Большая Советская Энциклопедия (СТ)

В этой формуле e = p² /2M — энергия частицы с импульсом р , m — химический потенциал, определяемый из условия постоянства числа частиц (N ) в системе:

.

Формула (19) переходит в формулу распределения Больцмана (12) при

; левая сторона этого неравенства делается порядка правой при таких температурах, при которых длина волны де Бройля частиц, движущихся с тепловой скоростью, становится порядка среднего расстояния между ними. Т. о., вырождение сказывается при температурах тем более низких, чем меньше плотность числа частиц в газе (и чем больше масса частицы М ).

В случае фермионов, как и должно быть, n_p lb 1. Это приводит к тому, что частицы газа фермионов (ферми-газа) и при Т = 0 обладают отличными от нуля импульсами, поскольку в состоянии с нулевым импульсом может находиться только одна частица. Точнее, при Т = 0 для ферми-газа n_p = 1 внутри Ферми поверхности — сферы в импульсном пространстве с радиусом

, а вне этой «ферми-сферы» n_p = 0. При конечных, но низких температурах n_p меняется от 1 внутри сферы до нуля вне сферы постепенно, причём ширина переходной области порядка MkT/p_F . Величина n_p для ферми-газа как функция от энергии e изображена схематически на рис. 2 (e _{= pF² /2M} ). При изменении температуры газа меняется состояние частиц только в этом переходном слое, и теплоёмкость ферми-газа при низких температурах пропорциональна Т и равна:

. (20)

В бозе-газе при Т = 0 все частицы находятся в состоянии с нулевым импульсом. При достаточно низких температурах в состоянии с р = 0 находится конечная доля всех частиц; эти частицы образуют т. н. бозе-эйнштейновский конденсат. Остальные частицы находятся в состояниях с р ¹ 0, причём их число определяется формулой (19) с m = 0. При температуре

 в бозе-газе происходит фазовый переход (см. ниже). Доля частиц с нулевым импульсом обращается в нуль Бозе — Эйнштейна конденсация исчезает. Кривая зависимости теплоёмкости от температуры имеет в точке T_c излом. Распределение частиц по импульсам при Т > Т_с даётся формулой (19) причём m < 0. Схематически функции распределения Максвелла, Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна (при Т > Т_с ) изображены на рис 3.

Особым случаем применения статистики Бозе — Эйнштейна является равновесное электромагнитное излучение, которое можно рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Энергия фотона связана с его импульсом соотношением

, где с — скорость света в вакууме. Число фотонов не является заданной величиной, а само определяется из условия термодинамического равновесия, поэтому их распределение по импульсам даётся формулой (19) с m = 0 (причём e= рс ). Распределение энергии в спектре излучения получается умножением числа фотонов на энергию e, так что плотность энергии в интервале частот d w равна

, причем n_p берётся при

. Т. о. получается формула Планка для спектра равновесного (чёрного) излучения (см. Планка закон излучения ).

Кристаллическая решётка. Применение С. ф. к вычислению термодинамических функций кристаллической решётки основано на том, что атомы в решётке совершают малые колебания около своих положений равновесия. Это позволяет рассматривать решётку как совокупность связанных гармонических осцилляторов . В такой системе могут распространяться волны, характеризующиеся своим законом дисперсии, т. е. зависимостью частоты w от волнового вектора k . В квантовой механике эти волны можно рассматривать как совокупность т. н. элементарных возбуждений, или квазичастиц — фононов , обладающих энергией

 и квазиимпульсом ћk . Основное отличие квазиимпульса от импульса состоит в том, что энергия фонона является периодической функцией квазиимпульса с периодом, по порядку величины равным

, где а — постоянная решётки. Функция распределения фононов по квазиимпульсам даётся формулой распределения Бозе—Эйнштейна (19) с m = 0. При этом

. Т. о., знание зависимости w(k ) позволяет вычислить теплоёмкость решётки. Эту зависимость можно определить из опытов по неупругому рассеянию нейтронов в кристалле (см. Нейтронография ) или вычислить теоретически, задавая значения «силовых констант», определяющих взаимодействие атомов в решётке. При низких температурах существенны только фононы с малой частотой, соответствующие квантам обычных звуковых волн, для которых связь w с k линейна. Это приводит к тому, что теплоёмкость кристаллической решётки пропорциональна T³ . При высоких температурах можно пользоваться законом равного распределения энергии по степеням свободы, так что теплоёмкость не зависит от температуры и равна 3Nk , где N — число атомов в кристалле.

Металлы . В металлах вклад в термодинамические функции дают также электроны проводимости. Состояние электрона в металле характеризуется квазиимпульсом, и, т.к. электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака, их распределение по квазиимпульсам даётся формулой (19). Поэтому теплоёмкость электронного газа, а следовательно, и всего металла при достаточно низких температурах пропорциональна Т . Отличие от ферми-газа свободных частиц состоит в том, что поверхность Ферми, около которой сосредоточены «активные» электроны, уже не является сферой, а представляет собой некоторую сложную поверхность в пространстве квазиимпульсов. Форму поверхности Ферми, равно как и зависимость энергии от квазиимпульса вблизи этой поверхности, можно определять экспериментально, главным образом исследуя магнитные свойства металлов, а также рассчитывать теоретически, используя т. н. модель квазипотенциала. В сверхпроводниках (см. Сверхпроводимость ) возбужденные состояния электрона отделены от ферми-поверхности щелью конечной ширины, что приводит к экспоненциальной зависимости электронной теплоёмкости от температуры. В ферромагнитных и антиферромагнитных веществах вклад в термодинамические функции дают также колебания магнитных моментов — спиновые волны .

В диэлектриках и полупроводниках при Т = 0 свободные электроны отсутствуют. При конечных температурах в них появляются заряженные квазичастицы — электроны с отрицательным зарядом и (в равном числе) «дырки» с положительным зарядом, Электрон и дырка могут образовать связанное состояние — квазичастицу, называемую экситоном . Др. тип экситона представляет собой возбуждённое состояние атома диэлектрика, перемещающееся в кристаллической решётке.

Методы квантовой теории поля в С. ф. При решении задач квантовой С. ф., прежде всего при исследовании свойств квантовых жидкостей , электронов в металлах и магнетиков, важное значение имеют методы квантовой теории поля, введённые в С. ф. сравнительно недавно. Основную роль в этих методах играет функция Грина G макроскопической системы, аналогичная функции Грина в квантовой теории поля. Она зависит от энергии e и импульса р , закон дисперсии квазичастиц e(р ) определяется из уравнения:

, (21)

т. е. энергия квазичастицы определяется полюсом функции Грина. Существует регулярный метод вычисления функций Грина в виде ряда по степеням энергии взаимодействия между частицами. Каждый член этого ряда содержит многократные интегралы по энергиям и импульсам от функций Грина невзаимодействующих частиц и может быть изображен графически в виде диаграмм, аналогичных Фейнмана диаграммам в квантовой электродинамике. Каждая из этих диаграмм имеет определённый физический смысл, что позволяет отделить в бесконечном ряду члены, ответственные за интересующее явление, и просуммировать их. Существует также диаграммная техника для вычисления температурных функций Грина, позволяющих вычислять термодинамические величины непосредственно, без введения квазичастиц. Упомянутые в разделе о жидкости методы, использующие многочастичные функции распределения квазичастиц, во многих отношениях близки к методам квантовой теории поля. Использование этих функций всегда основано на приближённом «расцеплении» — выражении функции более высокого порядка через функции более низкого.

Фазовые переходы. При непрерывном изменении внешних параметров (например, давления или температуры) свойства системы могут при некоторых значениях параметров измениться скачкообразно, т. е. происходит фазовый переход. Фазовые переходы делятся на переходы первого рода, сопровождающиеся выделением скрытой теплоты перехода и скачкообразным изменением объёма (к ним относится, например, плавление ), и переходы второго рода, в которых скрытая теплота и скачок объёма отсутствуют (например, переход в сверхпроводящее состояние). Статистическая теория фазовых переходов составляет важную, но ещё далёкую от завершения область С. ф. Наибольшую трудность для теоретического исследования представляют при этом свойства вещества вблизи линии фазового перехода второго рода и вблизи критической точки фазового перехода первого рода. С математической точки зрения термодинамические функции системы имеют здесь особенности. Вблизи этих точек происходят своеобразные критические явления . В то же время здесь аномально возрастают флуктуации, и рассмотренные выше приближённые методы С. ф. оказываются неприменимыми. Поэтому важную роль играет небольшое число точно решаемых моделей, в которых есть переходы (например, т. н. модель Изинга).

Флуктуации. В основе С. ф. лежит тот факт, что физические величины, характеризующие макроскопические тела, с большой точностью равны своим средним значениям. Это равенство является всё же приближённым, в действительности все величины испытывают малые беспорядочные отклонения от средних значений — флуктуации. Существование флуктуаций имеет большое принципиальное значение, т.к. прямо доказывает статистический характер термодинамических закономерностей. Кроме того, флуктуации играют роль шума, мешающего физическим измерениям и ограничивающего их точность. Флуктуации некоторой величины х около её среднего значения

 характеризуются средним квадратом флуктуации

.

В подавляющем большинстве случаев величина х испытывает флуктуации порядка

, существенно большие флуктуации встречаются крайне редко. Знание функции распределения системы позволяет вычислить средний квадрат флуктуации точно так же, как и среднее значение любой физической величины. Малые флуктуации термодинамических величин можно вычислить, используя статистическое истолкование энтропии. Согласно (10), вероятность неравновесного состояния системы с энтропией S пропорциональна e^S/k . Это приводит к формуле