Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Гаусс повидал слишком много ученых, втянутых в изнурительные распри с недоучками, чтобы влезать в нечто подобное самому. Валлис, к примеру, чьи работы Гаусс ценил, оказался вовлечен в ожесточенную дискуссию с английским философом Томасом Гобб сом [157] о том, как лучше всего считать площадь круга. Гоббс и Валлис [158] более двадцати лет публично обменивались оскорблениями, потратив уйму бесценного времени на сочинение памфлетов под названиями «Приметы абсурдной геометрии, деревенского наречия и др. у доктора Валлиса».
157
Хоббз
158
Russell, стр. 548.
Философ, чьих последователей Гаусс боялся более всего [159] , был Иммануил Кант, скончавшийся в 1804 году. Физически Кант был Тулуз-Лотреком философов: сутулый, едва ли пяти футов ростом, с сильно деформированной
159
Kline, Mathematical Thought , стр. 871.
160
Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (New York: Dover Publications, 1993), стр. 144–145.
161
Dunnington, стр. 215.
В «Критике чистого разума» Кант называл евклидово пространство «неизбежной необходимостью мысли» [162] . Гаусс не отметал идеи Канта прямо с порога. Он с ними сначала ознакомился, а потом их отмел. Более того, говорят, Гаусс, в попытке постичь Канта, прочел «Критику чистого разума» пять раз, а это, знаете ли, немалый труд для человека, освоившего русский и греческий с меньшим усилием, чем большинству из нас требуется для отыскания [163] в афинском меню. Внутренняя борьба Гаусса становится понятнее, если представить, с какой ясностью Кант формулировал мысли о различии между аналитическим и синтетическим суждениями:
162
См. Greenberg, стр. 146. Анализ представлений Канта о пространстве и времени см.: Russell, Introduction to Mathematical Philosophy , стр. 712–718, и Max Jammer, Concepts of Space (New York: Dover Publications, 1993), стр. 131–139.
163
Традиционный греческий салат.
Во всех суждениях, в которых мыслится отношение субъекта к предикату (я имею в виду только утвердительные суждения, так как вслед за ними применить сказанное к отрицательным суждениям нетрудно), это отношение может быть двояким. Или предикат В принадлежит субъекту А как нечто содержащееся (в скрытом виде) в этом понятии А, или же В целиком находится вне понятия А, хотя и связано с ним. В первом случае я называю суждение аналитическим, а во втором — синтетическим [164] .
164
«Критика чистого разума», т. IV. Пер. с нем. Н. Лосского. — Прим. пер.
В наши дни математики и физики нимало не беспокоятся, что об их теориях скажут философы. Знаменитый американский физик Ричард Фейнман [165] на вопрос, что он думает о философии, дал емкий ответ, состоящий из трех букв: первая — «х», две остальные — характерное окончание «-ня» [166] . Но Гаусс воспринял работу Канта всерьез. Он писал, что различие между аналитической и синтетической мыслью, приведенное выше, «таково, что либо вязнет в тривиальности, либо ложно». Но мыслями этими — так же, как и своими теориями о неевклидовом пространстве, — он делился лишь с теми, кому доверял. Причуда истории, из-за которой вскинуто было немало бровей: Гаусс-то своих революционных работ 1815–1824 годов не публиковал — в отличие от двух других его современников.
165
Файнмен
166
Я сам неоднократно беседовал об этом с Фейнманом в Калифорнийском технологическом институте, Пасадина, в 1980–1982 гг.
23 ноября 1823 года Йоханн (Янош) Бойяи, сын старинного друга Карла Гаусса, Вольфганга Бойяи, написал отцу, что «создал новый, иной мир из ничего» [167] , имея в виду свое открытие неевклидова пространства. В тот же год в российском городе Казань Николай Иванович Лобачевский в своем неизданном учебнике геометрии осмыслил последствия нарушения пятого постулата. Лобачевский учился у Йоханна Бартельса, в те времена служившего профессором в Казани. И Вольфганг Бойяи, и Бартельс давно интересовались неевклидовым пространством и много обсуждали с Гауссом его соображения на этот счет.
167
Dunnington, стр. 183. Подробнее о жизни Бойяи см.: Gillespie, Dictionary of Scientific Biography, стр. 268–271; о жизни Лобачевского см.: Muir, стр. 184–201; E. T. Bell, Men of Mathematics (New York: Simon & Schuster, 1965),
стр. 294–306; Heinz Junge, ed., Biographien bedeutender Mathematiker (Berlin: Volk und Wissen Volkseigener Verlag, 1975), стр. 353–366.Совпадение? Гений Гаусс открывает великую теорию и рад обсудить ее с друзьями, но отказывается ее публиковать. Вскоре после этого друзья и родственники этих друзей вдруг, откуда ни возьмись, выходят и заявляют, что они сделали точно такое же великое открытие. Это стечение обстоятельств породило как минимум одну песенку о Лобачевском [168] — с обвинительным текстом: «Ворец идей, ты не своди очей с чужих затей…» Однако большинство историков в наши дни считает, что передался скорее дух, нежели конкретика трудов Гаусса, а Бойяи и Лобачевский не ведали о работе друг друга — во всяком случае, в свое время.
168
«Nicolai Ivanovich Lobachevski» авторства Тома Лерера (р. 1928) — американского автора-исполнителя, сатирика и математика. — Прим. пер.
К сожалению, не ведал никто. Ключевых для науки высоколобых математиков никто не слушал. Лобачевский свою работу опубликовал, а толку? Она вышла в никому не известном русском журнале «Казанский вестник». А Бойяи похоронил свой труд в приложении к одной из отцовых книг под названием «Tentamen» («Опыт»). Четырнадцать с чем-то лет спустя Гаусс наткнулся на статью Лобачевского, а Вольфганг написал ему о работе сына, но Гаусс по-прежнему не собирался издавать свои труды — он не желал оказаться в эпицентре скандала. Написал Бойяи вежливое поздравительное письмо (отметив, что сам уже достиг сходных результатов) и великодушно выдвинул Лобачевского в члены-корреспонденты Королевского научного общества Гёттингена (и в 1842 году того немедленно избрали).
Янош Бойяи не обнародовал более ни единой математической работы [169] . Лобачевский же стал успешным функционером, а впоследствии — и ректором Казанского университета. Бойяи и Лобачевский, быть может, так бы и растаяли вдали, если бы не связь с Гауссом. Как ни парадоксально, однако именно смерть Гаусса в итоге привела к неевклидовой революции.
Гаусс крайне педантично относился к хронике событий, связанных с его персоной. Он увлеченно собирал некоторые странные данные [170] — например, продолжительности жизни умерших друзей в днях, или число шагов от обсерватории, в которой он трудился, до различных мест, которые ему нравилось навещать. Он и работу свою датировал пофазно. После его смерти ученики набросились на его записи и корреспонденцию. Там они обнаружили его труды, посвященные неевклидову пространству, а также статьи Бойяи и Лобачевского. В 1867 году их включили во второе издание влиятельного сборника Рихарда Бальцера «Elemente der Mathematik». Совсем скоро они стали стандартными опорными ссылками для тех, кто работал над новой геометрией.
169
Как ни странно, бумаги, найденные после смерти Бойяи, показали, что он был тайным евклидовцем: даже после открытия неевклидова пространства продолжал попытки доказать евклидову формулировку постулата параллельности, несмотря на то, что она развенчала бы его собственную работу.
170
Dunnington, стр. 228.
В 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами упокоил раз и навсегда тему доказательства постулата параллельности: он доказал, что евклидова геометрия образует непротиворечивую математическую структуру, и так же ведут себя новооткрытые неевклидовы пространства. Непротиворечива ли евклидова геометрия? Мы еще увидим, что это пока ни доказано, ни опровергнуто.
Глава 17. Блуждания в гиперболическом пространстве
Что же за птица это неевклидово пространство? Гиперболическое пространство, открытое Гауссом, Бойяи и Лобачевским получается, если заменить постулат параллельности допущением, что для любой данной прямой есть не одна, а несколько параллельных прямых, проведенных через ту или иную точку, не лежащую на данной прямой. Одним из следствий этого, писал Гаусс Тауринусу, является то, что сумма всех углов в треугольнике всегда меньше 180° на величину, которую Гаусс назвал угловым дефектом. На другое следствие наткнулся Валлис: подобных треугольников в таком пространстве не существует. Эти два следствия связаны между собой, поскольку угловой дефект зависит то размеров треугольника. Чем больше треугольник, тем больше угловой дефект, а маленькие треугольники — более евклидовы. В гиперболическом пространстве к евклидовым формам можно приблизиться, но достигнуть их нельзя — в точности как вы не достигнете скорости света или своего идеального веса.
Вроде бы малое изменение простой аксиомы — постулата параллельности, однако его хватило, чтобы породить волну, прокатившуюся по всему корпусу евклидовых теорем и поменявшую каждую, что описывала форму пространства. Словно Гаусс вынул стекло из евклидова окна и заменил его на искажающую линзу.
Ни Гауссу, ни Лобачевскому, ни Бойяи не удалось выработать простой способ наглядно иллюстрировать этот новый вид пространства. Это получилось у Эудженио Бельтрами и — попроще — у Анри Пуанкаре, математика, физика, философа и двоюродного брата будущего президента Франции Раймона. И тогда, и ныне Анри — менее известный Пуанкаре, но, как и его кузен, умел ввернуть словцо. «Математиками рождаются, а не становятся», — писал Пуанкаре. Так родилось это клише, и Анри прочно закрепил за собой место в народном сознании. А вот труд Анри 1880 года куда менее известен вне академических кругов — в этой работе он определил четкую модель гиперболического пространства [171] .
171
Подробности о модели Пуанкаре см. у Гринберга, стр. 190–214.