Далекое будущее Вселенной Эсхатология в космической перспективе

Из (104) мы видим, что количество информации, которую можно передать от А к В через заданный объем энергии, со временем, по мере расширения вселенной и отдаления А и В друг от друга, не уменьшается. Увеличение расстояния компенсируется снижением энергетической стоимости каждого фотона и увеличением угла приема при уменьшении длины волны.

Полученный сигнал задается формулой (104). Теперь нам необходимо сравнить его с полученным шумом. Фоновый шум во вселенной на частоте со можно описать эквивалентной температурой шума T _N, так что число фотонов на единицу волны на стерадиан на квадратный сантиметр в секунду описывается формулой Релея–Джинса:

I = (kT _N / 4 ³hc ²). (106)

Эта формула — просто определение TN, которое в целом представляет собой функцию со и t. Я не предполагаю, что шум обладает планковским спектром на всех частотах. Лишь часть шума принадлежит изначальной фоновой радиации, обладающей планковским спектром при температуре _R. Изначальная шумовая температура _Rизменяется обратно пропорционально радиусу вселенной:

(k _RR/hc) = = 10 ²⁹, (107)

где R задано формулой (8). Я полагаю, что спектр шума в целом по мере расширения вселенной изменяется в том же соотношении с радиусом и таким образом:

(T _N/ _R) = f(x), х = (h/k _R), (108)

где f есть универсальная функция от х. Если х близко к единице, то в шуме преобладает реликтовое излучение и f(x) имеет планковскую форму

f(x) = f _P(x) = х (е ^х— 1) ^{– 1}, х ~ 1. (109)

Однако возможны значительные отклонения от (109) как при большом х (результате красного смещения звездного света), так и при маленьком х (результате нетермальных радиоизлучений). Не углубляясь в детали, скажем просто, что f(x) в целом является уменьшающейся функцией х и быстро стремится к нулю по мере того, как х —> .

Общая энергетическая плотность радиации во вселенной составляет

(4/c) I hd = (k _R) ⁴I / ( ²h ³c ³), (110)

где

I = ₀ f(x)x ²dx. (1ll)

Интеграл I должен сходиться как при высоких, так и при низких частотах. Следовательно, мы можем найти такое числовое ограничение b, что

x ³f(x)<b (112)

для всех х. В сущности, (112), вероятно, выполняется при b = 10, если мы будем избегать некоторых определенных частот, например водородной линии 1420 Мгц.

Число шумовых фотонов, полученных в течение времени tB приемником с шириной полосы В' и сечением составляет

F _N= 4'B' _BI('). (113)

Подставляя значения из (95), (96), (100), (103) и (108) в (113), получаем:

F _N= (2r ₀/ _B)fN'F', (114)

где

r ₀= (e ²/mc ²) = 3•10–1 ³cm, (115)

а

_B= (hc / k' _R) = ^{– 1}R _B(116)

— длина волны фонового реликтового излучения во время приема сообщения. Если F' — сигнал, то отношение сигнала к шуму равняется

R _SN= ( _B/ 2fN'r ₀). (117)

В этой формуле f — отношение шума и температуры, заданное (108), N' — число электронов приемника, а ₀, _Bзаданы (115) и (116). Отметим, что в вычислении (117) мы не даем приемнику возможности выбора угла, поскольку сечение заданное (95), не зависит от направления.

Теперь подведем итоги нашего анализа. У нас имеются передатчик и приемник на мировых линиях А и В, передающие и принимающие сигналы во время t _A= Т ₀(sinh — ), t _B= Т ₀(sinh( + ) — ( + )). (118)

Согласно (89) и (101),

_A= (dt _A/d), _B= (dt _B/d). (119)

Для удобства будем считать, что передатчик постоянно направлен на приемник и передает сообщения с определенным циклом 8, который может изменяться в зависимости от Когда 5 = 1, передатчик все время включен. Число F' фотонов, принимаемых во время _в, может рассматриваться как количество битов в отношении к переменной . В сущности, F'd — это число битов, получаемых в интервале d. Работать с переменной полезно, поскольку она поддерживает постоянное различие л между А и В.

Из (100), (101), (103), (107) и (108) мы выводим простую формулу количества битов:

F = х. (120)

Энергия Е, переданная во время _А, может также рассматриваться как скорость передачи энергии в единицу интервала Из (104) и (120) мы выводим

Е = ( ³/ NN') (1 + z) (sinh ²)x ³E _c. (121)

Мы все еще можем свободно выбирать параметры х [определяя частоту со согласно (108)] и 5, оба из которых могут изменяться в зависимости от Единственные ограничения — (102) и сигнально–шумовое условие

R _SN>=10, (122)

где соотношение сигнала и шума вычисляется согласно (117). Если мы предположим, что (112) верно при b = 10, (122) будет обеспечивать, что

х >(G/r) ^1/3, (123)

где

G = (200r ₀/ _p) N' (1+z) ^{– 1}= 10–9N' (1+z) ^{– 1}, (124)

r = (R _A/ R _p) = (cosh – 1) / (cosh _p– 1). (125)

Здесь p, Rp и _p— текущие значения длины волн фоновой радиации, радиуса вселенной и временной координаты Стоит отметить, что сигнально–шумовое условие (123) может быть трудно для соблюдения поначалу, пока r мало, но с течением времени, по мере того как во вселенной становится все тише, его становится все легче выполнять. Чтобы избежать чрезмерной траты энергии на ранних стадиях, вначале мы выбираем маленький цикл 5 и постепенно увеличиваем его, пока он не достигает единицы. Все условия выполняются, если мы выбираем