Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Такая же неоднозначность возникает в почтовых адресах. Могут ли два человека, проживающие по адресу 80-я улица, 137, задрать нос и заявить: «Да я б никогда в том районе жить не стал». Отчего бы и нет? «Вестсайдская история» и «Истсайдская история» — однозначно две разные истории [121] . Математики избавляются от этой неоднозначности в координатах в точности так же, как градостроители — в почтовых адресах, с той лишь разницей, что первые используют знаки «плюс» и «минус», а вторые приписывают к адресу «восточный»/«западный» или «северный»/«южный». Математики подрисовывают знак «минус» к координате х всех точек, размещающихся левее оси у (т. е. «восточной стороне» — «истсайду»), и к координате у всех точек, расположенных ниже оси х (т. е. «южной стороне», или «саутсайду»). В нашем случае у первой точки координаты останутся без изменений — (2, 1), а у второй станут такие: (— 2, 1). Мы делим плоскость на четыре четверти (квадранта) — северо-восточная, северозападная, юго-восточная и юго-западная. У всех точек в «южном» квадранте значение координаты у отрицательное, а у всех точек в «западном» отрицательно значение координаты х . Эту систему обозначения принято называть декартовыми координатами. (На самом деле примерно тогда же аналогичное открытие сделал Пьер Ферма, однако если за Декартом водилась дурная привычка ни на кого не ссылаться в своих публикациях, Ферма имел худшую склонность — не публиковать свои работы вообще.)

121

«Вестсайдская история» (West Side Story) — американский мюзикл 1957 года (музыка Леонарда Бернстайна, слова Стивена Сондхайма), адаптация классической пьесы Уильяма Шекспира «Ромео и Джульетта». «Истсайдская история» — вероятно, одна из серий американского телесериала «Беверли-Хиллз, 90210» (1990–2000). — Прим. пер.

Ясное дело — и мы в этом уже убедились — применения координат как таковых новинкой не было. Птолемей еще во II веке использовал систему координат в своих картах [122] . Но работы Птолемея сводились исключительно к географии. Никакого другого значения — помимо приложимости к земному шару — он в них не видел. Подлинное новаторство идей Декарта применительно к координатам состояло не в них самих, а в том, что Декарту удалось из них извлечь.

Изучая классические греческие кривые, манеру определения которых Декарт столь глубоко презирал, он, тем не менее, обнаружил удивительные закономерности. Например, он изобразил несколько прямых и выяснил, что для любой прямой координаты х и у любой точки на ней всегда связаны простым отношением. Алгебраически эту связь можно выразить уравнением вида ах + by + c = 0, где а, b и с — постоянные, т. е. обычные числа вроде 3 или 41/2, и зависят они лишь от того, какую прямую в данный момент мы рассматриваем. Это означает, что любая точка, описываемая координатами (х, у ), лежит на некоторой прямой тогда и только тогда, когда сумма х , взятого а раз, у , взятого b раз, и с равна нулю. Таково альтернативное — алгебраическое — определение прямой.

122

Описание работ Птолемея см.: Wilford, стр. 25–34. В 1569 г., за несколько десятков лет до рождения Декарта, у картографии случилась своя революция: Герхард Кремер, более известный под своим латинизированным именем Герард Меркатор, издал карту мира новой разновидности. Этой картой Меркатор решил задачу проекции сферы Земли на плоскую поверхность — способом, особенно удобным для навигаторов. И хотя карта Меркатора растягивала и сжимала реальные расстояния, углы между кривыми сохранялись правильные, т. е. на карте они были такими же, как и на земной поверхности. Это важно, поскольку самый простой курс для кормчего — двигаться под фиксированным углом к северу, по указанию стрелки компаса. Математически говоря, важность этой карты в том, что она трансформировала координаты. Сам Меркатор никакой математикой не занимался — он составил карту эмпирически. Картезианская геометрия позволяет производить математический анализ, и в результате понимание картографии получается гораздо глубже. Декарт знал о карте Меркатора, но нам неведомо, насколько успехи картографии повлияли на Декарта — и повлияли ли вообще, поскольку он не утруждался указывать ссылки на чужие работы в своих. О математике, стоящей за трудами Меркатора, см.: Resnikoff and Wells, стр. 155–168.

С точки зрения Декарта, линия есть множество точек с особым свойством: если прирастить одну координату, чтобы получить другую точку того же множества, необходимо прирастить и другую координату в строго заданной пропорции. Его определение круга (или эллипса) устроено по тому же принципу. С единственной разницей: убавляя одну координату, необходимо добавлять к другой так, чтобы (взвешенная) сумма квадратов координат, а не просто координат самих по себе, оставалась неизменной.

За триста лет до Декарта Николай Орезмский тоже подметил, что кривые можно определять через соотношение координат, и тоже вывел некоторое подобие уравнения прямой. Но во времена Орема алгебра еще не имела широкого хождения, и за отсутствием подходящей формы записи Орем не смог развить идею дальше [123] . Декартов метод ассоциирования алгебры и геометрии привел к обобщению представлений Николая Орезмского, и теперь всю греческую математику можно было описать просто и сжато. Эллипсы, гиперболы, параболы — все их, как выяснилось, можно определить через простые уравнения в координатах х — у .

123

Декарт не просто унаследовал всю алгебру, потребную для его работы. Он сам изобрел значительную ее часть. Во-первых, он предложил современный вид записи с применением последних букв алфавита для обозначения неизвестных переменных и первых — для обозначения постоянных. До Декарта язык алгебры не блистал изяществом. К примеру, Декарт записал бы 2 x 2 + x 3, а до него то же выражалось так: «2 Q плюс C », где через Q обозначали квадрат (carre 2), а через С — куб. Запись Декарта совершеннее, потому что она исчерпывающе фиксирует и неизвестное число, возводимое в квадрат и в куб (х ), и характер степеней х (2 и 3). Применив это более изящное написание, Декарт смог складывать и вычитать уравнения и производить с ними другие арифметические операции. Он смог классифицировать алгебраические выражения согласно типу кривой, которую они представляли. Например, он опознал уравнения 3 х + 6 y — 4 = 0 и 4 х + 7 у + 1 = 0 как представляющие прямые, которые он изучил в общем случае ax + by + c = 0. Таким образом, он преобразовал алгебру из науки, изучающей мешанину отдельных уравнений, в дисциплину оформленных классов уравнений, см.: Vrooman, стр. 117–118. Более общую историю алгебраических символов см.: Kline, Mathematical Thought , стр. 259–263, и Resnikoff and Wells, стр. 203–206.

Возможность определять классы кривых по виду их уравнений имеет далеко идущие последствия для науки. Взглянем еще раз, к примеру, на данные, полученные Николаем, но сдвинем запятую в числах на один десятичный знак. Теперь-то понятно, что они такое — это таблица приблизительных средневысоких температур [124] 15-го числа каждого месяца (кроме января) в Нью-Йорке. Ученый может задаться вопросом: есть ли простая взаимосвязь между этими показателями?

124

По таблице, приведенной в «Нью-Йорк Таймс» 11 января 1981 г. и процитированной у Тафта.

Как мы уже видели, отображение этих данных в виде графика дает нам простую геометрическую фигуру — параболу. Знание уравнения, описывающего параболу, дает нам кое-какие предсказательные возможности — позволяет сформулировать «закон средневысоких» для нью-йоркской погоды. Закон таков: обозначим через у температуру ниже 85 градусов по Фаренгейту, а через х — число месяцев до или после 15 июля, и тогда у равен дважды х в квадрате. Опробуем это правило. Чтобы определить, какова будет средневысокая температура в Нью-Йорке, скажем, 15 октября, отметим, что октябрь — через три месяца после июля, т. е. х = 3. Поскольку три в квадрате — девять, средняя температура 15 октября есть дважды по девять, т. е. на 18 градусов ниже показателя 15 июля (85 градусов). Таким образом, по нашему «закону» выходит средняя температура приблизительно 67 градусов. Реальные данные — 66 градусов. Для большинства месяцев закон приложим вполне точно — и его можно применять и для других дней календаря, а не только к 15-м числам месяцев, если вам не лень возиться с дробями.

Сформулированный нами закон определяет отношение между у и х ; это частный случай того, что математики называют функцией. В нашем примере парабола есть график функции. Физика в существенной степени занимается именно тем, что мы сейчас проделали: обнаружением закономерностей в данных, определением функциональных зависимостей и (этим мы не озаботились) объяснением причин той или иной взаимосвязи.

Точно так же, как можно вывести физические законы графически, применив картезианские методы, у евклидовых теорем тоже есть алгебраические следствия. Например, представьте теорему Пифагора в декартовых терминах. Вообразите прямоугольный треугольник. Для простоты положим, что вертикальная сторона его лежит вдоль оси у и тянется от точки начала координат до точки А , а горизонтальная сторона — из точки начала координат вдоль оси х до точки В . Таким образом длина вертикальной стороны равна координате у ее конечной точки А , а длина горизонтальной стороны — координате х конечной точки В .

Теорема Пифагора в данном случае говорит нам, что сумма квадратов горизонтальной и вертикальной сторон, х 2 + у 2, есть квадрат длины гипотенузы. Если принять определение, что расстояние между двумя точками А и В есть длина линии, соединяющей их, то мы только что установили, что квадрат расстояния между А и В есть х 2 + у 2. А теперь представим любые две точки А и В на плоскости. Мы вполне можем изобразить оси х и у так, чтобы получилась та же ситуация, которую мы только что рассмотрели: А размещается на горизонтальной оси, а В — на вертикальной. Это означает, что квадрат расстояния [125] между любыми двумя точками А и В есть попросту сумма квадратов разниц между их соответствующими координатами.

125

Теперь нам становится понятнее декартово определение окружности. Если окружность имеет центр в точке начала координат, и координаты точки на окружности — х и у , тогда требование, чтобы х и у отвечали уравнению х 2 + у 2 = r 2, попросту означает, что все точки на окружности должны находиться на расстоянии r от центра; это простое интуитивное определение, знакомое нам со школы.

* * *

Декартова формула для определения расстояния [126] имеет глубокие связи с евклидовой геометрией, и нам еще предстоит в этом убедиться. Но его представление о расстояниях как о функции разниц координат и в общем случае состоятельно; именно оно позднее стало ключевым для понимания природы и евклидовой, и неевклидовой геометрий.

Декарт применил свои прозрения в геометрии ко многим своим знаменитым трудам в физике. Он первым сформулировал закон рефракции света в его современном тригонометрическом виде; ему же принадлежит первое исчерпывающее объяснение физики радуги. Его геометрические методы оказались настолько всеобъемлющими для всех его представлений, что он сам писал: «Вся моя физика есть не что иное как геометрия» [127] . И тем не менее Декарт откладывал издание своих трудов по геометрии координат целых девятнадцать лет, да и вообще ничего не публиковал до своих сорока. Чего он боялся? Да как обычно — Католической церкви.

126

Хоть мы и объяснили это для плоскости, двухмерного пространства, декартовы координаты просто будет распространить на три и более измерения. К примеру, уравнение сферы х 2 + у 2 + z 2 = r 2, изменение состоит лишь в дополнительной координате z. Таким образом, физические теории могут быть описаны с помощью произвольного числа пространственных измерений. Выясняется, что обычная квантовая механика принимает чрезвычайно простой вид при бесконечном числе пространственных измерений, и это свойство применяется для нахождения приблизительных ответов для уравнений, решение которых иначе затруднительно. Интересующимся математикой рекомендуем: L. D. Mlodinow and N. Papanicolaou, «SO(2,1) Algebra and Large N Expansions in Quantum Mechanics», Annals of Physics, том 28, № 2 (сентябрь, 1980), стр. 314–334.

127

Vrooman, стр. 120.

По многократному настоянию друзей Декарт уже готов был обнародовать свои работы несколькими годами ранее — в 1633-м. И тут этот итальянец по имени Галилей издал труд под названием «Диалог о двух главнейших системах мира» [128] . Симпатичная такая пьеска — трое болтунов разговаривают об астрономии. Явно внебродвейское нечто. Но почему-то отцы Церкви решили разобраться, что к чему, и как-то не впечатлились. Быть может, сочли, что актер, представлявший их птолемеевские воззрения, получил слишком мало реплик. К сожалению, в те дни, если Церковь бралась рецензировать книгу, она рецензировала и автора, а результатом такой рецензии — и для книги, и для автора — мог стать костер. В случае с Галилеем сожгли книгу, а самому Галилею пришлось от нее отречься и — ах да! — от Инквизиции ему еще и достался тюремный срок без возможности откинуться. Декарт фанатом Галилея не был. Он даже написал свою рецензию на книгу итальянца: «Сдается мне, ему (Галилею) не достает вот чего: он постоянно отвлекается и все никак не раскроет во всей полноте ту или иную тему, а это говорит о том, что он в ней не разобрался по порядку…» [129] И все же он разделял гелиоцентрические представления Галилея, а также и другие разумные соображения, и потому принял тяжкую участь Галилео близко к сердцу. Хоть он и жил в протестантской стране, издание своей книги все равно отменил [130] .

128

На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва — Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. — Прим. пер.

129

На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва — Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. — Прим. пер.

130

Vrooman, стр. 84–85.

Но все-таки Декарт наконец собрался с духом и в 1637 году обнародовал первую работу, позаботившись о том, чтобы его труд никоим образом не задевал Церковь. К сорока годам Декарту было что сказать далеко не только о геометрии, и он объединил все накопившееся одном томе. Под предисловие потребовалось 78 страниц. Оригинальная рукопись носила не слишком хлесткое название: «Рассужденье о вселенской науке, что могла бы возвысить нашу природу до величайших вершин совершенства; далее о диоптрике, о метеорах и геометрии, где любопытнейшие соображения, какие автор смог добыть, дабы доказать вселенскую науку, кою он предлагает, объясняются таким манером, что даже и те, кто никогда не учился, смогут их постичь» [131] . При издании название слегка подсократили — видимо, сотрудники той службы, что в XVII веке выполняла функции отдела издательского маркетинга. И все равно получилось длинновато. Время обточило название до совсем краткого, и ныне эту работу Декарта обычно именуют «Рассуждением» или «Рассуждением о методе».

131

Vrooman, стр. 89.

«Рассуждение о методе» — протяженный трактат, описывающий философию Декарта и его рациональный подход к решению научных задач. «Геометрия», третье приложение, была призвана показать результаты, каких удалось добиться методами, предложенными Декартом. Свое имя он с титульного листа убрал — и не потому, что название заняло всю страницу, а из-за неизбывной боязни преследования. К сожалению, его друг Марен Мерсенн написал вступление и в нем не оставил никаких сомнений в личности автора книги.