Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Эйнштейн впервые выдвинул соображение, что гравитация влияет на ход времени, в 1907 году. Из специальной теории относительности нам известно, что пространство и время взаимосвязаны. Сколько понадобилось времени техническому эксперту, чтобы осознать: присутствие гравитации меняет и форму пространства? Пять лет. Стоит это запомнить — на случай, когда вдруг проглядите что-нибудь, что впоследствии покажется вам очевидным. Эйнштейн говорил: «Если б мы знали, что именно делаем, это не называлось бы исследованием, правда?» [247]
247
http://stripe.colorado.edu/~judy/einstein/science.html (июнь 1999).
Эйнштейн совершил логический переход к искривленному пространству летом 1912 года в Праге. Шел шестой год размышлений над созревающей теорией относительности. И опять этот шаг был сделан благодаря озарению. Эйнштейн писал: «Из-за лоренцева сокращения в системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной, законы, действующие на твердые тела, не отвечают правилам евклидовой геометрии. Значит, евклидову геометрию нужно отставить…» [248]
248
Pais, стр. 213.
Представим Ханса Альберта уже десятилетним, но вновь на карусели. Предположим, его отцу, размещенному на неподвижной платформе, карусель видится идеальным кругом. Что сообщает нам специальная теория относительности о пространстве в заданных условиях? (Как и ранее, этот анализ не вполне строг, поскольку связан с применением специальной теории относительности к неравномерному движению.) Представьте, что в каждый момент времени от местоположения Ханса Альберта мы строим две перпендикулярные оси. Одна ось направлена радиально (вовне от карусели). Это направление действия силы, которую в этот миг ощущает Ханс Альберт. Ханс Альберт в этом направлении вовсе не движется — расстояние между ним и центром карусели неизменно. Другая ось — касательная к карусели. В любой заданный момент она указывает направление движения Ханса Альберта. Она всегда перпендикулярна направлению действия силы, которую чувствует мальчик.
Теперь, положим, отец бросает Хансу Альберту крошечный горизонтальный квадратик, и одна его сторона совпадает с радиусом карусели. Он просит Ханса Альберта пронаблюдать за фигурой и сообщить, какой она формы. Что же нам сообщит Ханс Альберт? То, что отцу представлялось квадратом, для него будет выглядеть как прямоугольник. Таков эффект лоренцева сокращения. Поскольку Ханс Альберт в каждый момент времени движется по касательной и никогда — вдоль радиуса, две стороны квадрата, параллельные касательной, сжимаются, а стороны, параллельные радиусу, — нет. Если бы Ханс Альберт измерил длину окружности и диаметр карусели в терминах этих длин соответственно, он обнаружил бы, что их соотношение не равно . Пространство Ханса Альберта искривлено. Его отец заключает, что евклидову геометрию необходимо отставить. Остается единственный вопрос: в пользу чего?
Глава 27. Вдохновился? Попотей
Ломать — не строить. Эйнштейну для построения новой физики требовалась новая геометрия, которая описывала бы искажение пространства. К счастью, Риман (и несколько его последователей) уже все придумали. К несчастью, Эйнштейн не слыхал о Римане — как, впрочем, и почти все остальные. Зато Эйнштейн еще как слыхал о Гауссе.
Эйнштейн помнил свой студенческий курс по инфинитезимальной геометрии, включавший гауссову теорию поверхностей. Эйнштейн обратился к своему другу Марселю Гроссманну, которому в 1905 году посвятил свою докторскую диссертацию. Гроссманн к тому времени трудился на ниве математики в Цюрихе и специализировался как раз по геометрии. Встретившись с Марселем, Эйнштейн воскликнул: «Гроссманн, ты должен мне помочь, иначе я сойду с ума» [249] .
249
Pais, стр. 212.
Эйнштейн растолковал свои нужды. Копаясь в литературе, Гроссманн обнаружил работы Римана и других по дифференциальной геометрии. Там все было мудрено. И сложно. Совсем не примитивно. Гроссманн доложил: да, нужная математика уже существует, но в ней «чудовищный беспорядок, с которым физикам не следует возиться» [250] . Однако повозиться Эйнштейн пожелал. Он нашел инструменты формулировки своей теории. Но попутно выяснил, что Гроссманн прав.
В октябре 1912 года Эйнштейн написал другому своему другу и коллеге-физику Арнольду Зоммерфельду: «…за всю свою жизнь так тяжко я не работал никогда и пропитался великим уважением к математике… по сравнению с этой задачей исходная теория (специальная теория относительности) — детская забава» [251] .
250
Pais, стр. 213.
251
Pais, стр. 216.
Это приключение заняло еще три года, два из которых Эйнштейн трудился в тесном сотрудничестве с Гроссманном. Студент, на чьих конспектах Эйнштейн проскочил учебные годы, теперь стал его наставником. Планк, узнав о замыслах Эйнштейна, сказал ему: «Как старший товарищ, я должен предостеречь вас: для начала у вас ничего не выйдет; а если и выйдет, вам никто не поверит» [252] . Но к 1915 году Эйнштейн вернулся в Берлин — по приглашению самого Планка. С тех пор Гроссманн написал совсем немного исследовательских статей и менее чем через десять лет тяжело заболел рассеянным склерозом. Эйнштейн, постигнув необходимое ему, завершил создание теории без него. 25 ноября 1915 года он представил работу под названием «Уравнения поля тяготения» Прусской научной академии [253] . В ней он объявил: «Наконец общая теория относительности завершена как логическая структура» [254] .
252
Pais, стр. 239.
253
Пятью днями ранее, 20 ноября, Гильберт представил вывод того же уравнения Королевской академии наук в Гёттингене. Этот вывод он произвел независимо от Эйнштейна и в некотором смысле качественнее, но этот вывод явился лишь последним шагом в построении теории, которая, по признанию Гильберта, была творением Эйнштейна. Эйнштейн и Гильберт восхищались друг другом и никакое первенство никогда не оспаривали.
Гильберт говорил: «Не математики, а Эйнштейн проделал всю работу». См. Jagdish Mehra, Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation (Boston: D. Reidel Publishing Co., 1974), стр. 25.254
Pais, стр. 239.
Как же общая теория относительности описывает природу пространства? Она показывает, как материя и энергия Вселенной влияют на расстояния между ее точками. Пространство, рассматриваемое как множество, есть попросту собрание некоторых элементов — точек. Структура пространства, которую мы называем геометрией, возникает из соотношений между точками, и эти соотношения именуются расстояниями. Привнесенная структура соотносится с исходной так же, как, скажем, телефонная книга со списком домов и карта, определяющая их пространственные связи. Занимаясь картографированием Германии, Гаусс обнаружил, что, определив расстояние между парой точек, можно установить геометрию пространства, а Риман привнес в это наблюдение детали, необходимые Эйнштейну для формулировки его физики в геометрических терминах.
В сухом остатке все сводится к спору двух наших старых друзей — Пифагора и Непифагора. Вспомним, что в евклидовом мире можно померить расстояние между любыми двумя точками, применив теорему Пифагора. Мы попросту накладываем прямоугольную координатную сетку. Назовем координатные оси «восток — запад» и «север — юг». Согласно теореме Пифагора, квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разницы между их положениями относительно оси восток — запад и север — юг.
Как установила Неевклида, в искривленном пространстве это соотношение недействительно. Пифагорову формулу необходимо заменить новой — непифагоровой. В непифагоровой формуле для вычисления расстояний значения разницы вдоль оси север — юг и вдоль оси восток — запад не обязательно считаются одинаково. Более того, возможно, появится и еще одно значение — продукт разнесенности север/юг и восток — запад. Математически говоря, получается: (расстояние)2 = g 11 х (разнесенность восток — запад)2 + + g 22 х (разнесенность север — юг) + g 12 x (разнесенность восток — запад) х (разнесенность север — юг) [255] . Числа, обозначенные через g, называются метрикой пространства (а сами факторы g называются компонентами метрики). Поскольку метрика определяет расстояние между двумя точками, она, геометрически говоря, полностью характеризует пространство. Для евклидовой плоскости и прямоугольных координат компоненты метрики попросту g 11 = g 22 = 1, а g 12 = 0. В этом случае формула Непифагора превращается в обычную пифагорову. В других типах пространства компоненты не так просты, и их значения могут варьировать в зависимости от вашего местоположения. В общей теории относительности эти представления обобщены для трех пространственных измерений и, как и в специальной теории, включают время как четвертое измерение (в четырехмерном пространстве метрика имеет десять независимых компонентов) [256] .
255
На самом деле, за исключением случаев с применением прямоугольных координат в плоском пространстве-времени, это определение приложимо исключительно к бесконечно малым областям, и тогда расстояния обязательно складывать с применением методов математического анализа. Математически пишем так: ds2 = g 11dx12 + g12 dx1dx2 + … + g34 dx3dx4 + g44 x42.
256
Десять компонентов: g 11, g 12, g 13, g 14, g 22, g 23, g 24, g 33, g 34 и g 44 (избыточность устраняем применением равенства g ij = g ji).
Работа Эйнштейна 1915 года предъявляла уравнение, описывающее распределение материи в пространстве (и времени) в связи с метрикой четырехмерного пространства-времени. Поскольку метрика определяет геометрию, уравнения Эйнштейна определяют форму пространства-времени. В теории Эйнштейна масса не производит гравитационного воздействия, а меняет пространство-время.
Хотя пространство и время взаимосвязаны, однако, если ограничиться определенными обстоятельствами, как то: малыми скоростями и слабой гравитацией, — пространство и время можно рассматривать более-менее порознь. В таком случае допустимо говорить об одном лишь пространстве и о его кривизне. Согласно теории Эйнштейна, искривление области пространства (усредненное во всех направлениях) определяется массой в этой области.
Как мы уже убедились, искривление отражено в отношении площади круга к его радиусу или объему сферы с таким радиусом. Уравнения Эйнштейна утверждают, что при заданной сферической области пространства с равномерно распределенной в ней материей, измеряемый радиус этой сферы будет меньше ожидаемого (с учетом ее объема) пропорционально значению массы внутри нее. Постоянная в этой пропорции чрезвычайно мала: на каждый грамм массы радиус уменьшается всего на 2,5 х 10–29 сантиметра, т. е. 0,000000000000000000000000000025 см. Для нашей планеты, с допущением равномерности ее плотности, разница в радиусах — 1,5 миллиметра. Для Солнца — полкилометра [257] .
257
См. Richard Feynman, Robert Leighton, and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, том II (Reading, MA: Addison-Wesley, 1964), гл. 42, стр. 6–7.