Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Любое начальное положение может быть приведено к расположению либо рис. 15 (положение I), либо рис. 16 (положение II).

Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквою S, может быть преобразовано в положение I, то, очевидно, возможно и обратное - перевести положение I в положение S. Ведь все ходы шашек обратимы: если, например, в схеме I мы можем шашку 12 поместить на свободное поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположными движениями.

Итак, мы имеем две серии расположений таких, что положения одной серии могут быть переведены в нормальное I, а другой серии - в положение II. И, наоборот, из нормального расположения можно получить любое положение первой серии, а из расположения II - любое положение второй серии. Наконец, два любых расположения, принадлежащие к одной и той же серии, могут быть переводимы друг в друга.

Нельзя ли идти дальше и объединить эти два расположения - I и II? Можно строго доказать (не станем входить в подробности), что положения эти не превращаются одно в другое никаким числом ходов. Поэтому все огромное число размещений шашек распадается на две разобщенные серии: 1) на те, которые могут быть переведены в нормальное I: это - положения разрешимые; 2) на те, которые могут быть переведены в положение II и, следовательно, ни при каких обстоятельствах не переводятся в нормальное расположение: это - положения, за разрешение которых назначались огромные премии.

Рис. 17. Шашки не приведены в порядок

Как узнать, принадлежит ли заданное расположение к первой или ко второй серии? Пример разъяснит это.

Рассмотрим расположение, представленное на рис. 17. Первый ряд шашек в порядке, как и второй, за исключением последней шашки (9). Эта шашка занимает место, которое в нормальном расположении принадлежит 8. Шашка 9 стоит, значит, ранее шашки 8: такое упреждение нормального порядка называют «беспорядком». О шашке 9 мы скажем: «Здесь имеет место 1 беспорядок». Рассматривая дальнейшие шашки, обнаруживаем упреждение для шашки 14; она поставлена на три места (шашек 12, 13, 11) ранее своего нормального положения; здесь у нас 3 беспорядка (14 ранее 12; 14 ранее 13; 14 ранее 11). Всего мы насчитали уже 1 + 3=4 беспорядка. Далее, шашка 12 помещена ранее шашки 11, и точно так же шашка 13 - ранее шашки 11. Это дает еще 2 беспорядка. Итого, имеем 6 беспорядков. Подобным образом для каждого расположения устанавливают общее число беспорядков, освободив предварительно последнее место в правом нижнем углу. Если общее число беспорядков, как в рассмотренном случае, четное, то заданное расположение может быть приведено к нормальному конечному; другими словами, оно принадлежит к разрешимым. Если же число беспорядков нечетное, то расположение принадлежит ко второй серии, т. е. к неразрешимым (ноль беспорядков принимается за четное число их).

Благодаря ясности, внесенной в эту игру математикой, прежняя лихорадочная страсть в увлечении сейчас совершенно немыслима. Математика создала исчерпывающую теорию игры, теорию, не оставляющую ни одного сомнительного пункта. Исход игры зависит не от каких-либо случайностей, не от находчивости, как в других играх, а от чисто математических факторов, предопределяющих его с безусловной достоверностью».

Обратимся теперь к головоломкам в этой области. Вот несколько разрешимых задач, придуманных изобретателем игры.

22. Первая задача Лойда

Исходя из расположения, показанного на рис. 15, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (рис. 18).

Рис. 18. К первой задаче Самуэля Лойда

Рис. 19. Ко второй задаче Самуэля Лойда

23. Вторая задача Лойда

Исходя из расположения рис. 15, поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения рис. 19.

24. Третья задача Лойда

Передвигая шашки согласно правилам игры, превратите коробку в магический квадрат, а именно: разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30.

КРОКЕТ [2]

Крокетным игрокам предлагаю следующие пять задач.

25. Пройти ворота или крокировать?

2

Крокет – игра не такая уж старая. В начале века в нее любили играть в различных странах. Потом на какое-то время крокет был забыт, а сейчас интерес к нему возрождается снова.

В России в крокет играли так. На земле или на траве разбивали площадку – поле(рис. 20).На поле каждая из команд вбивала по колышку(а),в определенном порядке расставляли проволочные дужки – ворота(Ь),а посредине между колышками ставили двое ворот крест-накрест – мышеловку (с). Каждый из игроков начинает от «своего» колышка. Цель игры состоит в том, чтобы, ударяя деревянным молотком по шару, провести свой шар через ворота и, попав в колышек противника, постараться вернуться к своему колышку. Не следует забывать и о противнике: нужно по мере возможности помешать ему достичь своего колышка.

Игроки делают по одному удару поочередно, но могут получить право на дополнительный удар, если им удается провести шар через ворота и попасть своим шаром по другому шару – «крокировать».

Нельзя только «попасть на кол», или «заколоться», – преждевременно ударить шаром по своему колышку.

Искусные игроки набирают очки, выводя шары на удобные позиции, и получают право на дополнительные удары, умудряясь за один раз пройти часть ворот или даже все ворота. –Прим. ред.

Крокетные ворота имеют прямоугольную форму. Ширина их вдвое больше диаметра шара. При таких условиях что легче: свободно, не задевая проволоки, пройти с наилучшей позиции ворота или с такого же расстояния крокировать шар?

Рис. 20. Схема игры в крокет

26. Шар и столбик

Толщина крокетного столбика внизу - 6 см. Диаметр шара 10 см. Во сколько раз попасть в шар легче, чем с такого же расстояния заколоться?

27. Пройти ворота или заколоться?

Шар вдвое уже прямоугольных ворот и вдвое шире столбика. Что легче: свободно пройти ворота с наилучшей позиции или с такого же расстояния заколоться?

28. Пройти мышеловку или крокировать?

Ширина прямоугольных ворот втрое больше диаметра шара. Что легче: свободно пройти в наилучшей позиции мышеловку или с такого же расстояния крокировать шар?

29. Непроходимая мышеловка

При каком соотношении между шириной прямоугольных ворот и диаметром шара пройти мышеловку становится невозможным?

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 15-29

ДОМИНО

15. Для упрощения задачи отложим пока в сторону все

7 двойных косточек: 0-0, 1-1, 2-2 и т. д. Останется 21 косточка, на которых каждое число очков повторяется 6 раз. Например, 4 очка имеется (на одном поле) на следующих 6 косточках:

4-0; 4-1; 4-2; 4-3; 4-5; 4-6.

Итак, каждое число очков повторяется, как мы видим, четное число раз. Ясно, что косточки такого набора можно приставлять одну к другой равными числами очков до исчерпания всего набора. А когда это сделано, когда наши 21 косточка вытянуты в непрерывную цепь, тогда между стыками 0-0,1 - 1, 2-2 и т. д. вдвигаем отложенные 7 двойняшек. После этого все 28 косточек домино оказываются вытянутыми, с соблюдением правил игры, в одну цепь.

16. Легко показать, что цепь из 28 костей домино должна кончаться тем же числом очков, каким она начинается. В самом деле: если бы было не так, то числа очков, оказавшиеся на концах цепи, повторялись бы нечетное число раз (внутри цепи числа очков лежат ведь парами); мы знаем, однако, что в полном наборе костей домино каждое число очков повторяется 8 раз, т. е. четное число раз. Следовательно, сделанное нами допущение о неодинаковом числе очков на концах цепи неправильно: числа очков должны быть одинаковы. (Такого рода рассуждения, как эти, в математике называются «доказательствами от противного».)

Между прочим, из сейчас доказанного свойства цепи вытекает следующее любопытное следствие: цепь из 28 косточек всегда можно сомкнуть концами и получить кольцо. Полный набор костей домино может быть, значит, выложен, с соблюдением правил игры, не только в цепь со свободными концами, но также и в замкнутое кольцо. Читателя может заинтересовать вопрос: сколькими различными способами выполняется такая цепь или кольцо? Не входя в утомительные подробности расчета, скажем здесь, что число различных способов составления 28-косточковой цепи (или кольца) огромно: свыше 7 биллионов. Вот точное число: