Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Пифагорейцы первыми занялись изучением математических и эстетических свойств музыкальных звуков. Они обнаружили, что, если дергать струну, она производит звук, или частоту, которая сильно меняется в зависимости от длины струны. Эта фундаментальная частота [298] связана с модой вибрации, в которой возникает максимальное отклонение от состояния покоя струны в ее средней точке. Но струна может колебаться и так, что ее средняя точка останется неподвижной, а максимумы отклонений возникнут посередине между концами струны и ее серединой. Такова будет фундаментальная мода колебаний, если прижать струну посередине. Это колебание с двумя одинаковыми волнами в пределах одной струны, но с вполовину меньшей длиной волны и удвоенной частотой по сравнению с фундаментальной. В музыкальных терминах она именуется второй гармоникой и звучит на октаву выше.

298

Неплохое объяснение музыки струн см.: Kline, Mathematics and the Physical World , стр. 308–312; глубже см.: Juan Roederer, Introduction to the Physics and Psychophysics of Music , 2-е изд. (New York: Springer-Verlag, 1979), стр. 98–119.

Если дернуть струну, возникнут колебания в форме трех полных волн, четырех и т. д. (но никогда не дробное число, иначе нарушится условие, что концы струны зафиксированы). Это высшие гармоники. Ноте, взятой на скрипке или пианино, к примеру, обычно сопутствует более сильная относительная амплитуда первых шести гармоник, нежели те, что дают другие инструменты. Звук трубы органа, с другой стороны, относительно обделен более высокими гармониками. Благодаря высшим гармоникам музыкальные инструменты — и семейства элементарных частиц — столь разнообразны.

Струны из струнной теории не привязаны за концы, как гитарные. Они бывают открытые и замкнутые. Они могут щепиться и соединяться или сливаться концами и образовывать две петли. Струна щепится или слипается — свойства ее меняются: издалека похоже, будто возник новый вид частиц. Обмен калибровочными частицами на самом деле есть расщепление и соединение струн, плавающих в пространстве-времени.

Из всего этого получается, что частицы, которые мы наблюдаем, — музыкальные шкатулки, а их свойства — слышимая нами музыка, которую они играют. В зависимости от сорта исполняемой музыки эти шкатулки, похоже, бывают многих разновидностей. Согласно теории струн, все музыкальные шкатулки идентичны и отличаются не внешним видом, а тем, как именно в них колеблется струна.

К примеру, энергия колебания зависит от длины волны и амплитуды. Чем больше пиков и провалов вдоль ее длины и чем сами они больше, тем энергичнее колебание. Поскольку из теории относительности нам известно, что масса и энергия эквивалентны друг другу, нас, вероятно, не удивит, что за пределами черного ящика струны, колеблющиеся энергичнее, воспринимаются нами как более массивные.

Это верно и для других свойств, не только для массы, — например, для разных видов заряда. Почему бы и нет? В смысле теории поля масса частицы есть разновидность заряда — по отношению к гравитационному полю. Согласно струнной теории все частицы в природе, включая и калибровочные, при всем разнообразии всевозможных свойств, суть разные формы колебаний струны.

Во Вселенной великое множество и разнообразие частиц. Достанет ли колеблющейся струне богатства и насыщенности, чтобы охватить всю эту великую непохожесть? Не в евклидовом мире.

Но моды колебаний струны, а значит, и предсказание существования частиц и их свойств сильно зависят от числа измерений, в которых струна колеблется, и от топологии этих измерений. Вот он, источник глубинной связи между свойствами пространства и свойствами самой материи: согласно теории струн, структура пространства определяет физические свойства элементарных частиц и сил природы. В струнной теории всего трех пространственных измерений недостаточно. Именно точная геометрия и топология дополнительных измерений определяют теорию элементарных частиц и сил, которые предсказывает теория струн.

Струна в одномерном пространстве может колебаться лишь одним способом: растягиваться и сокращаться. Такие колебания называется продольными. В двух измерениях струна может колебаться и таким способом, однако теперь ей доступен еще один, новый вид колебаний: поперечный, — он происходит перпендикулярно длине струны. Их мы, по сути, и обсуждали. В трех измерениях направление поперечных колебаний может вращаться по спирали — вспомните пружину Слинки. В высших измерениях все лишь усложняется.

Топология тоже влияет на колебания. Топологию так запросто не определишь, но, грубо говоря, она имеет отношение к свойствам поверхностей и пространств, которые связаны с их свойствами, но не с их метрикой (отношениями расстояний) или кривизной. Отрезок прямой топологически отличается от круга, потому что у него есть два конца, а у круга — ни одного. А вот разница между кругом и эллипсом тополога не интересует — это всего лишь вопрос кривизны. Можно еще вот так представлять себе эту разницу: любые две фигуры, которые можно трансформировать друг в друга растяжением без разрывов, имеют с точки зрения тополога одинаковые свойства.

Как топология пространства влияет на струну? Предположим, струнной теории нужны лишь два дополнительных измерения. Поскольку эти дополнительные измерения в струнной теории предположительно малы, представим «маленькое» двухмерное пространство — квадрат или прямоугольник — вроде плоскости, только конечной. Это пространство имеет один топологический тип. Теперь свернем из него цилиндр. Говоря геометрически, кажется, что он искривлен, однако считается плоским, как планарное пространство. Это означает, что у него нулевая кривизна: любая фигура, нарисованная на плоскости, может быть свернута в цилиндр без искажения расстояний между любыми двумя точками. Но цилиндр отличается от плоскости соединенностью — топологически. Например, на плоскости любой круг или другая простая замкнутая кривая могут быть сжаты до точки в пределах того же пространства. На поверхности цилиндра существуют кривые, с которыми так поступить нельзя, — например, любая кривая, располагающаяся вокруг оси цилиндра. Колебательное движение этого вида у струны в цилиндрическом пространстве ограничено и отличается от колебаний на плоскости, поэтому струнная теория предписывает Вселенной, имеющей такую форму, иные виды частиц и их взаимодействий. Цилиндр близко связан с другой фигурой — тором, он же пончик. Чтобы получить тор из цилиндра, достаточно соединить его края. Но возможны и гораздо более сложные топологии — например, вместо пончика с одной дыркой можно взять пончик со множеством дырок. Каждый имеет разные колебательные спектры. Чем больше измерений добавляем, тем сложнее возможные пространства, особенно если допустить неплоскость этих пространств. И во всех этих разнообразных пространствах возможные моды колебаний разнятся. Такое богатство видов колебаний и позволяет теории струн объяснять разнообразие элементарных частиц и их взаимодействий — во всяком случае, в теории.

Тут было бы так мило заявить, что из-за всяких логических требований к дополнительным измерениям струнной теории возможен лишь один вид пространства и что свойства элементарных частиц, соответствующие колебаниям струн в таком пространстве, — аккурат те, что мы наблюдаем в природе. Ага, размечтались. Но есть и хорошие новости. По крайней мере сгодятся не любые дополнительные измерения. Похоже, их должно быть шесть (к этому мы еще вернемся), и у них обязаны присутствовать особые свойства — они, к примеру, должны быть свернуты, как те, что в теории Калуцы. В 1985 году физики открыли класс пространств с самыми подходящими особенностями. Они называются пространствами Калаби-Яу [299] (или формами Калаби-Яу — они, вообще говоря, конечны). Как можно догадаться, шестимерные пространства Калаби-Яу несколько сложнее, чем, скажем, пончик с шоколадной глазурью. Но общее с пончиком у них есть — дырка. На самом деле число этих дырок может быть разным, и сами они тоже непростые, многомерные объекты, но это всё детали [300] . Суть в следующем: существует семейство струнных колебаний, связанных с каждой дыркой. Таким образом, струнная теория предсказывает наличие семейств у элементарных частиц. Это пример одной из замечательных «производных» от экспериментально наблюдаемых фактов, которые Стандартная модель вынуждена была включать «вручную», без теоретического объяснения. Это были хорошие новости.

299

P. Candelas et al., Nuclear Physics , B258 (1985), стр. 46.

300

Технически говоря, под дырками физики подразумевают определенное значение некоторой математической количественной характеристики, именуемой эйлеровым числом, и его можно рассчитать для каждого пространства Калаби-Яу. Эйлерова характеристика есть топологическое понятие, которое легко визуализировать для двух или трех измерений, но оно применимо и к более высоким измерениям. В трехмерности твердый объект имеет число Эйлера, равное двум, будь то куб, сфера или суповая плошка, тогда как у объектов с дырками (или ручками), вроде пончика, кофейной чашки или пивной кружки, число Эйлера равно нулю.

А плохо вот что: существуют десятки тысяч известных видов пространств Калаби-Яу. Большинство содержит в себе более трех дырок, хотя элементарных частиц есть всего три семейства. А для расчетов, необходимых для вывода свойств частиц, которые лишь заявлены Стандартной моделью, т. е., допустим, массу и заряд частицы, физикам необходимо знать, какое из великого множества пространств выбрать. Пока никому не удалось найти такое пространство Калаби-Яу, которое давало бы физическому миру, каким мы его знаем, точное описание, т. е. Стандартную модель или фундаментальный физический принцип, который оправдал бы выбор именно этого пространства. Некоторые скептики считают, что такой подход никогда не принесет плодов. Но подобных критиков гораздо меньше, чем было поначалу, когда работа над теорией струн равнялась поцелую профессиональной смерти.

Глава 36. Струнные неприятности

Когда Намбу с коллегами предложили струнную теорию, у нее были некоторые особенности. Например, их теория не согласовывалась с теорией относительности, если не заставить некий неприятный фактор равняться нулю: (1 — (D — 2)/24). Любой старший школьник скажет, что у этого уравнения одно решение: D = 26. Но с этого все только начинается: D в этом уравнении есть число измерений пространства. Вскоре все заинтересуются работами Калуцы, вот только его пять измерений не покажутся ни избыточными, ни диковинными, а недостаточно диковинными.

У теории были и другие проблемы. Как говорилось ранее, когда вероятности некоторых процессов рассчитывали согласно правилам квантовой механики, математика выдавала отрицательные ответы. Теория также предсказывала существование неких частиц, называемых тахионами, чья масса не являлась действительным числом, а двигались они быстрее света. (Теория Эйнштейна, строго говоря, не запрещает такого; она лишь не позволяет частицам двигаться в точности со скоростью света.) А еще она предсказывала существование кое-каких дополнительных частиц, которых никто никогда не наблюдал.