Юный техник, 2007 № 11

10(4).Решите систему уравнений:

11(7).Медиана AMостроугольного треугольника ABCравна 25. Из точки Мопущены перпендикуляры МРи MQна отрезки АВи АСсоответственно. Найдите сторону ВС, если АР= 24, AQ= 15.

12(5).Три числа х, у, zобразуют возрастающую арифметическую прогрессию, а их квадраты х ², у ², z ²составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 15.

13(5).Решите уравнение:

1 + 2sin 2x= 2(sin x+ cos x)

14(5).Решите уравнение

15(5).Решите неравенство:

ФИЗИКА

1. Латунь — это сплав меди и цинка. Для латунной детали массой М= 120 г и объемом V= 14 см ³определите, какая доля массы детали приходится на цинк. Считать, что объем детали равен сумме объемов меди и цинка.

Плотности меди и цинка считать известными.

2. Автобус и мотоцикл находятся друг от друга на расстоянии L= 20 км. Если они будут двигаться с постоянными различными скоростями в одном направлении, то мотоцикл догонит автобус через время t ₁= 1 ч. Если они будут двигаться навстречу друг другу с теми же скоростями, то встретятся через t ₂ = 10 мин. Каковы скорости мотоцикла и автобуса?

3. Из пункта С, расположенного точно посередине между пунктами А и В , стартуют два мотоциклиста и велосипедист. Первый мотоциклист поехал со скоростью V= 90 км/ч в сторону пункта А , второй с такой же скоростью в сторону пункта В , а велосипедист в сторону пункта А со скоростью U= 30 км/ч. Первый и второй мотоциклисты, доехав до пунктов А и В , соответственно, сразу поворачивают и продолжают движение в обратном направлении. Определите время и место встречи мотоциклистов и велосипедиста, а также мотоциклистов. Расстояние между пунктами А и В равно L= 24 км.

4. В резервуар, имеющий форму параллелепипеда с вертикальными стенками, закачивается нефть. Дно резервуара представляет собой прямоугольник со сторонами a= 2,5 м и b= 2 м. Каждую секунду в резервуар поступает 20 кг нефти. С какой скоростью повышается уровень нефти в резервуаре?

5. Имеется высокая U-образная вертикально расположенная трубка. Площадь поперечного сечения трубки 5 постоянна по всей ее высоте и равна 0,8 см ². Верхний конец ее левого колена расположен на h= 4 см ниже верхнего конца правого колена (см. рис. 1). Трубка заполнена водой так, что она доходит до края левого колена. Затем в правое колено трубки наливают масло так, что его верхний уровень совпадает с верхним уровнем трубки (см. рис. 2). Какую массу масла налили? Какой объем воды вылился из трубки? Плотность воды _в = 1 г/см ³, плотность масла _м = 0,8 г/см ¹.

6. В дне сосуда имеется круглое отверстие, на которое положен цилиндрический брусок радиуса R= 5 см и толщины d(см. рис. 3). Оси бруска и отверстия совпадают. В сосуд медленно наливают воду. Когда уровень воды поднялся выше верхней грани бруска на высоту d, брусок начал всплывать. Чему равен радиус отверстия r?

Плотность материала бруска равна = 600 кг/м ³, плотность воды — _в = 1000 кг/м ³.

7. Муравей находится на середине соломинки длиной l(см. рис. 4). Соломинка лежит на двух опорах. Левая опора находится на расстоянии l ₁= 5l/12 от левого конца соломинки, а правая — на расстоянии l ₂=13l/28 от ее правого конца. На какие максимальные расстояния от середины соломинки влево и вправо может отползти муравей, чтобы соломинка при этом не перевернулась. Масса муравья в 6 раз меньше массы соломинки, а его размеры много меньше длины соломинки. Соломинку считать однородным стержнем.

8. Для нагревания смеси медных и стальных опилок общей массой m= 200 г от температуры t ₁= 20 °C до температуры t ₂= 220 °C потребовалось подвести теплоты в количестве Q= 17,6 кДж. Какова масса медных опилок в этой смеси?

9. В сосуде с тонкими вертикальными стенками и площадью дна S= 100 см ²находятся вода и лед при температуре t ₁= 0 °C, причем масса льда в 10 раз меньше массы воды. В сосуд целиком погружают нагретую до температуры t ₂= 80 °C стальную деталь. При этом уровень воды сразу после погружения детали повышается на h= 3 см. Какова начальная масса воды в сосуде, если известно, что после установления теплового равновесия температура в нем оказалась равной t= 5 °C? Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь.

Удельная теплоемкость воды с _в = 4200 Дж/(кг•К), льда с _л = 2100 Дж/(кг•К), удельная теплота плавления льда = 330•10 ³Дж/кг.

10. Три резистора включены в электрическую цепь, показанную на рис. 5. Если между точками А ₁ и В ₁ подать напряжение 30 В, то напряжение на сопротивлении R ₃окажется равным 15 В. Если напряжение 60 В подать между точками А ₂ и В ₂ , то напряжение на сопротивлении R ₁окажется равным 30 В. Определите сопротивление резисторов R ₁, R ₂и R ₃если известно, что общее сопротивление цепи между точками A1 , и В ₁ составляет 2 Ом.

11. Из одной точки над поверхностью Земли камень бросают дважды: первый раз со скоростью V ₀вертикально вверх, а второй раз — с такой же скоростью вертикально вниз. Время полета камня до поверхности Земли в первом случае оказалось в два раза больше времени полета камня во втором случае. На какой высоте над Землей находилась точка, из которой были произведены броски? Сопротивлением воздуха пренебречь.

12. Тело брошено под углом к горизонту. В момент, когда оно оказалось на максимальной высоте h= 10 м, его скорость уменьшилась в два раза по сравнению с начальной. Определите начальную скорость тела и угол к горизонту, под которым оно было брошено. Сопротивлением воздуха пренебречь.

13. Горизонтальная платформа и находящийся на ней маленький шарик массой mвращаются с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Нить, прикрепленная к шарику и к оси O ₁O ₂имеет длину lи составляет с осью угол . Найти силу натяжения нити и силу давления шарика на платформу. Трением между платформой и шариком пренебречь.