Большая Советская Энциклопедия (СС)
Шрифт:
В области теории чисел И. М. Виноградов создал мощный метод тригонометрических сумм, позволивший получить наилучшие результаты в вопросе о распределении дробных долей функций, в аддитивных задачах, в распределении простых чисел в натуральном ряде; последний вопрос тесно связан с проблемой распределения нулей дзета-функции Римана — одной из труднейших в теории функций комплексного переменного. И. М. Виноградов получил асимптотические формулы, из которых в качестве весьма частного случая вытекает решение т. н. проблемы Гольдбаха о возможности представления любого нечётного числа в виде суммы трёх простых чисел. Метод тригонометрических сумм играет большую роль и в других разделах математики. Существ. вклад в развитие этого метода и его приложений внёс Ю. В. Линник. Значит. результаты в
Важнейшие исследования в области алгебры велись в тесной связи с работами по математической логике. Так, методами математической логики П. С. Новиков опроверг высказанную в начале 20 в. гипотезу о том, что всякая периодическая группа с конечным числом образующих конечна (аналогичные предположения высказывались и в отношении других алгебраических систем). А. И. Мальцев, также методами математической логики, доказал, в частности, неразрешимость элементарной теории конечных групп; А. И. Мальцев и А. А. Марков разрабатывали теорию алгоритмов; В. М. Глушков — абстрактную теорию автоматов, получившую важные применения. Авторами работ в области алгебры являются также Д. А. Граве, О. Ю. Шмидт, Б. Н. Делоне, А. П. Ершов, М. И. Каргаполов, А. И. Кострикин, Д. К. Фаддеев, Н. Г. Чеботарев, А. И. Ширшов и др., а в области математической логики — Ю. Л. Ершов, О. Б. Лупанов, А. А. Ляпунов, С. В. Яблонский и др.
Возникла теория управляющих систем. Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко и др. создали общую математическую теорию оптимальных процессов, в центре которой находится предложенный Л. С. Понтрягиным «принцип максимума». Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений разрабатывалась в связи с теорией нелинейных колебаний. При этом весьма важное значение имело введение в рассмотрение А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным т. н. грубых систем уравнений, т. е. таких систем, общее поведение траекторий которых не меняется при малых изменениях правых частей уравнений. Теорией обыкновенных дифференциальных уравнений занимались также Н. М. Крылов, И. А. Лаппо-Данилевский, В. В. Степанов и др.
Развивая асимптотические методы теории колебаний, Н. Н. Боголюбов нашёл асимптотические ряды, дающие хорошие приближения на больших отрезках времени. Им была доказана при весьма общих предположениях сходимость асимптотических разложений; исследование поведения асимптотических разложений на бесконечном промежутке времени проведено методом инвариантных многообразий. Эти работы нашли многочисленные как теоретические, так и практического применения.
Вопрос об устойчивости конкретной системы, как показал А. М. Ляпунов, может быть сведён к построению некоторой функции и определению знака её производной. Н. Н. Красовский определил критерий существования функций Ляпунова для автономных (не зависящих от времени) систем широкого класса.
Н. Н. Лузин провёл важные исследования в области теории функций действительного переменного. В частности, он доказал существование непрерывной примитивной для каждой измеримой и конечной почти всюду функции; это дало возможность решения задачи Дирихле в классе измеримых функций. Основанная Н. Н. Лузиным и Д. Ф. Егоровым московская математическая школа явилась источником ряда новых направлений в советской математике.
А. Н. Колмогоровым, Д. Е. Меньшовым, В. Я. Козловым и другими учёными глубоко разработана теория тригонометрических рядов. В связи с развитием функциональных и вариационных методов решения краевых задач математической физики изучен ряд новых проблем в теории дифференцируемых функций многих переменных. С. Л. Соболевым и С. М. Никольским установлены теоремы вложения для различных классов функций. Вопросам теории приближения функций в действительной области посвящены работы С. М. Никольского и других учёных.
Много работ советских учёных посвящено теории функций комплексного переменного и её приложениям. Важнейшие применения теории аналитических функций в области аэромеханики были даны Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Большой вклад в аэромеханику внёс М. В. Келдыш. Результаты Н. И. Мусхелишвили и И. Н.
Векуа по граничным задачам теории аналитических функций, которыми занимались также В. В. Голубев и И. И. Привалов, нашли применение в теории упругости, теории оболочек, в механике сплошной среды. В связи с рядом прикладных задач разрабатывались обобщения теории аналитических функций. М. А. Лаврентьев создал теорию квазиконформных отображений, которую он применил к изучению струйного течения жидкости. И. Н. Векуа построил теорию обобщённых аналитических функций.М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев провели фундаментальные исследования в теории равномерного приближения функций комплексного переменного многочленами. Эти работы были продолжены А. Г. Витушкиным, А. А. Гончаром, С. Н. Мергеляном и другими учёными; был изучен вопрос о приближении функций комплексного переменного рациональными функциями, работы по интерполяции функций в комплексной области выполнил А. Ф. Леонтьев.
Разработка теории функций действительного переменного привела советских математиков к необходимости развития теории множеств и содействовала возникновению теоретико-множественной топологии. Основополагающими явились работы П. С. Александрова. Им, в частности, введено фундаментальное понятие нерва системы множеств. П. С. Александровым создана топологическая теория незамкнутых множеств, играющая большую роль в топологии.
Л. С. Понтрягин является основателем школы алгебраической топологии. Современная топология представляет собой цикл областей математики, изучающих т. н. глобальные проблемы геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений; она охватывает также часть алгебры. Начиная с исследований Л. С. Понтрягина по теории двойственности, топология развивалась под влиянием его идей и методов. Вопросами топологии занимались также А. Н. Тихонов, С. П. Новиков и др.
В области геометрии А. Д. Александровым построена общая теория выпуклых многогранников. Им, А. В. Погореловым и другими геометрами исследованы дифференциально-геометрические образования «в целом».
Многочисленные исследования проведены по теории дифференциальных уравнений с частными производными. В. И. Смирновым и С. Л. Соболевым был дан метод решения уравнений гиперболического типа. А. Н. Колмогоровым были изучены уравнения параболического типа. И. Г. Петровский выделил и изучил широкие классы эллиптических, гиперболических и параболических систем, которые в основном сохраняют свойства соответствующих уравнений 2-го порядка. Им же дано решение задачи Коши для гиперболических систем и в наиболее общем виде исследован вопрос об аналитичности решений эллиптических систем (в частных случаях этот вопрос рассматривался ранее).
И. Н. Векуа исследовал общие краевые задачи для эллиптических уравнений высшего порядка с двумя независимыми переменными созданным им методом интегральных представлений решений; эти работы были продолжены многими математиками. Уравнения смешанного типа изучались М. А. Лаврентьевым и А. В. Бицадзе. Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, И. Г. Петровским были разработаны прямые методы решения вариационных задач, качественные методы исследования вариационных задач развиты в работах Л. А. Люстерника, Л. Г. Шнирельмана и др.
Работы С. Л. Соболева в области математической физики вызвали необходимость изучения новых классов уравнений. Им введены новые функционально-аналитические методы исследования задач математической физики, ряд работ по математической физике выполнили Н. М. Гюнтер, Н. С. Кошляков и др.
М. В. Келдышем заложены основы теории несамосопряжённых операторов, которая применялась в исследованиях многочисленных учёных. Н. И. Мусхелишвили и его учениками получены важные результаты в области теории сингулярных интегральных операторов. Значит. работы проведены по спектральной теории операторов. Получено много результатов в изучении краевых задач смешанного типа и в теории квазилинейных систем. Ряд вопросов функционального анализа (теория нормированных колец, представления групп, обобщённые функции) изучался И. М. Гельфандом. Л. В. Канторовичем построена теория полуупорядоченных пространств. Л. И. Седовым предложены обобщённые вариационные принципы механики, дающие возможность описания необратимых процессов.