Алиса в стране математики

— Ну что, ловко я тебя провёл? — с довольным видом спросил Шалтай-Болтай. — Но ты не огорчайся: зато теперь ты знаешь, что особенного в числе «один»! А вот скажи: что особенного в числе «два»?

— Это чётное число, — начала размышлять вслух Алиса, — но ведь чётных чисел много...

— Их бесконечно много, — заверил Шалтай-Болтай. — Ведь к любому чётному числу можно прибавить два, и получится большее чётное число!

— Значит, в том, что два — чётное число, ничего особенного нет, — заключила Алиса, продолжая рассуждать вслух. — Кроме того, два — простое число, потому что оно делится на два разных числа — на само себя и на единицу... Но ведь простых чисел тоже, наверное, много?

— Давай посмотрим, — предложил Шалтай-Болтай, и ряд чисел померк: многие числа погасли. В начале ряда, например, светились только числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

— Это простые числа! — догадалась Алиса. — И конца им не видно...

— Не видно, — согласился Шалтай-Болтай. — А что видно?

— Видно, что некоторые простые числа стоят почти рядом, а между другими — большие промежутки... — заметила Алиса.

— У тебя неплохое зрение, — отметил Шалтай-Болтай. — А что тебе ещё видно?

— Чем дальше, тем промежутки становятся всё больше и больше, — присмотревшись, ответила Алиса, — поэтому кажется, что ряд простых чисел становится всё реже и реже...

— Это не только кажется, — отозвался Шалтай-Болтай. — Так оно и есть на самом деле. Не наводит ли это тебя на какую-то мысль?

 — Наводит, — подумав, сказала Алиса. — Если простые числа встречаются всё реже и реже, значит, где-то они заканчиваются совсем?

— То есть, ты думаешь, что есть какое-то самое большое простое число? — уточнил Шалтай-Болтай.

— Так мне кажется, — осторожно ответила Алиса.

— А вот это тебе действительно только кажется! — обрадовался Шалтай-Болтай так сильно, что стал даже подскакивать на струне, то и дело рискуя свалиться с неё. — Я тебя снова провёл! Самого большого простого числа не существует, потому что простых чисел бесконечно много!

— Но откуда это известно? — возразила Алиса. — Ведь если к простому числу прибавить два, то совсем не обязательно получится снова простое число: например если к семи...

— С простыми числами не всё так просто! — перебил Шалтай-Болтай. — Хотя они и называются простыми, разобраться в них труднее всего! Но то, что их бесконечно много, доказать не так трудно. Это доказал еще Евклид...

— Евклид? — радостно воскликнула Алиса. — Я видела его...

— Евклида?! — поразился Шалтай-Болтай и с интересом посмотрел на Алису. — Тогда ты неплохо сохранилась!

— Я видела его портрет в учебнике математики, — объяснила Алиса. — Кажется, он был древним греком?

— Не таким уж он был и древним, — отозвался Шалтай-Болтай. — Он и до шестидесяти не дожил... Так ты поняла уже, что особенного в числе два?

— Ещё нет, — сказала Алиса. — Два — число чётное и простое... но ведь и тех и других чисел бесконечно много...

— Два — это единственное число, которое и чётное и простое одновременно! — торжественно произнёс Шалтай-Болтай, показывая на двойку. — Подумай только — единственное из бесконечно многих!

— А я уже было решила, что все чётные числа — составные! — призналась Алиса.

— Три — тоже особенное число, — важно заметил Шалтай-Болтай.

— Это единственное простое число, которое делится на три? — спросила Алиса.

— Не только, — ответил Шалтай-Болтай. — Три — единственное натуральное число, равное сумме всех предыдущих натуральных чисел! И ещё: посмотри на эти два числа, — показал он на двойку и тройку.

— Это единственные простые числа, которые стоят рядом! — воскликнула Алиса.

В этот момент все числа в натуральном ряду зажглись снова, и Алиса обратила внимание на появившуюся четвёрку.

— Четыре — тоже замечательное число! — тут же сказала Алиса. — Ведь это первое составное число!

— Мало этого, — подхватил Шалтай-Болтай. — Ты заметила, что четыре — это дважды два и в то же время — два плюс два?

— Что же тут особенного? — спросила Алиса.

— Как? —воскликнул Шалтай-Болтай. — Ты берёшь два одинаковых числа, один раз умножаешь их, а другой раз складываешь — но получаешь одно и то же! Разве это не удивительно?

— Удивительно, — согласилась Алиса. — Но разве так получается только для четырёх?

— Только! — радостно подтвердил Шалтай-Болтай.

— А что замечательного в числе пять? — спросила Алиса: она уже поверила, что каждое натуральное число и правда чем-то замечательно. Ей показалось даже, что числа в натуральном ряду ожили — каждое число превратилось в живое существо!

Шалтай-Болтай не ответил на вопрос Алисы. Она взглянула на него и увидела, что он начал засыпать. В голове у Алисы вихрем пронеслась строка из песенки: «Шалтай-Болтай свалился во сне»!

— Не засыпайте! — крикнула Алиса и бросилась к Шалтаю-Болтаю. Но не успела: Шалтай-Болтай покачнулся во сне и... свалился со струны!

Алиса посмотрела вслед Шалтаю-Болтаю — он летел, медленно вращаясь в полете.

— Вся королевская конница и вся королевская рать не сможет Шалтая-Болтая собрать! — вспомнила Алиса и, оттолкнувшись от струны, полетела за Шалтаем-Болтаем.

БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД ЗАГАДОК

В игру «Кто назовёт самое большое число?» сегодня играют только дети, но было время, когда этим увлекались величайшие мудрецы. В индийской легенде рассказывается, как наставник обучал юного Будду:

«И сказал Висвамитра:

— Перейдем к числам. Считай, повторяя за мной, пока не дойдём до ста тысяч: один, два, три, четыре... затем десятки, сотни и тысячи.

И назвал отрок вслед за наставником единицы, десятки, сотни, но не остановился на сотне тысяч; нет, он шептал дальше до тех чисел, которыми можно считать всё, начиная от зёрен в поле... Потом он перешёл к счёту звёзд ночных, капель в море, и далее к счёту песчинок великой реки Ганг, и к счёту песчинок в миллионах таких рек... Затем пошли ещё более громадные числа... и, наконец, число, при помощи которого боги вычисляют свое прошедшее и будущее...»