Большая книга занимательных наук
Шрифт:
Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую задачу.
Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?
Обозначим искомый срок через х. Спустя х лет отцу будет 32 + х лет, сыну 5 + х. И так как отец должен тогда быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение
32 + х= 10– (5 +х).
Решив его, получаем х = —2.
«Через минус 2 года» означает «два года назад». Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется
Цифры 1, 5 и 6
Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому,
между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой. Например, 462 = 2116; 463 = 97 3 36.
Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.
Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:
10а + 6, 10 b + 6 и т. д.,
где а и b — целые числа.
Произведение двух таких чисел равно
100 ab + 60 b + 60а + 36 = 10 · (10 ab + 6Ь + 6 а) + 30 + 6 = 10 · (10 ab + 6Ь + 6а + 3) + 6.
Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.
Тот же прием доказательства можно приложить к
1 и к 5.
Сказанное дает нам право утверждать, что, например,
Числа 25 и 76
Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью, – число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.
Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:
100а + 76, 1006 + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
10 000 ab + 76006 + 7600а + 5776 = 10 000аб + 76006 + 7600а + 5700 + 76 = 100 · (100аб + 766 + 76а + 57) + 76.
Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.
Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:
3762= 14 1 376, 5763= 191 102 9 76 и т. п.
Бесконечные «числа»
Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико.
Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством.
Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через к. Тогда искомое трехзначное число изобразится:
100 k + 76.
Общее
выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:1000а + 100А: + 76, 10006 + 100А: + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
1 000 000 ab + 100 000 ak + 100 000 bk + 76 000 a + 76 000 b + 10 000 k 2 + 15 200 k + 5776.
Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100£ + 76, если разность
15 200 k + 5776 – (100 k + 76) = 15 100 k + 5700 = 15 000 k + 5000 + 100 · ( k + 7)
делится на 1000. Это, очевидно, будет только при к= 3.
Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:
3762= 14 1 376.
Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l , то придем к задаче: при каком l произведение
(10 000а + 1000 l + 376) · (10 000b + 1000 l + 376)
оканчивается на 1000 l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на четыре нуля и более, то останутся члены
752 000 l + 141 376.
Произведение оканчивается на 1000 l + 376, если разность
752 000 l + 141 376 – (1000 l + 376) = 751 000 l + 141 000 = (750 000 l + 140 000) + 1000 · ( l + 1)
делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при l = 9.
Искомая четырехзначная группа цифр 9376. Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09 376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109 376, затем 7 109 376 и т. д.
Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим «число», у которого бесконечно много цифр:
…7 109 376.
Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение («столбиком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой – сколько угодно цифр.
Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению
х2 = х
В самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного «числа» оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры «числа» х2, где х =…7 109 376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х2 = х.