Большая Советская Энциклопедия (ИН)

в каждом отрезке [x_i—1 , x_i ] (i = 1, 2,... , n ) берут произвольную точку x_i (x_i—1 lb x_i lb x_i ) и образуют сумму

Сумма S_n зависит от выбора точек x_i и x_i . Однако в случае непрерывной функции f (x ) суммы S_n , получающиеся при различном выборе точек x_i и x_i , стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей x_i — x_i—1 стремится к нулю при n ® yen. Этот предел и является определённым интегралом

По определению,

Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F (x ). Обратно, первообразная F (x ) может быть записана в виде

где а — произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде

О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление .

Обобщение понятия интеграла

Интеграл Римана . О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

предел сумм S_n при max (x_i —x_i—1 ) ® 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория ). Для интегрируемости в смысле Римана функции f (x ) на [a, b ] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f (x ) ограничена на [а, b ], множество помещающихся на [a , b ] точек разрыва функции f (x ) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а , b ] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F (x ) не обязана иметь подинтегральную функцию f (x ) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f (x ), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

где M_k — верхняя грань функции f (x ) на отрезке [x_k—1 ,x_k ], а m_k — нижняя грань f (x ) на том же отрезке. Если

 нижняя грань сумм

, а

  — верхняя грань сумм

, то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие

 Общее значение

 величин

 и

 и является интегралом Римана (6). Сами величины

 и

 называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

... < y_{– 2} < y_{– 1} < y _{< y– 1 < ... < yi <...}

область возможных значений переменного у = f (x ) и обозначает M_i множество тех точек х из отрезка [a, b ], для которых

y_i—1 lb f (x ) < y_i .

Сумма S определяется равенством

S = S_i h_i m(M_i ),

где h_i берётся из отрезка y_i—1 lb h_i < y_i , а m(M_i ) обозначает меру множества M_i . Функция f (x ) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a , b ], если ряды, определяющие суммы S , абсолютно сходятся при max(y_i — y_i—1 ) ® 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F (x ), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f (x ) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов .

Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера — Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд