ВЫ НА САМОМ ДЕЛЕ ХОТЕЛИ БЫ ЗНАТЬ ВСЕ ОБ ЭКОНОМИКЕ?
Шрифт:
До появления в Египте тринадцати книг Эвклида «Элементы» классическая греческая геометрия была тем, что сейчас называют синтетической геометрией. Эта форма геометрии исключает любые аксиомы, постулаты и формально-дедуктивные методы доказательств, связанные с теоремами Эвклида. Единственной самоочевидной формой существования в синтетической геометрии является круговое действие; при этом определение прямой линии и точки выводится из складывания круга относительно самого себя. Только при помощи кругового действия, а также прямой и точки, определенных таким образом, должна строиться любая геометрическая фигура; указанных трёх элементов достаточно для любого построения. Кузанский вновь вернулся к тому, что круговое действие является самоочевидной формой существования в видимом пространстве. Это и было его изопериметрическим доказательством, которое коренным образом изменило европейскую
Отличительной чертой геометрических работ Пачоли и Леонардо было господство принципа пяти платоновых фигур, сформулированного Платоном (ок. 427-347 до н.э.) в философском диалоге «Тимей» [6]. Он содержит доказательство того, что в видимом («эвклидовом») пространстве только цять видов правильных многоугольников могут быть построены методами синтетической геометрии. Это: 1) тетраэдр, 2) куб, 3) октаэдр, 4) 12-сторонний додекаэдр и 5) 20-сторонний икосаэдр. 1), 3) и 5) имеют грани, которые являются равносторонними треугольниками; додекаэдр имеет грани, являющиеся правильными пятиугольниками. Пачоли выстроил доказательство этой теоремы в своей работе «Божественная пропорция» («Divine Proportione», 1494). Более строгое доказательство было дано Леонардом Эйлером (1707-1783). Это доказательство занимало центральное место среди достижений Эйлера в области топологии, которые были продолжением аналитических положений Лейбница. В этой работе с легкостью доказано, что каждая из оставшихся четырех фигур Платона может быть получена из додекаэдра. На основании этого было доказано, что Золотое сечение, позволяющее геометрически строить правильный пятиугольник или додекаэдр, характеризует уникальность пяти платоновых тел.
Конструкция афинского Акрополя является наглядной демонстрацией того факта, что современники Платона и предшественники древнегреческих строителей использовали синтетическую геометрию, основанную на Золотом сечении. Сравнение работ Альбрехта Дюрера с гармоническим сечением, использованным при построении афинского Акрополя, позволяет также прийти к выводу, что древние греки понимали принцип, впоследствии вновь открытый Пачоли и Леонардо да Винчи, который гласит, что процессы в живой природе отличаются геометрически от процессов в неживой природе тем, что морфология роста и определяемые ростом функции в живой природе являются его самоподобными моделями, причем коэффициент подобия гармонически сообразуется с Золотым сечением.
Несомненно, именно поэтому различные культы стремились обнаружить мистические свойства в пятиугольнике и в Золотом сечении. Однако во всем этом нет ничего мистического, если, к примеру, вспомнить соответствующие работы Гаусса и Римана. До того, как эта книга будет прочитана до конца, читатель сможет усвоить основы предмета и понять их необходимость для экономической науки, свободной от любого рода мистификаций. В данном разделе важно рассмотреть только некоторые основные положения, непосредственно касающиеся открытий Лейбница в экономической науке.
Рост в соответствии с рядом Фибоначчи, в котором каждое следующее число является суммой двух предыдущих (1, 2, 3, 5, 8, ...). На простом примере проиллюстрировано то, что каждая следующая пара (X Y) существует на протяжении двух поколений и порождает одну пару наследников на протяжении существования одного поколения. Каждая из этих пар живет два поколения и погибает после рождения другой пары наследников. Если плюс ко всему каждая пара наследников состоит с представителей мужского и женского пола, которые в свою очередь рождают еще два поколения наследников, тогда рост этой группы соответствует ряду Фибоначчи.
Прежде всего, значимость принципа Золотого сечения для морфологии процессов, связанных с живым миром, становится понятной, когда обнаруживается, почему ряд Фибоначчи (Леонардо Пизанский, которому было около 30 лет, когда в 1262 году он написал свой труд «Книга абака» («Liber Abaci») сходится к величинам, определенным
по правилу Золотого сечения. Ряд Фибоначчи является геометрическим рядом (геометрически определенным рядом целых чисел), который точно оценивает рост популяции, в том числе размножение живых клеток. По мере того, как значения в ряду достигают относительно больших величин, их отношение быстро сходится к соотношению Золотого сечения. Достаточно провести несложное исследование, чтобы подтвердить открытия Пачоли и да Винчи, сделанные на примерах растений. Работы Леонардо по исследованию анатомии человека, лошади и т.д. были по сути научным исследованием тех же самых принципов Золотого сечения [7]. Не только пропорции человеческого тела, но и, к примеру, динамика изменения его формы определяются принципами Золотого сечения.
В прямоугольниках Фибоначчи пропорции упорядоченных прямоугольников соответствуют пропорциям Золотого сечения a:b=b:c когда a является короткой стороной прямоугольника, b его же длинной стороной, которая в тоже время есть короткая сторона нового прямоугольника, длинная сторона которого c.
Среди многочисленных отраслей современной науки, открытых да Винчи главным образом на основании геометрических принципов, можно выделить анатомическую динамику, используемую при конструировании оружия, инструментов и механизмов. В частности, знания по анатомии движения использовались при разработке оружия и помогали создавать его как инструмент, соответствующий оптимальным движениям тела человека в бою. Этими же правилами пользуются при создании машин, механизмов и т.п.
К примеру, для создания самого простого рабочего механизма изучаются соответствующие движения работника. Исследователь наблюдает, какие из них действительно необходимы в рабочем процессе. Эти движения как бы встраиваются в машину, наряду с энергией, поступающей от других источников (животных, воды, ветра, тепла и т.д.). Тогда производительность работника с машиной более высока, чем без нее.
Однако, вообще говоря, энергия, которая затрачивается машиной для работы, не тождественна всей энергии, потребляемой ею. Приведем простой пример с ножом: давление, создаваемое лезвием ножа, гораздо выше давления, прилагаемого к его ручке. Происходит своего рода концентрация мощности. Для измерения концентрации энергии введем понятие плотности потока энергии. Эта величина определяет концентрацию энергии на сантиметр действия на квадратный метр поперечного сечения действия, либо на кубический метр объема действия. Если импульс в одну тонну приложен к машине и воздействует 1000 раз подряд на рабочую плоскость, то можно утверждать, что на эту плоскость действует импульс в тысячу тонн. Дальше мы будем часто использовать плотность потока энергии и измерять ее будем в киловаттах на квадратный километр или на квадратный метр.
Важнейшим показателем эффективности машины является отношение усилий человека, затрачиваемых на ее обслуживание, к количеству работы, выполняемой этой машиной. Если машина, кроме мускульной силы человека, использует какой-то другой источник энергии (например, энергию животных, воды, ветра или тепла), мы должны подсчитать стоимость этой энергии в единицах общественных затрат на организацию доставки энергии до рабочих мест от этих источников. Эту стоимость мы рассматриваем как капитальные затраты на потребляемую энергию. После этого следует выявить изменения отношения капитальных затрат на одного работника, обслуживающего данный класс машин, к изменению производительности работника, использующего эту машину.
Это отношение можно описать математической функцией. Представим график, в котором ось Y отражает темпы роста выпуска продукции в расчете на одного работника, а ось X отражает повышающуюся стоимость капитальных затрат на потребляемую энергию в расчете на одного работника. Затем добавим ось Z, отражающую рост плотности потока энергии, подаваемой к устройству. В этой части книги обсуждение математических функций такого типа имеет отношение исключительно к только что определенной трехмерной функции.