А ну-ка, догадайся!

Если ящик В пуст и женщина выбирает только ящик В, то она не получает ничего. Если же она выбирает оба ящика, то получает 1000 долларов.

Следовательно, в любом случае женщина, выбрав оба ящика, станет богаче по крайней мере на 1000 долларов.

Парадокс Ньюкома служит своего рода лакмусовой бумажкой для проверки, верит или не верит человек в свободу воли. Воможные реакции на парадокс подразделяются (почти поровну) на два типа: те, кто верит в свободу воли, выбирают два ящика; сторонники детерминизма предпочитают выбирать только ящик В. Имеются и такие, кто считает парадокс Ньюкома противоречивым независимо от того, полностью или не полностью предопределено будущее.

Подробный обзор различных, нередко противоположных, взглядов на парадокс Ньюкома приведен в разделе «Математические игры» журнала Scientific American мной (июль 1973) и профессором Нозиком (март 1974).

2. ЧИСЛА Парадоксы о целых числах, дробях и бесконечной лестнице

Парадоксы с числами оказали сильное влияние на историю математики. Противореча нашей интуиции, они не раз приводили в изумление и ставили в тупик математиков. Классическими примерами таких парадоксов могут служить открытия:

1) иррациональных чисел 2^½, π, е и бесчисленного множества других;

2) мнимых чисел (числа (-1)^½ и кратных ему) и комплексных чисел, часть которых составляют мнимые числа;

3) чисел (например, кватернионов), для которых нарушается коммутативный закон умножения: a х Ь не равно Ь х а;

4) чисел (например, чисел Кэли), для которых нарушается ассоциативный закон умножения а х (Ь х с) не равно (а х Ь) х с;

5) трансфинитных, или бесконечных, чисел (например, «алефы», введенные Георгом Кантором, который, по словам Давида Гильберта, «открыл перед математиками новый рай»).

Собранные в этой главе парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. Исключение составляют только три последних парадокса, в которых речь идет об иррациональных и трансфинитных числах. По замыслу автора они должны не только позабавить, но и заинтересовать вас настолько, чтобы вы на свой страх и риск попытались самостоятельно разобраться в тех важных разделах теории чисел, которые в них затрагиваются. Так, «Вездесущая девятка» подводит нас к конечным арифметикам, а «Необычное завещание» — к диофантову анализу. Многие арифметические парадоксы послужат отправными точками для перехода к обобщенным алгебраическим решениям, которые отточат вашу алгебраическую технику. В самом конце главы перед нами откроется пленительный вид на канторовский рай — область математики, продолжающую бурно развиваться и в наше время.

Загадка шести стульев

_{Шестеро друзей заказали столик в популярной дискотеке. В последнюю минуту к ним присоединился еще один товарищ, седьмой по счету.}

_{Владелица дискотеки. Ну вот, наконец-то гости пришли! Я накрыла для них столик на шесть персон, но, должно быть, ошиблась: их не шесть, а семь!}

_{Владелица дискотеки. Впрочем, все отлично устроится! Первого гостя я посажу на первое место и попрошу его на минутку взять к себе на колени партнершу.}

_{Владелица дискотеки. Третьего гостя я посажу рядом с двумя первыми, четвертого — рядом с третьим. Пятый сядет против того, кто держит партнершу на коленях, шестой — рядом с пятым. Получилось неплохо: я рассадила шестерых и одно место за столом осталось свободным!}

_{Владелица} дискотеки. Это место я попрошу занять партнершу, которая пока сидела на коленях у первого гостя. Разве не удивительно? Семь гостей владелица дискотеки рассадила на шести стульях, по одному на каждом стуле!

Не сомневаюсь, что вы без труда обнаружите логическую ошибку в приведенном мною варианте старого парадокса о ловком хозяине гостиницы, сумевшем разместить десять гостей в девяти номерах так, что каждому из них досталось по отдельной комнате (см. мою статью «Математические софизмы» [6] ).

6

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971, с. 125–132.

Парадокс разрешается, если понять, что партнерша, которую владелица дискотеки попросила первого гостя подержать на коленях, в действительности гость номер 2 (а не 7). Седьмому гостю не нашлось места за столом, а второй гость или, точнее, гостья, сойдя с колен своего партнера, пересела на шестое место.

На первый взгляд, кажется, будто этот парадокс нарушает теорему о том, что конечное множество из n элементов может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие только с конечными множествами из n элементов. Мы еще вернемся к этой теореме в парадоксе "Отель «Бесконечность»". «Загадка шести стульев» — занимательный пример различия между конечными и бесконечными множествами.

Неуловимая прибыль

_{Деннис продал одну из своих картин Джорджу за 100 долларов.}

_{Джордж повесил было картину у себя дома, но потом она перестала ему нравиться, и он продал ее Деннису за 80 долларов.}

_{Через неделю Деннис продал картину Джерри за 90 долларов Деннис. Ты совершил удачную покупку, Джерри. Лет через десять эта картина будет стоить в 50 раз дороже, чем ты заплатил за нее!}

_{Художник был доволен.}

_{Деннис. Сначала я продал картину за 100 долларов. Эта сумма возместила затраченные мной время и материалы, поэтому я не остался в убытке, хотя и не получил прибыли. Затем я выкупил ее за 80 и продал за 90 долларов. Моя прибыль составила, таким образом, 10 долларов.}

_{По расчетам Джорджа выходило иначе.}

_{Джордж. Художник продал свою картину за 100 и приобрел снова за 80 долларов. Следовательно, его чистая прибыл составила 20 долларов. Вторую продажу можно не принимать во внимание, так как 90 долларов — примерно столько, сколько стоила картина на самом деле.}

_{Джерри в своих расчетах как бы принимал во внимание соображения и Денниса, и Джорджа.}

_{Джерри. Продав картину за 100 и приобретя ее снова за 80 долларов, художник получил 20 долларов чистой прибыли. Еще 10 долларов он заработал, купив картину за 80 и Продав ее мне за 90 долларов. Следовательно, полная прибыль художника составила 30 долларов.}