Алиса в стране математики

И вот Декарт задался дерзкой целью: создать науку, которая объединит всю математику. «К области математики, — писал Декарт, — относятся те науки, в которых рассматриваются либо порядок, либо мера, и не имеет значения — будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое... Должна существовать общая наука, объясняющая всё, что относится к порядку и мере... и эта наука должна называться всеобщей математикой».

Основная идея Декарта была гениально проста. Он взял прямую, обозначил на ней точку и написал рядом с ней число «нуль». Затем он взял отрезок определенной длины и стал откладывать этот отрезок, как «единичную меру», вдоль прямой вправо от точки, обозначенной нулём. При этом на прямой появлялись точки, соответствующие числам 1, 2, 3... — эти числа показывали, сколько раз отложен «единичный отрезок» (помните число королевских шагов?). Теперь каждому натуральному числу соответствовала точка на прямой; это был решающий шаг — он связал числа и точки, то есть арифметику и геометрию!

Если на прямой отметить на равных расстояниях друг от друга точки 0, 1, 2, 3 и так далее, то эта прямая превратится в числовую ось

Сделав этот шаг, Декарт догадался, что любую точку на прямой можно сопоставить с числом, и при этом точкам, расположенным на прямой левее нуля, соответствуют как раз отрицательные числа (помните числа левее нуля вдоль дороги для королевских прогулок?). Так, благодаря Декарту, отрицательные числа обрели равноправие с положительными числами и навсегда потеряли свою «нелепость».

Числовая ось неограниченно продолжается в обе стороны: слева на ней расположены отрицательные числа, а справа — положительные

Точку на прямой можно задать одним числом, а для точки на плоскости нужно два числа (помните башенки с двумя числами на перекрёстках двух аллей в Китайском Саду?). Благодаря этому линии на плоскости оказалось возможным связать с уравнениями — так появились графики. О более тесной связи между алгеброй и геометрией нельзя было и мечтать: решение любой геометрической задачи можно было свести теперь к решению уравнений!

Числа, которыми обозначают точки, называют сегодня во всем мире «декартовы координаты», хотя у Декарта были предшественники: греческий учёный Птолемей, составляя во II веке географические карты, пользовался долготой и широтой в качестве географических координат, а арабский поэт-математик Омар Хайям (о нём мы уже писали) пользовался координатами больше чем за пятьсот лет до Декарта! Одновременно с Декартом связь между алгеброй и геометрией открыл и его соотечественник Ферма. Но всё-таки название «декартовы координаты» вполне справедливо: именно Декарт развил идею о взаимосвязи разных областей математики и представил математику как единую науку, «объясняющую всё, что относится к порядку и мере».

Положение любой точки на плоскости можно задать с помощью двух чисел, которые называются координатами этой точки и обозначаются обычно буквами x и y. На рисунке отмечена точка с координатами x = 3 и y = 4

Положение любой точки в пространстве можно задать с помощью трех чисел — координат этой точки (они обозначаются обычно буквами x, y, z). Какие координаты имеет точка, отмеченная на этом рисунке?

НЕБЫЛИЦА О СЛУЧАЕ, КОТОРЫЙ ПОДСКАЗАЛ ДЕКАРТУ ИДЕЮ КООРДИНАТ

Однажды в незнакомый город Приехал молодой Декарт. Его ужасно мучил голод. Стоял промозглый месяц март. Решил к прохожей обратиться Декарт, пытаясь дрожь унять: — Где тут гостиница, скажите? И дама стала объяснять: — Идите до молочной лавки, Потом до булочной, за ней Цыганка продаёт булавки И яд для крыс и для мышей, А дальше будут магазины, Найдёте в них наверняка Сыры, бисквиты, фрукты, вина И разноцветные шелка... Все объясненья эти слушал Декарт, от холода дрожа. Ему хотелось очень кушать, Но звонкий голос продолжал: — За магазинами — аптека (аптекарь там — усатый швед), И церковь, где в начале века Венчался, кажется, мой дед... Когда на миг умолкла дама, Вдруг произнёс ее слуга: — Идите три квартала прямо И два направо. Вход с угла.

КАКОЙ МОМЕНТ БЫЛ ПОСЛЕДНИМ?

Перед домом стоял длинный стол. Над столом на ветке дерева висели большие часы, а за столом, сгрудившись у одного конца, сидели трое: Шляпник, Мартовский Заяц и зверёк Соня.

Шляпник что-то горячо доказывал, размахивая чашкой с чаем и проливая чай на Соню; Заяц, пригнув уши к затылку, слушал Шляпника, а Соня спал, не обращая внимания ни на спор, ни на чай.

Вдруг Алиса услышала у себя под ногами чей-то писк.

— Мыши! — промелькнуло у неё в голове, и в следующий момент она уже стояла на столе среди чашек.

Шляпник замолчал и уставился на Алису, держа чашку в руке. Заяц, подняв уши, тоже смотрел на Алису. Она не знала, как надо начинать разговор, приходя в гости таким необычным образом, осмотрелась и увидела, что возле стола стоят пешки-поварята — они протягивали торт и тоненькими голосками просили Алису:

— Возьми же!

— Так вот кто пищал! — поняла Алиса, спрыгнула со стола и взяла торт.

Поварята тут же развернулись и гуськом выскользнули за ворота.

Алиса стояла с тортом в руках и думала, с чего начать разговор. (При этом она заметила, что трава вокруг стола усыпана битой посудой).

Молчание прервал Шляпник.

— Ты отгадала загадку? — спросил он. — Что общего у ворона и конторки?

— Число! — тут же выпалила Алиса, вспомнив почему-то беседу с Чеширским Котом. — Ворон один, и конторка одна!

— Хм, — озадаченно произнёс Шляпник и перевёл взгляд на Зайца. — Это действительно отгадка?

— Сейчас проверим, — отозвался Заяц и, подняв глаза вверх, глубоко задумался. При этом он начал так смешно шевелить раздвоенной губой, что Алиса с трудом сдержала улыбку. Наконец, Заяц заговорил:

— Если один ворон сядет на одну конторку, то каждому ворону достанется по конторке, а на каждой конторке будет сидеть по ворону... Значит, воронов и конторок одинаковое число... Она права! — заключил он.

— Каждому ворону, говоришь, достанется по конторке? — задумчиво переспросил Шляпник. — Но зачем ворону конторка? Тем более каждому?

 — Это уже другие загадки, — сказала Алиса, поставила торт на стол и села в кресло: она поняла, что ждать приглашения бесполезно.

Шляпник и Заяц молча следили за ней.

— Каждому из нас по торту не достанется, — заметил Заяц.

— Каждому по торту и не надо, — сказала Алиса. — Съесть целый торт одному — это не удовольствие, а наказание!

— Смотря для кого, — сквозь сон проговорил Соня.

— Уж тебе-то целый торт наверняка не достанется, — заверил его Шляпник.

— Давайте разделим торт на всех, — предложила Алиса.

— А ты сможешь разделить один торт? — недоверчиво спросил Шляпник.