Волшебный двурог

— 194 —

 кроме первого, я получу q³, q², q и все будут с плюсом, от умножения на (—1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q³, q², q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q⁴ и — 1. Все верно!»

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

(q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q — 1) = q⁵ — 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

(q^{n– 1} + q^{n– 2} + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q — 1) = qⁿ — 1.

«Так, — подумал Илюша. — Тут начинается с q^{n– 1}. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени».

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q — 1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

q^{n– 1} + q^{n– 2} + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1 = (qⁿ — 1) / (q — 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^{n– 2}+ q^{n– 1} = (qⁿ — 1) / (q — 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

«Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы».

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра «3». Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a₁ = 3.

«Так! — подумал Илюша. — Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке».

— 195 —

Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого — к правой, и вышло:

a₁(1 + q + q²+ q³ + q⁴+…+ q^{n– 2}+ q^{n– 1} ) = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1).

«Обе части он умножил на первый член прогрессии, — подумал Илюша. — Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!»

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. «Сумма!» — подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

«Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!»

И получилось следующее равенство:

S = a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^{n– 2}+ q^{n– 1} ) = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1),

с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1)

— 196 —

Илюша громко и отчетливо произнес:

— Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a₁ [qⁿ / (q — 1) — 1 / (q — 1)]

а потом открыл скобки:

S = a₁qⁿ / (q — 1) — a₁ / (q — 1)