А ну-ка, догадайся!

_{Д-р Герман. Я не вполне уловил вашу мысль. Как, например, вы закодируете слово «КОТ»?}

_{Д-р Зета. Очень просто. Закодирую каждую из трех букв так, как я только что говорил, и получу 003001020.}

_{С помощью своего мощного карманного компьютера доктор Зета быстро считал строку за строкой Британскую энциклопедию и закодировал весь текст в виде одного} гигантского числа. Поставив перед ним нуль с запятой, он превратил это число в конечную десятичную дробь.

_{Затем доктор Зета нанес риску на металлический стержень, разделив его на две части (а и Ь) так, чтобы их отношение было равно полученной дроби.}

_{Д-р Зета. Когда я вернусь на родную планету, один из наших компьютеров измерит отрезки а и b и вычислит дробь a/b. Затем он декодирует ее и отпечатает для нас всю вашу энциклопедию!}

Если вы никогда не сталкивались с проблемами кодирования и декодирования, то вам, несомненно, будет интересно самостоятельно закодировать и декодировать несколько простых сообщений с помощью какого-нибудь числового кода, аналогичного предложенному доктором Зета. Коды позволяют нам прочувствовать всю важность взаимно-однозначного соответствия и отображения структуры на изоморфную структуру. Такие коды находят применение в высших разделах теории доказательств. Курт Гёдель доказал свою знаменитую теорему о том, что в каждой достаточно сложной (содержащей аксиомы арифметики целых чисел) дедуктивной системе существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Доказательство Гёделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число.

Разумеется, кодирование всей энциклопедии с помощью одной-единственной риски на стрежне хорошо лишь в теории, но отнюдь не на практике. Трудность состоит в том, что необходимая для такого кодирования точность недостижима. Ширина риски должна быть меньше размеров электрона, и длину обоих отрезков а и Ь необходимо измерять с такой же точностью. Но если предположить, что два отрезка можно измерить с точностью, достаточной для получения требуемой дроби, то метод доктора Зета следует признать вполне осуществимым.

Обратимся теперь к иррациональным числам.

Математики считают, что десятичное разложение числа я «бесструктурно», как любая другая бесконечная последовательность случайных цифр. Если это так, то можно утверждать, что какой бы конечный набор цифр мы ни взяли, в разложении я найдется совпадающий с ним отрезок. Иначе говоря, где-то в разложении числа я встречается отрезок, совпадающий с закодированной доктором Зета Британской энциклопедией. Более того, где-то в десятичном разложении числа я встречаются отрезки, совпадающие с закодированными текстами всех когда-либо напечатанных работ и даже всех сочинений, которые когда-нибудь будут созданы!

Любой конечный набор цифр встречается и в десятичных разложениях иррациональных чисел, в которых распределение цифр не случайно, а подчинено простым и ясным закономерностям. Например, любой конечный набор цифр заведомо встречается в десятичном разложении

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…

(после запятой выписаны подряд все целые числа).

Гостиница «Бесконечность»

_{Перед своим отлетом доктор Зета поведал поистине фантастическую историю.}

_{Д-р Зета. В самом центре нашей галактики находится огромная гостиница «Бесконечность». В ней действительно бесконечно много однокомнатных номеров, уходящих через черную дыру в другое измерение. В гостинице} есть первый номер, есть второй (комнаты перенумерованы по порядку), но нет последнего.

_{Д-р Зета. Однажды в гостиницу по пути в другую галактику заглянул командир неизвестного летающего объекта (НЛО).}

_{Д-р Зета. Хотя ни одного свободного места не было, управляющий гостиницей все же нашел способ устроить пилота: он попросил каждого обитателя гостиницы переселиться в комнату с номером на единицу больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, и поселил командира НЛО в освободившийся первый номер.}

_{Д-р 3ета. На следующий день в гостиницу прибыли 5 супружеских пар, совершавших свадебное путешествие. Управляющий и тут не растерялся и, переселив каждого обитателя гостиницы в комнату с номером на 5 больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, отвел супружеским парам освободившиеся комнаты с номерами от 1 до 5.}

_{Д-р 3ета. В конце недели в гостиницу нагрянули участники съезда продавцов жевательной резинки. Их было бесконечно много.}

_{Д-р Герман. Я в силах понять, как управляющий гостиницы «Бесконечность» мог бы разместить любое конечное число вновь прибывших, но как разместить бесконечное множество гостей?}

_{Д-р 3ета. Управляющий легко справился и с этой задачей: каждого обитателя гостиницы он переселил в комнату с номером вдвое больше, чем у той, которую тот занимал прежде.}

_{Д-р Герман. Понял! Все прежние постояльцы гостиницы оказались после переселения в комнатах с четными номерами, а бесконечное множество освободившихся комнат с нечетными номерами управляющий предоставил продавцам жевательной резинки.}

Ни одно конечное множество невозможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с любым из его собственных подмножеств. В случае бесконечных множеств такое утверждение неверно. Бесконечные множества нарушают старое правило «часть меньше целого». Бесконечное множество можно определить как множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с собственным подмножеством.

Управляющий гостиницей «Бесконечность» сначала показал, что множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с одним из его собственных подмножеств, вычеркивая из исходного множества один или пять элементов. Тот же прием позволяет устанавливать взаимно-однозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством, получаемым при вычеркивании любого конечного числа элементов.

Вычеркиванию элементов можно придать несколько более драматический характер. Представим себе, что на столе перед нами лежат шкала к шкале две бесконечные линейки с равномерными сантиметровыми делениями. Нулевые отметки на обеих шкалах совмещены и находятся в центре стола. Деления с отметками простираются неограниченно далеко вправо, причем между отметками существует взаимно-однозначное соответствие: 0–0, 1–1, 2–2 и т. д. Сдвинем теперь одну из линеек на n см вправо.