Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

(3.44)

От редактора. Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите вни­мание, что в этих лекциях используется рационализированная система единиц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.

Более привычно вместо e ₀ писать e ₀ /4p; тогда коэффициент 4p исче­зает из знаменателя закона Кулона (4.9), но появляется в правых частях уравнений (4.1) и (4.3). [Улучшение системы единиц всегда похоже на Тришкин кафтан.]

Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоян­ную m ₀ =e ₀ /c ² , называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемос­тью пустоты (так же, как e ₀ называют диэлектрической проницаемостью пустоты) и обозначают e ₀ E=D, B=m ₀ H.

Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве!

*Конечно, последующие выкладки в равной мере относятся и к лю­бому прямоугольному параллелепипеду.

Глава 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА

§1. Статика

§2.Закон Кулона; наложение сил

§З. Электрический потенциал

§4. E=-

§5.Поток поля Е

§6.Закон Гаусса; дивергенция поля Е

§7 .Поле заряженного шара

§8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности

Повторишь: гл.13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Статика

Начнем теперь подробное изучение теории электромагнетизма. Она вся (весь электромаг­нетизм целиком) запрятана в уравнениях Мак­свелла:

Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень сложными. Но прежде чем перейти к более сложным, мы начнем со сравни­тельно простых и сначала научимся обращаться с ними. Самым легким для изучения является случай, который называют статическим. Это случай, когда от времени ничего не зависит, когда все заряды либо намертво закреплены на своих местах, либо если уж движутся, то их ток постоянен (т. е. r и j постоянны во времени). В этих условиях в уравнениях Максвелла все члены, являющиеся производными по времени, обращаются в нуль, и уравнения приобретают следующий вид:

Магнитостатика

Обратите внимание на интересное свойство этой системы четырех уравнений. Она распалась на две части. Электрическое поле Е появляется только в первой паре уравнений, а магнит­ное поле В — только во второй. Между собой эти два поля совсем не связаны. Это означает, что коль скоро заряды и токи постоян­ны, то электричество и магнетизм — явления разные. Нельзя обнаружить никакой зависимости полей Е и В друг от друга, пока не возникают изменения в зарядах или токах, скажем, пока конденсатор не начнет заряжаться или магнит двигаться. Только когда возникают сравнительно быстрые изменения, так что временные производные в уравнениях Максвелла достигают заметной величины, Е и В начинают влиять друг на друга.

Если вы всмотритесь в уравнения статики, то обнаружите, что для изучения математических свойств векторных полей эти два предмета — электростатика и магнитостатика — являются идеальным объектом. Электростатика — это чистый пример век­торного поля с нулевым ротором и заданной дивергенцией, а магнитостатика — чистейший пример поля с нулевой диверген­цией и заданным ротором. Более общепринятый (и, быть может, с чьей-то точки зрения более удовлетворительный) путь изло­жения теории электромагнетизма состоит в том, чтобы начать с электростатики и выучить тем самым все про дивергенцию. Магнитостатику и ротор оставляют на потом. И лишь в кон­це объединяют и электричество, и магнетизм. Мы же с вами начали с полной теории векторного исчисления. Применим те­перь ее к частному случаю электростатики, к полю Е, задавае­мому первой парой уравнений.

Начнем с самых простых задач, в которых положения всех зарядов фиксированы. Если бы нам нужно было изучить элект­ростатику только на этом уровне (а этим мы и будем заниматься в ближайших двух главах), то жизнь наша была бы очень проста. Все было бы почти тривиальным и нам понадобился бы, как вы в этом сейчас убедитесь, только закон Кулона да несколько интегрирований. Однако во многих реальных электростатиче­ских задачах мы вначале не знаем, где находятся заряды. Мы знаем только, что они в зависимости от свойств вещества распре­делились как-то и где-то. Положение, которое примут заряды, зависит от поля Е, а оно в свою очередь зависит от расположе­ния зарядов. И тогда все сразу усложняется. Если, например, заряженное тело поднесено к проводнику или к изолятору, то электроны и протоны в проводнике или изоляторе начнут пере­текать на новое место. Одна часть плотности заряда r в уравнении (4.5) будет нам известна — это тот заряд, который мы подносим; но в r войдут и другие части от тех зарядов, которые перетекают. Мы обязаны будем учесть движение всех зарядов. Возникнут довольно тонкие и интересные задачи.

Однако настоящая глава, хоть она и посвящена электро­статике, не будет касаться самых красивых и тонких вопросов этой науки. В ней будут рассмотрены лишь такие ситуации, в которых можно предположить, что расположение всех зарядов известно. Но и в этом случае, прежде чем научиться справляться со сложными случаями, естественно сначала освоиться с про­стыми.

§ 2. Закон Кулона; наложение сил

Логично было бы принять за отправную точку уравнения (4.5) и (4.6). Но легче начать с другого, а потом вернуться к этим уравнениям. Результат получится одинаковый. Мы начнем с закона, о котором говорилось раньше,— с закона Кулона, утверждающего, что между двумя покоящимися зарядами дей­ствует сила, прямо пропорциональная произведению зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Сила направлена по прямой от одного заряда к другому.

Закон Кулона

(4.9)

здесь F₁ — сила, действующая на заряд q₁; е₁₂ — единичный вектор, направленный от q₂к q₁ , а г₁₂— расстояние между q₁ и q₂. Сила F₂, действующая на q₂, равна и противоположна силе F₁. Множитель пропорциональности по историческим причи­нам пишется в виде ¹/₄яе₀. В системе единиц СИ, которой мы пользуемся, он определяется как 10^{– 7} от квадрата скорости света. Так как скорость света примерно 3·10⁸ м/сек, то множи­тель приблизительно равен 9·10⁹, и единица оказывается рав­ной ньютон·м²/кулон², или вольт ·м/кулон

(4.10)

Если зарядов больше двух (а именно такие случаи наи­более интересны), то закон Кулона нужно дополнить другим существующим в природе фактом: сила, действующая на заряд, есть векторная сумма кулоновских сил, действующих со сто­роны всех прочих зарядов. Этот экспериментальный факт на­зывается «принципом наложения», или «принципом суперпозиции». Это и есть все, что имеется в электростатике. Если доба­вить к закону Кулона принцип наложения, то больше ничего в ней не останется. Точно к таким же выводам, ни больше, ни меньше, приведут уравнения электростатики, уравнения (4.5) и (4.6).