII (успев описать один оборот). В 12 же часов часовая стрелка удалена от XII на нуль, а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому что двойной нуль — то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи.

144. После сделанных разъяснений решить эту задачу нетрудно. Рассуждая, как прежде, легко сообразить, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством

откуда 1 = 11¹/₂ x х, или х = ²/₂₃ целого оборота,т. е. стрелки будут расположены требуемым образом через 1¹/₂₃ ч после XII, т. е. в 1 ч 2¹⁴/₂₃ мин минутная стрелка должна стоять посредине между XII и 1¹/₂₃ часами, т. е. на ¹²/₂₃ часа, что как раз и составляет ¹/₂₃ полного оборота (часовая стрелка к этому моменту пройдет ²/₂₃ полного оборота). Второй раз стрелки расположатся требуемым образом в момент, который определится из равенства

откуда 2 = 11¹ /₂ x и x = ⁴/₂₃; искомый момент — 2 ч 5 ⁵/₂₃ мин. Третий искомый момент — 3 ч 7¹⁹/₂₃ мин и т. д.

145. Эта задача решается так же, как и предыдущая. Вообразим, что обе стрелки стояли у XII, и затем часовая отошла от XII на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквой х. Минутная стрелка за это время успела повернуться на 12 х х Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требованию нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка не дошла до конца полного оборота столько же, сколько часовая стрелка успела пройти от начала; другими словами

1 — 12 x х = х.

Отсюда 1 = 13 x х (потому что 13 x х — 12 x х = х). Следовательно, х = ¹/₁₃ доле полного оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит за ¹²/₁₃ ч и показывает 55⁵/₁₃ мин первого. Минутная же стрелка за это время прошла в 12 раз больше, т. е. ¹²/₁₃ полного оборота. А значит, обе стрелки отстоят от отметки XII одинаково и, следовательно, одинаково отодвинуты и от отметки VI, находясь от нее по разные стороны.