Большая Советская Энциклопедия (СТ)

 

(тем не менее использование m имеет также положительные стороны: например, если истинное распределение не является в точности нормальным, а несколько отличается от него, дисперсия Х может резко возрасти, а дисперсия m остаётся почти той же, т. е. m обладает свойством, называется «прочностью»). Одним из распространённых общих методов получения С. о. является метод моментов, который заключается в приравнивании определённого числа выборочных моментов к соответствующим моментам теоретического распределения, которые суть функции от неизвестных параметров, и решении полученных уравнений относительно этих параметров. Хотя метод моментов удобен в практическом отношении, однако С. о., найденные при его использовании, вообще говоря, не являются асимптотически наилучшими, Более важным с теоретической точки зрения представляется максимального правдоподобия метод , который приводит к оценкам, при некоторых общих условиях асимптотически наилучшим. Частным случаем последнего является наименьших квадратов метод . Метод С. о. существенно дополняется оцениванием с помощью доверительных границ .

Лит.: Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

А. В. Прохоров.

Статистические расчёты

Статисти'ческие расчёты, исчисление на основе имеющихся статистических данных новых показателей, расширяющих и обогащающих возможности анализа и познания социально-экономических явлений и процессов. С. р. можно подразделить на 2 группы: расчёты отдельных показателей и комплексные расчёты систем показателей. К первой группе относятся: расчёты относительных показателей (например, показателей выполнения плана, структуры совокупности, соотношения отдельных её частей, динамики, сравнения и интенсивности развития); расчёты средних величин (например, средней заработной платы, средней выработки на одного работающего, средней урожайности и т.п.); исчисление отдельных статистических характеристик (например, средней ошибки выборки, дисперсии , вариационных коэффициентов ), расчёты статистических индексов ; расчёты недостающих показателей на основе балансовых уравнений, интерполяции в рядах динамики ; расчёты сводных показателей в социально-экономической статистике (например, совокупного общественного продукта , национального дохода и др.). Вторую группу составляют комплексные С. р., воссоздающие какой-либо процесс или состояние социально-экономического явления. В них применяются методы статистических группировок , построение индексных систем, теория корреляции и др. статистические приёмы анализа. Непревзойдённые примеры глубоко научных С. р. содержатся в трудах В. И. Ленина. В работе «Развитие капитализма в России» на основе массового статистического материала, собранного земской статистикой и научно обработанного Лениным с помощью метода группировок, доказано развитие капитализма в России: в пореформенной русской деревне происходил процесс классовой дифференциации, выделялись 3 различных социально-экономических типа крестьянских хозяйств: пролетарское и полупролетарское, живущие главным образом или наполовину продажей рабочей силы; середняцкие, источник существования которых — собственное мелкое хозяйство, и зажиточные, эксплуатирующие наёмных рабочих. По расчётам В. И. Ленина, удельный вес этих типов крестьянских хозяйств в конце 19 в. в России составлял соответственно 50, 30 и 20%. В этой же работе дан классический пример С. р. социальной структуры населения России по материалам переписи населения в 1897 с использованием данных переписи населения 1890 в Петербурге и материалов земской статистики. В. И. Ленин установил, что численность пролетариата в России в 1897 составляла «... не менее 22-х миллионов» (Полн. собр. соч., 5 изд., т. 3, с. 505, прим.). В социалистическом хозяйстве С. р. находят применение в балансовых работах (см. Балансовый метод в планировании , Балансовый метод в статистике ), прежде всего в расчётах, связанных с построением баланса народного хозяйства СССР , баланса основных фондов , финансового баланса, баланса трудовых ресурсов , баланса межотраслевого производства и распределения общественного продукта; при сопоставлении показателей между странами в международных сравнениях; при исчислении различных сводных показателей и коэффициентов и т.д. Большую группу составляют С. р. по прогнозированию численности населения и др. показателей социально-экономической статистики на длительный период времени. Следует назвать также расчёты по распространению на генеральную совокупность результатов выборочного наблюдения и оценки их достоверности, Примером С. р. может служить математическая обработка данных межотраслевого баланса народного хозяйства. Для производства комплексных С. р. применяются экономико-математические методы и электронно-вычислительные машины.

Лит.: Эйдельман М Р Межотраслевой баланс общественного продукта, М.,1966: Курс экономической статистики, под ред. А. И. Петрова, 4 изд., М., 1967; Курс демографии, под ред. А. Я. Боярского, М., 1967; Ряузов Н. Н., Общая теория статистики, 2. изд., м., 1971.

Н. Н. Ряузов.

Статистические решения

Статисти'ческие реше'ния, общее название решений, принимаемых на основе результатов наблюдений какого-либо явления, подчиняющегося вероятностным закономерностям (см. Вероятность ), которые известны лишь частично. Например при обеззараживании воды хлорированием количество добавляемого хлора должно зависеть от среднего числа q бактерий в единице объёма. Однако само q неизвестно и оценивается по результатам X₁ , X₂ ,..., X_n подсчёта численности бактерий в n независимо выбранных единицах объёма воды, при допущении (в простейшей модели) что X_i , при i =1,... n имеют Пуассона распределение с неизвестным средним значением (математическим ожиданием ) q. Поэтому С. р. решение о количестве добавляемого хлора — будет функцией от какой-либо статистической оценки q* параметра q. Последняя должна выбираться с учётом нежелательных последствий как недооценки q (недостаточное обеззараживание воды), так и завышенной оценки q (ухудшение вкуса воды от чрезмерного добавления хлора). Точную математическую формулировку понятий, касающихся С. р. и способов их сравнения, рассматривает статистических решений теория .

Ю. В. Прохоров.

Статистические сборники

Статисти'ческие сбо'рники, справочные издания, содержащие цифровую информацию о развитии народного хозяйства, его отраслей и подразделений. Различаются по назначению (ежегодники, справочники, юбилейные издания, бюллетени и т.п.), объёму (полные и краткие), охвату данных (общеэкономические и отраслевые, по всей стране или по республикам, районам), ведомственной принадлежности, форме (книги и журналы) и периодичности издания (десятилетние, годовые, квартальные, месячные, разовые и др.). Независимо от назначения С. с. охватывают характеристику (состояние и развитие) территории и населения, науки и научно-технического прогресса, промышленности и её отраслей, сельского хозяйства, строительства, транспорта и связи, торговли, финансов и кредита, внешних связей, образования и культуры, здравоохранения, труда и быта, материального благосостояния и развития народного хозяйства в целом. Разработка схем и методологии С. с. — неотъемлемая часть статистики как науки, а их составление и публикация — важный раздел в деятельности (в странах социализма — плановой) статистических организаций (в СССР — ЦСУ СССР и его органов в республиках и на местах). В России систематические издания С. с. осуществлялись с 19 в. («Статистический Временник Российской империи», 1866—94, и «Ежегодник России», 1905—18). В 1924 в СССР вышел первый С. с. по народному хозяйству. В 1925 он был дополнен новым материалом и издан под названием «Народное хозяйство Союза ССР в цифрах». Это был первый опыт отражения в статистических публикациях системы показателей развития народного хозяйства СССР. С 1956 ежегодно (кроме 1958) выпускается С. с. «Народное хозяйство СССР», а с 1957 — С. с. о развитии народного хозяйства отдельно по каждой союзной республике, по краям и областям. Ежегодники являются основной разновидностью С. с. и в др. странах (издаются в 126 странах, в том числе во всех странах СЭВ). Важнейшими С. с. ООН и её специализированных учреждений с 1946 являются: «Статистический ежегодник» («Statistical yearbook»), «Демографический ежегодник» («Demografic yearbook»), «Ежегодник по статистике международной торговли» («Yearbook of international trade statistics»), «Ежегодник ООН» («Yearbook of the United Nations») и др. Продовольственная и с.-х. организация ООН (ФАО) издаёт «Ежегодник по статистике продовольствия и сельского хозяйства» («Yearbook of food and agricultural statistics»), а также ежегодники по статистике рыболовства и лесного хозяйства; Организация Объединённых Наций по вопросам образования, науки и культуры (ЮНЕСКО) издаёт «Международный ежегодник по образованию» («International yearbook of education») и общий статистический ежегодник («Statistical yearbook»). Свои ежегодники издают и многие др. международные организации.

В. М. Симчера.

Статистический анализ многомерный

Статисти'ческий ана'лиз многоме'рный, в широком смысле — раздел математической статистики , объединяющий методы изучения статистических данных, относящихся к объектам, которые характеризуются несколькими качественными или количественными признаками. Наиболее разработана часть С. а. м., основанная на допущении, что результаты отдельных наблюдений независимы и подчинены одному и тому же многомерному нормальному распределению (обычно именно к этой части применяют термин С. а. м. в узком смысле). Иными словами, результат X_j наблюдения с номером j можно представить вектором

X_j = (X_j1 , X_j2 ,..., X_js ),

где случайные величины X_jk имеют математическое ожидание m_k , дисперсию s²_k , а коэффициент корреляции между X_jk и X_jl равен r_kl . Вектор математических ожиданий m = (m₁ ,..., m_s ) и ковариационная матрица S с элементами s_k s_l r_kl , k, l = 1,..., s , являются основными параметрами, полностью определяющими распределение векторов X₁ ,..., X_n — результатов п независимых наблюдений. Выбор многомерного нормального распределения в качестве основной математической модели С. а. м. отчасти может быть оправдан следующими соображениями: с одной стороны, эта модель приемлема для большого числа приложений, с другой — только в рамках этой модели удаётся вычислить точные распределения выборочных характеристик. Выборочное среднее

 и выборочная ковариационная матрица

[где

 обозначает транспонированный вектор

, см. Матрица ] суть оценки максимального правдоподобия соответствующих параметров совокупности. Распределение

 нормально

, а совместное распределение элементов ковариационной матрицы S , т. н. распределение Уишарта, является естественным обобщением «хи-квадрат» распределения и играет значительную роль в С. а. м.

Ряд задач С. а. м. более или менее аналогичен соответствующим одномерным задачам (например, задача проверки гипотез о равенстве средних значений в двух независимых выборках). Другого типа задачи связаны с проверкой гипотез о независимости тех или иных групп компонент векторов X_j, проверкой таких специальных гипотез, как гипотеза сферической симметрии распределения X_j и т.д. Необходимость разобраться в сложных взаимосвязях между компонентами случайных векторов X_j ставит новые проблемы. В целях сокращения числа рассматриваемых случайных признаков (уменьшения размерности) или сведения их к независимым случайным величинам применяются метод главных компонент и метод канонических корреляций. В теории главных компонент осуществляется переход от векторов Xj к векторам Y_j = (Y_j1 ,..., Y_jr ). При этом, например, Y_j1 выделяется максимальной дисперсией среди всех нормированных линейных комбинаций компонент X₁ ; Y_j2 имеет наибольшую дисперсию среди всех линейных функций компонент X₁ , не коррелированных с Y_j1 и т.д. В теории канонических корреляций каждое из двух множеств случайных величин (компонент X_j ) линейно преобразуется в новое множество т. н. канонических величин так, что внутри каждого множества коэффициенты корреляции между величинами равны 0, первые координаты каждого множества имеют максимальную корреляцию, вторые координаты имеют наибольшую корреляцию из оставшихся координат и т.д. (упорядоченные т. о. корреляции называются каноническими). Последний метод указывает максимальную корреляцию линейных функций от двух групп случайных компонент вектора наблюдения. Выводы методов главных компонент и канонических корреляций помогают понять структуру изучаемой многомерной совокупности. Сходным целям служит и факторный анализ , в схеме которого предполагается, что компоненты случайных векторов X_j явлются линейными функциями от некоторых ненаблюдаемых факторов, подлежащих изучению. В рамках С. а. м. рассматривается и проблема дифференциации двух или большего числа совокупностей по результатам наблюдений. Одна часть проблемы заключается в том, чтобы на основе анализа выборок из нескольких совокупностей отнести новый элемент к одной из них (дискриминация), другая — в том, чтобы внутри совокупности разделить элементы на группы, в определённом смысле максимально отличающиеся друг от друга.

Лит.: Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963; Kendall М. G., Stuart А., The advanced theory of statistics, v. 3, L., 1966; Dempster A. P., Elements of continuons multivariate analysis, L., 1969.

А. В. Прохоров.

Статистический анализ случайных процессов

Статисти'ческий ана'лиз случа'йных проце'ссов, раздел математической статистики, посвященный методам обработки и использования статистических данных, касающихся случайных процессов (т. е. функций X (t ) времени t , определяемых с помощью некоторого испытания и при разных испытаниях могущих в зависимости от случая принимать различные значения). Значение x (t ) случайного процесса X (t ), получаемое в ходе одного испытания, называется реализацией (иначе — наблюдённым значением, выборочным значением или траекторией) процесса X (t ); статистические данные о X (t ), используемые при статистическом анализе этого процесса, обычно представляютсобой сведения о значениях одной или нескольких реализаций x (t ) в течение определенного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных с процессом X (t ) (например, о наблюденных значениях процесса Y (t ), являющегося суммой X (t ) и некоторого «шума» N (t ), созданного внешними помехами и ошибками измерения значений x (t )). Весьма важный с точки зрения приложений класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математической точки зрения эти задачи сводятся к статистической проверке гипотез : здесь по наблюденным значениям некоторой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума N (t ) и интересующего наблюдателя сигнала X (t ), или же справедлива гипотеза о том, что она является реализацией одного лишь шума N (t ). В случаях, когда форма сигнала X (t ) не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя и задачи статистической оценки неизвестных параметров сигнала; так, например, в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал. Задачи статистической оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса X (t ) в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров распределения вероятностей случайных величин X (t ) или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени t = t₁ самого процесса Х (t ) (в предположении, что t₁ лежит за пределами интервала наблюдений за этим процессом) или значение y (t₁ ) какого-либо вспомогательного процесса Y (t ), статистически связанного с Х (t ) (см. Случайных процессов прогнозирование ). Наконец, ряд задач С. а. с. п. Относится к числу задач на непараметрические методы статистики; так обстоит дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса X (t ) требуется оценить некоторые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса (например, плотность вероятности величины Х (t ), или корреляционную функцию Ex (t ) X (s ) процесса Х (t ), или, в случае стационарного случайного процессаX (t ), его спектральную плотность f (l )

При решение задач С. а. с. п. всегда требуется принять те или иные специальные предположения о статистической структуре процесса X (t ), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый процесс X (t ) является стационарным случайным процессом; при этом допущении, зная значения единственной реализации x (t ) в течение промежутка времени 0 lbt lb T , можно уже получить целый ряд статистических выводов о вероятностных характеристиках процесса X (t ). В частности, среднеарифметическое значение

в случае стационарного случайного процесса X (t ) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой математического ожидания Ex (t ) = m (т. е.

 сходится при Т ®yen к истинному значению оцениваемой величины m ); аналогично этому выборочная корреляционная функция