Брайан Грин. Ткань космоса: Пространство, время и структура реальности
Шрифт:
Итак, как много энтропии содержит черная дыра заданного размера? В этом месте вещи становятся интересными. Рассуждая интуитивно, начнем с чего-то, что более легко визуализировать, вроде воздуха в пластиковом контейнере. Если вы объедините два таких контейнера, удвоится общий объем и число молекул воздуха, так что вы можете предположить, что вы удвоили энтропию. Детальные расчеты подтверждают [1] это заключение и показывают, что при прочих равных (при неизменной температуре, плотности и так далее) энтропия привычной физической системы пропорциональна ее объему. Естественное следующее предположение заключается в том, что такое же заключение будет также применимо к менее привычным вещам вроде черных дыр, приводя нас к ожиданию, что энтропия черной дыры также пропорциональна ее объему.
1. Для склонного к математике читателя вспомним из комментария 6 к Главе 6, что энтропия определяется как логарифм числа перестановок (или состояний), и это важно, чтобы получить правильный ответ в этом примере. Когда вы объединяете два пластиковых контейнера вместе, различные состояния молекул воздуха могут быть описаны при заданном состоянии молекул воздуха в первом контейнере, а затем при заданном состоянии молекул воздуха во втором. Таким образом, перестановки в объединенных контейнерах есть квадрат числа перестановок в каждом в отдельности. После взятия логарифма это говорит нам, что энтропия удваивается.
Но в 1970х Джэкоб Бекенштейн и Стивен Хокинг открыли, что это не верно. Их математический анализ
2. Вы заметите, что на самом деле мало смысла сравнивать объем с площадью, поскольку они имеют разные единицы. Что я на самом деле имел в виду здесь, как обозначено текстом, так это то, что темп, с которым объем растет с радиусом намного больше, чем темп, с которым растет площадь. Таким образом, поскольку энтропия пропорциональна площади поверхности, а не объему, она растет более медленно с увеличением размера региона, чем это было бы, будь она пропорциональна объему.
То, что энтропия пропорциональна площади поверхности, является не просто любопытным отличием между черными дырами и пластиковым контейнером, на которое мы можем обратить внимание и быстро идти дальше. Мы видели, что черные дыры устанавливают предел количеству энтропии, которая, даже в принципе, может быть втиснута в область пространства: возьмем черную дыру, чей размер точно равен размеру рассматриваемой области, вычислим, сколько энтропии имеет черная дыра, и это будет абсолютным пределом количества энтропии, которое область пространства может содержать. Поскольку эта энтропия, как показала работа Бекенштейна и Хокинга, пропорциональна площади поверхности черной дыры, – которая равна площади поверхности области, поскольку мы выбрали их имеющими одинаковый размер, – мы заключаем, что максимальная энтропия, которую может содержать любая заданная область пространства, пропорциональна площади поверхности области. [3]
3. Хотя это ухватывает дух ограничения энтропии, подготовленный читатель распознает, что я упрощаю. Более точное ограничение, как предложено Рафаэлем Боуссо, состоит в том, что течение энтропии через нулевую гиперповерхность (с везде неположительным фокальным параметром) ограничено числом А/4, где А есть площадь пространственноподобного сечения нулевой гиперповерхности ("тонкого листа").
Противоречие между этим заключением и тем, что мы нашли из размышлений о воздухе, заключенном в пластиковом контейнере (когда мы нашли, что количество энтропии пропорционально объему контейнера, а не площади его поверхности), легко ликвидировать: поскольку мы предполагали, что воздух в контейнере распределен равномерно, рассуждения о контейнере игнорируют гравитацию; вспомним, когда действует гравитация, вещи слипаются. Пренебрежение гравитацией оправдано, когда малы плотности, но когда вы рассматриваете большую энтропию, плотности велики, гравитация действует, и рассуждения о пластиковых контейнерах больше не применимы. Вместо этого, такие экстремальные условия требуют основанных на гравитации расчетов Бекенштейна и Хокинга с заключением, что максимальный энтропийный потенциал области пространства пропорционален ее площади, а не ее объему.
Ну ладно, но почему мы должны беспокоиться? Имеются две причины.
Первая, ограничение энтропии дает еще одну подсказку, что ультрамикроскопическое пространство имеет атомистическую структуру. Подробно, Бекенштейн и Хокинг нашли, что если вы представите нарисованный на горизонте событий образец шахматной доски с каждым квадратом, равным длине Планка на длину Планка (так что такой "планковский квадрат" имеет площадь около 10–66 квадратного сантиметра), тогда энтропия черной дыры равна числу таких квадратов, которые можно расположить на ее поверхности. [4] Тяжело не заметить заключение, на которое сильно намекает этот результат: каждый планковский квадрат есть минимальная, фундаментальная единица пространства, и каждый несет минимальную, отдельную единицу энтропии. Это наводит на мысль, что нет ничего, даже в принципе, что могло бы иметь место внутри планковского квадрата, поскольку любая такая активность поддерживает беспорядок, а потому планковский квадрат мог бы иметь больше, чем одну единицу энтропии, найденную Бекенштейном и Хокингом. Итак, еще раз, с совершенно другой точки зрения мы пришли к понятию простейшей пространственной сущности. [5]
4. Более точно энтропия черной дыры есть площадь ее горизонта событий, выраженная в планковских единицах, деленная на 4 и умноженная на константу Больцмана.
5. Склонный к математике читатель может вспомнить из комментариев к Главе 8, что имеется другое определение горизонта – космического горизонта – который есть разделяющая поверхность между теми вещами, с которыми наблюдатель может или не может находиться в причинном контакте. Такие горизонты, есть уверенность, поддерживают энтропию, также пропорциональную их площади поверхности.
Вторая, для физика верхний предел энтропии, которая может существовать в области пространства, является критической, едва ли не священной величиной. Чтобы понять, почему, представьте, что вы работаете на поведенческого психиатра и ваша работа заключается в поддержании детальной, момент за моментом записи взаимодействий внутри группы чрезвычайно активных маленьких детей. Каждое утро вы молитесь, чтобы дневная группа хорошо себя вела, поскольку чем больший бедлам создают дети, тем тяжелее ваша работа. Причина интуитивно понятна, но стоит высказать ее явно: чем более разупорядочены дети, тем больше вещей вы должны удержать во внимании. Вселенная представляется физику примерно с такой же проблемой. Фундаментальная физическая теория предназначена для описания всего, что происходит – или могло бы происходить, даже в принципе, – в данной области пространства. И, как и с детьми, чем больше беспорядка область может содержать, – даже в принципе, – тем больше вещей теория должна быть способна отслеживать. Таким образом, максимум энтропии, которую может содержать область, обеспечивает простой, но острый лакмусовый тест: физики ожидают, что в полном смысле слова фундаментальная теория есть та, которая в полной мере подходит к максимуму энтропии в любой данной пространственной области. Теория должна быть столь тесно настроена на природу, что ее максимальная способность отслеживать беспорядок должна быть в точности равна максимальному беспорядку, который область, возможно, может содержать, не больше и не меньше.
Дело в том, что если заключение на основе пластиковых контейнеров имеет неограниченную применимость, фундаментальная теория должна была бы иметь способность объяснять объемное значение беспорядка в любой области. Но поскольку это рассуждение неверно, когда включена гравитация, – и поскольку фундаментальная теория должна включать гравитацию, – мы узнаем, что фундаментальная теория должна быть в состоянии объяснять только поверхностное значение беспорядка
в любой области. А, как мы показали на паре численных примеров несколькими абзацами выше, чем больше область, тем более малым становится последнее по сравнению с первым.Таким образом, результат Бекенштейна и Хокинга говорит нам, что теория, которая включает гравитацию, в некотором смысле проще, чем теория, которая не включает. Имеется меньше "степеней свободы" – меньше вещей, которые могут изменяться и потому давать вклад в беспорядок, – которые теория должна описывать. Это интересный результат сам по себе, но если мы проследуем по той же линии рассуждений на один шаг дальше, окажется, что он говорит нам нечто чрезвычайно странное. Если максимум энтропии в любой заданной области пространства пропорционален площади поверхности области, а не ее объему, то, вероятно, правильные, фундаментальные степени свободы – отличительные признаки, которые имеют потенциал давать вклад в этот беспорядок, – на самом деле располагаются на поверхности области, а не в ее объеме. Это значит, может быть, реальные физические процессы вселенной имеют место на тонкой удаленной поверхности, которая окружает нас, и все, что мы видим и ощущаем, есть просто проекция этих процессов. Это значит, может быть, вселенная является до некоторой степени похожей на голограмму.
Это необычная идея, но как мы сейчас обсудим, она имеет недавно полученную существенную поддержку.
Является ли вселенная голограммой?
Голограмма представляет собой кусок вытравленного пластика, который при освещении подходящим лазерным светом проецирует трехмерную картинку. [6] В начале 1990х датский Нобелевский лауреат Герард т"Хоофт и Леонард Сасскайнд, тот самый физик, который вместе с другими придумал теорию струн, предположили, что сама вселенная может действовать аналогичным голограмме способом. Они выдвинули изумительную идею, что приходящие и уходящие процессы, которые мы наблюдаем в трех измерениях повседневной жизни, могут сами быть голографическими проекциями физических процессов, имеющих место на удаленной двумерной поверхности. В их новом и своеобразно озвученном взгляде мы и все, что мы делаем или видим, может быть сродни голографическим картинкам. В то время как Платон воображал повседневные ощущения как обнаружение не более чем тени реальности, голографические принципы соглашаются, но переворачивают метафору на голову. Тени – вещи, которые расплющиваются и потому живут на поверхности с меньшим числом измерений, – реальны, тогда как то, что кажется более богато структурированной, более многомерной сущностью (мы, мир вокруг нас) является исчезающей проекцией теней.*
6. В 1971 родившийся в Венгрии физик Деннис Габор был удостоен Нобелевской премии за открытие нечто, названного голографией. Сначала имея целью усовершенствовать разрешающую силу электронного микроскопа, Габор работал в 1940е над поиском путей удержания большей части информации, закодированной в световых волнах, которые отражаются от объекта. Например, камера записывает интенсивность таких волн света; места, где интенсивность высока, дают более светлые области фотографии, а места, где интенсивность низка являются темными. Габор и многие другие обнаружили, однако, что интенсивность является только частью информации, которую несет световая волна. Мы видели это, например, на Рис. 4.3b: в то время как интерференционная картина подвергается влиянию интенсивности (амплитуды) света (волны с большей амплитудой дают всюду более яркую картину), сама картина возникает вследствие перекрывания волн, происходящих от каждой щели и достигших своего пика, своей впадины и различных промежуточных высот волны в различных местах вдоль экрана детектора. Последняя информация называется фазовой информацией: говорят, что две световых волны в данной точке находятся в фазе, если они усиливают друг друга (обе достигают пика или впадины в одно и то же время), и не в фазе, если они друг друга гасят (одна достигает пика тогда, когда вторая достигает впадины), и в более общем случае, они имеют промежуточные фазовые соотношения между указанными двумя экстремумами в точках, где они частично усиливаются или частично гасятся. Интерференционная картина, таким образом, записывает фазовую информацию интерферирующих световых волн.
Габор разработал способ записи на специально подготовленной пленке как интенсивности, так и фазовой информации света, отразившегося от объекта. Переводя на современный язык, его подход очень похож на экспериментальные установки на Рис. 7.1, за исключением того, что один из двух лазерных лучей отражается от искомого объекта на своем пути к экрану детектора. Если экран снабжен пленкой, содержащей подходящую фотографическую эмульсию, он запишет интерференционную картину – в форме мгновенных, вытравленных линий на поверхности пленки – между освобожденным лучом и лучом, который отразился от объекта. Интерференционная картина будет кодировать как интенсивность отраженного света, так и фазовые соотношения между двумя световыми лучами. Последствия прозрения Габора для науки были существенными, позволяя сделать множество усовершенствований в широком диапазоне измерительных технологий. Но для широкой публики самое заметное влияние оказало художественное и коммерческое применение голограмм.
Обычные фотографии выглядят плоскими, поскольку они записали только интенсивность света. Чтобы получть глубину, вам нужна фазовая информация. Причина в том, что когда световая волна путешествует, она колеблется от пика к впадине и снова к пику, так что фазовая информация – или, более точно, фазовые различия между лучами света, отразившимися от близких частей объекта, – кодирует различия в том, как далеко световой луч путешествовал. Например, если вы смотрите прямо на кота, его глаза чуть дальше удалены, чем его нос, и эта разница в глубине кодируется в разности фаз между лучами света, отражающимися от каждой части кошачьей морды. Посветив лазером через голограмму, мы оказываемся в состоянии воспользоваться фазовой информацией голографической записи, и следовательно, добавить глубины в образ. Мы все видели результаты: ошеломительные трехмерные проекции, генерируемые из двумерных кусочков пластика. Отметьте, однако, что ваши глаза не используют фазовую информацию, чтобы видеть глубину. Вместо этого ваши глаза используют параллакс: слабое отличие в углах, под которыми свет из данного источника добирается до вашего левого глаза и вашего правого глаза, чтобы донести информацию, которую ваш мозг декодирует в расстояние до точки источника. Именно поэтому, например, если вы потеряете зрение в одном глазе (или просто оставите его закрытым на время), вы потеряете восприятие глубины.
(*) "Если вы не склонны переписывать Платона, сценарий мира на бране дает версию голографии, в которой тени возвращаются на присущее им место. Представьте, что мы живем на 3-бране, которая окружает область с четырьмя пространственными измерениями (почти как двумерная кожица яблока окружает трехмерную внутренность яблока). Голографический принцип в таком раскладе будет говорить, что трехмерные ощущения будут тенями четырехмерной физики, имеющей место в области, которую окружает наша брана."
Еще раз, хотя это и фантастически странная идея, и одна из тех, чья роль в окончательном понимании пространства-времени далека от ясности, так называемый голографический принцип т"Хоофта и Сасскайнда хорошо мотивирован. Как мы обсуждали в последней секции, максимальная энтропия, которую может содержать область пространства, соотносится с площадью ее поверхности, но не с объемом ее внутренности. Естественно предположить тогда, что наиболее фундаментальные составляющие вселенной, ее самые базовые степени свободы – сущности, которые переносят энтропию вселенной почти как страницы Войны и Мира переносят ее энтропию, – могут располагаться на граничной поверхности, а не внутри вселенной. То, что мы ощущаем в "толще" вселенной – в объеме, как физики это часто называют, – может определяться тем, что имеет место на граничной поверхности, почти как то, что мы видим на голографической проекции, определяется информацией, закодированной на граничном кусочке пластика. Законы физики могут действовать как вселенский лазер, освещая реальные процессы космоса – процессы, имеющие место на тонкой, удаленной поверхности, – и генерируя голографическую иллюзию повседневной жизни.