Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

Применяя закон Кулона, удобно ввести понятие об электри­ческом поле. Мы говорим, что поле Е(1) — это сила, действую­щая со стороны прочих зарядов на единицу заряда q₁ . Деля (4.9) на q₁ ,мы получаем для действия всех зарядов, кроме q₁,

(4.11)

Кроме того, мы считаем, что Е(1) описывает нечто, существую­щее в точке (1), даже если в ней нет заряда q₁(в предположении, что все прочие заряды сохранили свои позиции). Мы говорим: Е(1) — это электрическое поле в точке (1).

Электрическое поле Е — это вектор, так что в (4.11) на са­мом деле написаны три уравнения, по одному для каждой ком­поненты. Расписывая x-компоненту в явном виде, получаем

(4.12)

и точно так же для остальных компонент.

Если зарядов много, то поле Е в любой точке (1) равно сумме вкладов от всех зарядов. Каждый член в сумме будет выглядеть как (4.11) или (4.12). Пусть q_{j— величина j-го заряда, а г1j— смещение qjот точки (1); тогда мы напишем}

(4.13)

Фиг. 4.1. В точке (1) электрическое поле Е от некоторо­го распределения зарядов полу­чается из интеграла по рас­пределению.

Точка (I) может находится также внутри распределения.

что означает, конечно,

и т. д.

Часто бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды всегда существуют в виде отдельных кусочков, таких, как элект­роны или протоны, а считать, что они размазаны сплошным пятном, или, как говорят, описываются «распределением». До тех пор пока нам все равно, что происходит в малых масшта­бах, такое описание вполне законно. Распределение заряда описывается «плотностью заряда» r (х, у, z). Если количество заряда в небольшом объеме DV₂ близ точки (2) есть Dq₂, то r определяется равенством

(4.15)

Пользуясь теперь законом Кулона при непрерывном рас­пределении заряда, мы заменяем в уравнениях (4.13) или (4.14) суммы интегралами по всему объему, содержащему заряды. Получается

(4.16)

Некоторые предпочитают писать

где r₁₂ — вектор смещения от (2) к (1) (фиг. 4.1). Интеграл для Е тогда запишется в виде

(4.17)

Если мы хотим действительно провести интегрирование до конца, то обычно приходится интегралы расписывать подробнее. Для x-компоненты уравнений (4.16) или (4.17) получается

Мы не собираемся вычислять что-либо по этой формуле. Написали мы ее здесь только для того, чтобы подчеркнуть, что мы полностью решили те электростатические задачи, в которых известно расположение всех зарядов.

Дано: Заряды.

Определить: Поля.

Решение: Возьми этот интеграл.

Так что по существу все сделано; остается только проделать сложные интегрирования по трем переменным. Эта работа в са­мый раз для счетной машины!

Пользуясь этими интегралами, мы можем найти поле за­ряженной плоскости, заряженной линии, заряженной сферы и любого выбранного распределения. Хотя мы сейчас начнем чер­тить силовые линии, говорить о потенциалах и вычислять ди­вергенции, важно понимать, что ответ на все решаемые задачи в принципе уже готов. Просто порой бывает легче взять интег­рал, придумав фокус, чем проделывать все выкладки чест­но. Но чтобы догадываться, нужно научиться разным ухищ­рениям. Быть может, лучше было бы вычислять интегралы не­посредственно, а не тратить силы на остроумные способы реше­ния да демонстрировать свою сообразительность. Но все-таки мы пойдем по пути развития сообразительности. Переходим, таким образом, к обсуждению некоторых других особенностей электрического поля.

§ 3. Электрический потенциал

Для начала усвоим понятие электрического потенциала, связанное с работой переноса заряда из одной точки в другую. Пусть имеется какое-то распределение зарядов. Оно создает электрическое поле. Спрашивается, какую работу надо затра­тить, чтобы перенести небольшой заряд из одной точки в другую? Работа, произведенная против действия электрических сил при переносе заряда по некоторому пути, равна минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрирован­ной по этому пути. Если заряд переносится от точки а к точке b, то

Фиг. 4.2. Работа переноса заряда от а к b равна минус интегралу от F·ds no выбранному пути.

где F — электрическая сила, действующая на заряд в каждой точке, a ds — дифференциал вектора перемещения вдоль траек­тории (фиг. 4.2).

Для наших целей интереснее рассмотреть работу переноса единицы заряда. Тогда сила, действующая на такой заряд, численно совпадает с электрическим полем. Обозначая в этом случае работу против действия электрических сил буквой W_един , напишем

(4.19)

Вообще говоря, то, что получается при интегрированиях такого сорта, зависит от выбранного пути интегрирования. Но если бы интеграл в (4.19) зависел от пути, мы бы могли извлечь из поля работу, поднеся заряд к b по одному пути и унеся обратно к а по другому. Можно было бы подойти к b по тому пути, где W меньше, а удалиться по тому пути, где оно больше, получив работы больше, чем было вложено,

В принципе нет ничего невозможного в том, чтобы получать работу из поля. Мы еще познакомимся с полями, в которых это возможно. Может оказаться, что, двигая заряды, вы действуете на остальную часть всего «механизма» с какой-то силой. Если «механизм» сам движется против этой силы, он будет терять энергию, и полная энергия будет тем самым оставаться постоян­ной. В электростатике, однако, никакого «механизма» нет. Мы знаем, каковы те силы отдачи, которые действуют на источ­ники поля. Это кулоновские силы, действующие на заряды, ответственные за создание поля. Если положения всех прочих зарядов зафиксированы (а это допущение делается в одной только электростатике), то силы отдачи на них не смогут дей­ствовать. И тогда нет способа извлечь из них энергию, разу­меется, при условии, что принцип сохранения энергии в элект­ростатике справедлив. Мы, конечно, верим, что это так, однако попробуем все же показать, как это следует из закона силы Кулона.