Большая Советская Энциклопедия (ИН)
Шрифт:
для которого
представляет функцию f (x ), порождающую коэффициенты an и bn по формулам
где И. понимаются в смысле Лебега.
Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f (x ) —
f (x1 ) [U (x1 ) — U (x )] + f (x2 ) [U (x2 ) — U (x1 )] +...+ f (xn ) [U (xn ) — U (xn—1 )], (8)
где x1 , x2 , ..., xn — произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x , x1 ], [x1 , x2 ], ..., [xn—1 , xn ]. Пусть d — наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой d стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки x1 , x2 , ..., xn на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f (x ) относительно функции U (x ) и обозначают символом
Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U (x ), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U1 (x ) и U2 (x ):
U (x ) = U1 (x ) — U2 (x ),
т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции ).
Если интегрирующая функция U (х ) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U' (x ), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле
В частности, когда U (x ) = х + С , интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).
Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х — пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами
замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть m — конечная мера, заданная на В. Для В– измеримой функции у = f (x ), х ^IХ , принимающей конечное или счётное число значений y1 , y2 , ..., yn , ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A1 , ..., Аn , ..., сумма которых есть X , интеграл функции f (x ) по мере m, обозначаемыйопределяется как сумма ряда
в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.
Пусть А — измеримое множество и jА (х ) = 1 для х , принадлежащих А , и jА (х ) = 0 для х, не принадлежащих А . Тогда интеграл от f (x ) по множеству А определяют, полагая
При фиксированных m и А И. в зависимости от f может рассматриваться как линейный функционал ; при фиксированном f И., как функция множества А , есть счётно аддитивная функция.
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.
Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f (x ), неограниченной в точке х = с , определил интеграл
когда a < c < b , как предел выражения
при e1 ® 0 и e2 ® 0. Аналогично И. с бесконечными пределами
определяется как предел И.
при а ® — yen и b ® + yen. Если при этом не требуется интегрируемости |f (x )|, т. е. f (x ) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.
Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).
Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.—Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега — Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. — Hdlb. — N. Y., 1969.