А ну-ка, догадайся!

Она гарантирует, что никакие два обведенные кружками числа не окажутся в одной строке или в одном столбце, а поскольку каждое число в клетке равно сумме единственной и неповторимой пары образующих, то сумма четырех обведенных кружками чисел равна сумме 8 генераторов, которая, как нетрудно подсчитать, равна 34. Следовательно, сумма четырех выбранных чисел также должна быть равна 34.

Поняв, как устроена магическая матрица 4х4, вы без труда построите магическую матрицу любого порядка. Рассмотрим, например, приводимую ниже матрицу 6-го порядка с 12 генераторами. Они выбраны так, что числа в клетках матрицы кажутся случайными. Это еще более маскирует закон, по которому выписаны числа матрицы и придает ей еще большую таинственность.

Сумма генераторов равна 30. Как бы ни выбирали в этой матрице 6 чисел, из которых никакие 2 не стоят в одной строке и в одном столбце, их сумма неизменно будет равна 30. Разумеется, эту сумму мы можем устанавливать по желанию.

Вы можете построить, например, магическую матрицу 10х10 с суммой генераторов, равной любому числу, которое покажется вам интересным, например «номер» текущего года или число лет, исполняющихся вашему доброму знакомому. Можно ли построить магические матрицы с отрицательными числами в некоторых клетках? Разумеется, можно.

Генератором магической матрицы может быть любое число, положительное или отрицательное, рациональное или иррациональное.

А можно ли построить магическую матрицу, в которой не сумма, а произведение выбранных чисел было бы равно заданному числу? Разумеется, можно, и это открывает перед нами еще одно направление исследований. Основная схема остается прежней, но нужное число равно не сумме, а произведению генераторов.

А что, если в клетки матрицы вписывать комплексные числа? И такое возможно, но мы предоставляем читателю разобраться в этом самостоятельно. Более подробные сведения о магических матрицах вы сможете почерпнуть в главе 2 («Фокусы с матрицами») моей книги «Математические головоломки и развлечения» [8] .

8

См. сноску на с. 44, с. 23–28.

Необычное завещание

_{Один адвокат, скопивший немалое состояние, собрал коллекцию из 11 старинных машин, каждую из которых знатоки оценивали примерно в 25 000 долларов.}

_{После смерти адвокат оставил необычное завещание. По его воле 11 машин должны были быть разделены между 3 его сыновьями.}

_{Половина машин должна была отойти старшему сыну, четверть — среднему и одна шестая — младшему.}

_{Сыновья были не на шутку озадачены. Ну как можно разделить пополам 11 машин или, скажем, отделить от них четверть или одну шестую?}

_{В разгар споров по поводу наследства мимо проезжала в своей новой спортивной машине знаменитый нумеролог миссис Зеро.}

_{М-с Зеро. Хэлло, мальчики!}

_{Что-то вид у вас не очень веселый. Может быть, я могу вам чем-нибудь помочь?}

_{После того как братья объяснили миссис Зеро суть своих затруднений, она поставила свою машину рядом с 11 коллекционными машинами и выпорхнула из нее.}

_{М-с Зеро. Сколько теперь машин перед вами?}

_{Братья сосчитали — получилось 12 машин.}

_{Затем миссис Зеро разделила 12 машин в соответствии с завещанием. Половину, или 6 машин, она отдала старшему сыну, четвертую часть, или 3 машины, —} среднему сыну, и шестую часть, или 2 машины, — младшему сыну.

_{М-с 3еро. 6 плюс 3 плюс 2 — 11 машин. Одна машина лишняя, это моя машина.}

_{Изящно впорхнув в свою машину, миссис Зеро дала газ и умчалась.}

_{М-с Зеро. Всегда к вашим услугам, мальчики! Счет за консультацию я пришлю вам попозже.}

Этот парадокс представляет собой современный вариант старинной арабской головоломки, в котором вместо лошадей речь идет о машинах. Вы можете по своему усмотрению изменять завещание старого чудака, варьируя число машин в оставшейся после него коллекции и доли наследства, причитающиеся его, сыновьям, следя лишь за тем, чтобы соблюдалось единственное условие: пополнив коллекцию еще одной машиной, сыновья получали возможность разделить наследство в соответствии с завещанием и вернуть «лишнюю» машину тому, кто любезно одолжил им ее.

Например, коллекция, оставшаяся после смерти адвоката, могла бы насчитывать 17 машин, а в завещании могло бы говориться о том, что сыновья должны получить соответственно 1/2, 1/3 и 1/9 всех машин.

Если n — число машин в коллекции, 1/а, 1/b и 1/c — доли, причитающиеся сыновьям по наследству, то парадокс возникает только в том случае, если уравнение

допускает решение в положительных целых числах.

Удастся ли вам обобщить задачу на случай большего числа наследников и машин, занимаемых для того, чтобы стал возможным раздел наследства в соответствии с завещанием?

Решение парадокса состоит в том, что сумма долей, указанных в завещании, меньше 1. Если бы сыновья во исполнение завещания вздумали бы резать машины, то после раздела наследства 11/12 машины остались бы «невостребованными». Миссис Зеро, по существу, показала братьям, как распределить между ними эти дополнительные 11/12 машины. В результате старший сын получает на 6/12, средний — на 3/12 и младший — на 2/12 машины больше, чем получили бы первоначально. В сумме эти три дроби (6/12 + 3/12 + 2/12) составляют 11/12, а поскольку каждый сын получает целое число машин, необходимость в разрезании машин отпадает.

Необыкновенный код

_{Доктор Зета, ученый из галактики Геликс, лежащей в другом измерении пространства — времени, прибыл на Землю для сбора научной информации об ее обитателях.}

_{В США он был гостем доктора Германа.}

_{Д-р Герман. Почему бы вам не прихватить с собой Британскую энциклопедию? В ней в сжатом виде изложен колоссальный опыт всего человечества.}

_{Д-р Зета. Великолепная идея! Жаль только, что я не смогу взять с собой столь большую массу.}

_{Д-р 3ета. Впрочем, я могу закодировать энциклопедию на этом металлическом стержне. Для этого мне понадобится нанести на него одну-единственную риску.}

_{Д-р Герман. Вы шутите, коллега? Разве может одна-единственная риска нести такое огромное количество информации?}

_{Д-р Зета. Разумеется, может, мой дорогой Герман! В вашей энциклопедии меньше тысячи букв и специальных знаков. Каждую букву и каждый знак я обозначу числами от 1 до 999, добавляя в случае необходимости нули слева, чтобы все коды были трехзначными.}